Обучение различным способам вычисления

Формирование вычислительного навыка включает в себя отработку разных типов вычислений: табличные случаи вычислений и правила (а*1, а*0, а:0 и т. д.) и письменные (2351+7869, 1037−849, 563*24, 3474:18 и т. д.).

Выделим отличительные черты устных и письменных вычислений.

Табл. 1.

Большинство вычислений в пределах первой сотни — устные вычисления.

При формировании устного вычислительного навыка необходимо знакомить школьников на доступном для них уровне с разными свойствами арифметических действий, их значимостью для упрощения вычислительной работы, показывать учащимся как можно больше разных способов вычисления значения одного и того же выражения.

Тогда ученику предоставляется право выбора, он сам может выбрать тот прием, который ему больше подходит, а это вызывает интерес и желание считать устно.

Например, для вычисления значения произведения 28×25 совсем необязательно считать в столбик, здесь можно вычислить результат именно устно:

• 1. 28×25=28х (100:4)=(28:4)х100 (прием умножения на 25).
• 2. 28×25=28х (100:4)=(28×100):4 (прием умножения на 25).
• 3. 28×25=(7×4)х25=7х (4×25) (прием последовательного умножения).
• 4. 28×25=28х (5×5)=(28×5)х5 (прием последовательного умножения).
• 5. 28×25=(30−2)х25=30×25−2×25 (прием округления).
• 6. 28×25=(20+8)х25=20×25+8×25 (прием поразрядного умножения).
• 7. 28×25=28х (20+5)=28×20+28×5 (прием поразрядного умножения).
• 8. 28×25=28х (30−5)=28×30−28×5 (прием округления).

Можно придумать и другие способы вычисления, но вот хотя бы эти способы имеет смысл показать школьникам.

Как известно, дети любят умножать на 10, 100, 1000. В данном случае умножение заключается в простом приписывании к числу соответственно одного, двух или трех нулей. Однако учитель не часто обращает внимание детей на то, что так же быстро и легко можно умножить число на 5, 50 и 500. В этом случае при умножении к половине числа соответственно приписывают один нуль, два нуля или три. Особенно эффективен этот прием при умножении на эти числа четного числа.

• 68×5=(34×2)х5=34х (2×5)=34×10=340.
• 68×50=34×100=3400.

При умножении на 5,50,500 нечетных чисел можно воспользоваться предыдущим приемом, представив число в виде суммы четного числа и единицы и затем применив правило умножения суммы на число, т. е. распределительный закон умножения относительно сложения:

17×50=(16+1)50=16×50+1×50=800+50=850.

При делении чисел на 5,50,500 все выполняется в обратном порядке: удваивается делимое и отбрасывается один, два или три нуля соответственно.

• 135×5=(135×2):(2×5)=270:10=27.
• 2150:50=4300:100=43.

Вообще, устное умножение больших чисел привлекает внимание учащихся, так как обычно умножение на 25 выполняется письменно, то умножить устно заинтересовывает учащихся, вызывает их удивление и стремление узнать секрет. А секрет прост, особенно для чисел, кратных четырем, если обычное рассуждение:

24×25=(6×4)х25=6х (4×25)=6×100=600.

Заменить более коротким:

24×25=(24:4)х100=600.

Этот способ можно распространить и на умножение нечетных чисел на 25, представив их в виде суммы или разности числа, кратного четырем, и единицы или 2:

• 37×25=(36+1)х25=36×25+1×25=900+25=925.
• 35×25=(36−1)х25=36×25−1×25=900−25=875.

Устный прием умножения на 25 можно распространить и в другом направлении: умножение чисел на 26 и на 24 можно заменить умножением их соответственно на выражения 25+1 и 25−1. Например:

• 36×26=36х (25+1)=36×25+36×1=900+36=936.
• 36×24=36х (25−1)=36×25−36×1=900−36=864.

При делении чисел на 25, как и при делении на 5, все выполняется в обратном порядке по сравнению с умножением: делимое умножается дважды на 2, т. е. на 4, и отбрасывается два нуля. Например, для нахождения значения выражения 225:25 достаточно у числа (225×2)х2=225×4=900 отбросить два нуля, в результате получается частное 9.

Аналогично, но с еще большим внешним эффектом можно продемонстрировать умножение числа на 125, разделив его на 8 и умножив на 1000, так как 125=1000:8.

Например: 88×125=(88:8)х100=11 000.

Если данное число на 8 не делится, то пользуются одним из перечисленных выше приемов.

Часто приходится умножать, например, на 9, 99, 999. В этом случае бывает удобнее представить эти числа в виде 10−1, 100−1, 1000−1, а потом использовать распределительный закон умножения относительно вычитания:

• 1. 678×9=678х (10−1)=6780−678=6102.
• 2. 577×99=577х (100−1)=57 700−577=57 123.
• 3. 34×999=34х (1000−1)=34 000−34=33 966.

Следует отметить, что отдельные учащиеся затрудняются удерживать в памяти большие числа. В этом случае для овладения приемами устных вычислений целесообразно иногда использовать так называемые полуписьменные вычисления, при которых допускается запись некоторых промежуточных результатов.

Можно использовать и другие интересные способы вычислений, вызывающие интерес и внимание у детей.

Вот один из таких приемов, который опирается на правило умножения числа на сумму:

14×15=14х (10+5)=14×10+14×5=…

Не торопись вычислять значение произведения, этот результат нам не понадобиться в дальнейшем, наши вычисления будут значительно проще:

=14×10+7×10= (14+7)х10=21×10=210.

Рассмотрев подчеркнутые выражения, можно сделать вывод: чтобы умножить четное число на 15, надо к нему прибавить его половину и результат умножить на 10.

Следует подчеркнуть, что это правило справедливо только для четных чисел. Если же надо умножить нечетное число, то пользуются уже известным приемом:

23×15=(22+1)х15=22×15+15=330+15=345.

Ознакомление учащихся на внеклассных занятиях с умножением разности на число позволит расширить применение данного приема. Так, умножение числа на 14 или 16 можно заменить умножением его соответственно на 15−1 или 15+1:

• 66×14=66х (15−1)=66×15−66×1=990−66=924.
• 62×16=62х (15+1)=62×15+62×1=930+62=992.

Результат умножения числа на 150 можно получить, проведя последовательно умножение его на 15 и 10.

Чтобы возбудить интерес учащихся к вычислениям, можно на внеклассном занятии показать им необычный прием. Таким приемом является способ умножения числа 5, оканчивающегося на себя с использованием определенного правила.

Например, для случая 35×35 это правило читается так: число десятков умножить на число на единицу большее и к результату приписать 25, получится 1225. Этот прием является частным случаем правила: «Если два числа имеют равное число десятков, а сумма числа их разрядных единиц равна 10. то произведение находят так: к произведению числа десятков одного из них и на единицу большего числа, умноженного на 100, прибавляют произведение единиц». Например:

• 61×69=6х (6+1)х100+1×9=4200+9=4209.
• 243×247=24×25×100+3×7=60 000+21=60 021

Интересно, что если произведение единиц — двузначное число, как во втором примере, то нахождение искомого произведения состоит в простом приписывании к произведению числа десятков и на единицу большего числа произведения единиц.

Изложенные приемы помогут учителю в организации устного счета, сделают более интересными и полезными внеклассные занятия по математике, привьют учащимся интерес к устным вычислениям, а следовательно, будут способствовать формированию прочных, устойчивых вычислительных навыков.