Применение дифференциальных уравнений первого порядка в экономике

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ ДОНЕЦКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Реферат По дисциплине: Высшая математика для экономистов Тема: Применение дифференциальных уравнений первого порядка в экономике Работу выполнила:

Студентка группы:

УПЭТ 12а Помелило Алина

2013 г.

Дифференциальные уравнения.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.

Дифференциальное уравнение первого порядка.

Рассмотрим вопросы теории дифференциальных уравнений на примере уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной, т. е. таких, которые допускают представление в виде

(1.1)

где f — некоторая функция нескольких переменных.

Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения. Пусть в дифференциальном уравнении (1.1) функция и ее частная производная непрерывны на открытом множестве Г координатной плоскости Оху. Тогда:

1.Для всякой точки множества Г найдется решение y=y (x) уравнения (1.1), удовлетворяющее условию y ();

2.Если два решения y=(x) и y=(x) уравнения (1.1) совпадают хотя бы для одного значения x=, т. е. если то эти решения совпадают для всех тех значений переменной х, для которых они определены. Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде

g (y) (1.2)

или в виде

M (x)N (y)dx+P (x)Q (y)dy=0, (1.3)

где, M (x), P (x) — некоторые функции переменной х, g (y), N (y), Q (y) — функции переменной у.

(рис.1)

1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Для решения такого уравнения его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и функции переменной х окажутся в одной части равенства, а переменной у — в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного равенства. Например из (1.2) следует, что = и =. Выполняя интегрирование, приходим к решению уравнения (1.2)

Пример 1. Решить уравнениеdx=xydy.

Решение. Разделив левую и правую части уравнения на выражение х

(при х?0), приходим к равенству. Интегрируя, получим

(a)

или

+, (б)

(так как интеграл в левой части (а) табличный, а интеграл в правой части может быть найден, например, заменой =t,, 2ydy=2tdt и .

Решение (б) перепишем в виде x=± или x=C,где C=±.

2. Неполные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка (1.1) называется неполным, если функция f явно зависит только от одной переменной: либо от х, либо от у.

Различают два случая такой зависимости.

1. Пусть функция f зависит только от х. Переписав это уравнение в виде

(2.1)

нетрудно убедиться, что его решением является функция

.

2. Пусть функция f зависит только от у, т. е. уравнение (1.1) имеет вид

. (2.2)

Дифференциальное уравнение такого вида называется автономным. Такие уравнения часто употребимы в практике математического моделирования и исследования природных и физических процессов, когда, например, независимая переменная х играет роль времени, не входящего в соотношения, описывающие законы природы. В этом случае особый интерес представляют так называемые точки равновесия, или стационарные точки — нули функции f(у), где производная у' = 0.

Решение уравнения (2.2) методом разделения переменных приводит к функциональному уравнению для определения неизвестной функции у = ц (x) (или х = ш (у)):

. (2.3)

Пример 2

Решить уравнение:. (2.4)

Решение. Найдем решение в виде x=x (y).Полагая, что y?0 из (2.3) и (2.4), получаем и, (2.5)

откуда и. Полагая, что произвольная постоянная, получим. (Заметим, что полученное общее решение уравнения при C=0 дает частное решение y=0, «потерянное» в процессе преобразований).

3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение вида

(3.1)

где р (х) и q (x) — непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Неизвестная функция и ее производная входят в указанное уравнение в первой степени — линейно, что и объясняет название уравнения.

Если q (x) 0, то уравнение (3.1) называется линейным однородным уравнением; если же функция q (x) не равна тождественно нулю, то уравнение (3.1) называется линейным неоднородным уравнением.

Для линейного уравнения первого порядка можно выписать общее решение с помощью метода вариации постоянной. Здесь это решение приводится без вывода:

. (3.2)

Следует отметить, что некоторые нелинейные уравнения приводятся к линейным уравнениям соответствующими заменами неизвестной функции у (х). К таковым относится уравнение Бернулли

, (3.3)

где р и q — непрерывные функции, a n — некоторое постоянное число. При п = 0 имеем линейное неоднородное уравнение, а при n = 1 — линейное однородное уравнение Пусть п? 0, n? 1. Введем новую функцию

_, (3.4)

тогда

.

Поделим обе части уравнения (3.3) на :

.

Умножая обе части этого уравнения на (1 — n), с учетом выражений для новой функции z и ее производной получаем линейное дифференциальное неоднородное уравнение относительно неизвестной функции z (x):

. (3.5)

В этом уравнении, метод решения которого нам известен, функция z(x) связана с искомой функцией у(x) соотношением (3.4).

4. Применение дифференциальных уравнений первого порядка в экономике

Задача 4.1 Модель естественного роста выпуска[1].

Пусть y (t) — объем продукции некоторой отрасли, реализованной к моменту времени t. Будем полагать, что вся производимая отраслью продукция реализуется по некоторой фиксированной цене р, т. е. выполнено условие ненасыщаемости рынка. Тогда доход к моменту времени t составит Y (t)=py (t).

Обозначим через I (t) величину инвестиций [см.словарь[1]], направляемых на расширение производства. В модели естественного роста полагают, что скорость выпуска продукции (акселерация) пропорциональна величине инвестиций, т. е.

(t)=lI (t) (а)

(Здесь пренебрегаем временем между окончанием производства продукции и ее реализацией, т. е. считаем, что инвестиционный лаг [см.словарь[2]] равен нулю).

Полагая, что величина инвестиций I (t) составляет фиксированную часть дохода [см. словарь[3]], получим

I (t)=mY (t)=mpy (t), (б) где коэффициент пропорциональности m (так называемая норма инвестиций) — постоянная величина, 0 m1.

Подставляя последнее выражение (б) для I (t) в (а), приходим к уравнению

(в) где k=mpl.

Полученное дифференциальное уравнение — это уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, приходим к функции y (t)=.

На практике условие насыщаемости рынка может быть принято только для достаточно узкого временного интервала. В общем случае кривая спроса, т. е. зависимость цены р реализованной продукции от ее объема y является убывающей функцией p=p (y) (с увеличением объема произведенной продукции ее цена падает в результате насыщения рынка).Поэтому модель роста в условиях конкурентного рынка примет вид

(г) оставаясь по-прежнему уравнением с разделяющимися переменными.

Так как все сомножители в правой части уравнения (г) положительны, то, и это уравнение описывает возрастающую функцию y (t) на выпуклость естественно используется понятие эластичности функции. Действительно, из (г) следует, что

.

Напомним, что эластичность спроса [см.словарь[4]] (относительно цены) определяется формулой. Тогда выражение для можно записать в виде и условие равносильно равенству .

Таким образом, если спрос эластичен, т. е. или, то и функция y (t) выпукла вниз; в случае, если спрос неэластичен, т. е., или — 1, то и функция y (t) выпукла вверх.

Задача 4.2 Об эффективности рекламы[6].

Пусть торговой фирмой реализуется некоторая продукция, о которой в момент времени t = 0 из рекламы получили информацию x₀ человек из общего числа N потенциальных покупателей. Далее эта информация распространяется посредством общения людей, и в момент времени t > 0 число знающих о продукции людей равно x (t). Сделаем предположение, что скорость роста числа знающих о продукции пропорциональна как числу осведомлённых в данный момент покупателей, так и к числу неосведомленных покупателей. Это приводит к уравнению

.

Здесь k — положительный коэффициент пропорциональности. Из уравнения получаем равенство дифференциалов двух функций аргумента t:

.

Интегрируя левую и правую части, находим общее решение дифференциального уравнения:

.

В общее решение входит неопределенная константа С. Полагая NC = D, получим равенство:

из которого определим функцию x(t):

.

Здесь E =. Такого вида функция называется логистической, а её график — логистической кривой.

Если теперь учесть, что х(0) = х₀ и положить х₀ = N/?, где? > 0, то можно найти значение константы Е. Логистичеcкая функция примет вид:

.

На рис. 2 приведены примеры логистических кривых, полученных при различных значениях б. Здесь величина N условно принималась за 1, а величина k бралась равной 0,5.

Задача 4.3 Динамическая модель Кейнса.[7]

Рассмотрим простейшую балансовую модель, включающую в себя основные компоненты динамики расходной и доходной частей экономики. Пусть Y(t), E (t), S (t), I (t) — соответственно национальный доход[см.словарь[5]], государственные расходы, потребление и инвестиции. Все эти величины рассматриваются как функции времени t. Тогда справедливы следующие соотношения: (а)

где a (t) — коэффициент склонности к потреблению (0 < а(t) < 1), b (t) — автономное (конечное) потребление, k (t) — норма акселерации. Все функции, входящие в уравнения (а), положительны.

Поясним смысл уравнений (а). Сумма всех расходов должна быть равной национальному доходу — этот баланс отражен в первом уравнении. Общее потребление состоит из внутреннего потребления некоторой части национального дохода в народном хозяйстве и конечного потребления — эти составляющие показаны во втором уравнении. Наконец, размер инвестиций не может быть произвольным: он определяется произведением нормы акселерации, величина которой характеризуется уровнем технологии и инфраструктуры данного государства, на предельный национальный доход.

Будем полагать, что функции a (t), b (t), k (t) и E (t) заданы — они являются характеристиками функционирования и эволюции данного государства. Требуется найти динамику национального дохода, или Y как функцию времени t. Подставим выражения для S (t) из второго уравнения и для I (t) из третьего уравнения в первое уравнение. После приведения подобных получаем дифференциальное неоднородное линейное уравнение первого порядка для функции Y (t):

. (б) Проанализируем более простой случай, полагая основные параметры задачи а, b и k постоянными числами. Тогда уравнение (б) упрощается до линейного дифференциального уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами:

. (в) Как известно, общее решение неоднородного уравнения есть сумма какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения. В качестве частного решения уравнения (в) возьмем так называемое равновесное решение, когда Y' = 0, т. е.

. (г) Нетрудно видеть, что эта величина положительна. Общее решение однородного уравнения дается формулой, так что общее решение уравнения (в) имеет вид

. (д) Интегральные кривые уравнения (в) показаны на рис. 4. Если в начальный момент времени Y₀ < Y_p , то С = Y₀ — Y_p < 0 и кривые уходят вниз от равновесного решения (г), т. е. национальный доход со временем падает при заданных параметрах задачи а, b, k и Е, так как показатель экспоненты в (д) положителен. Если же Y₀ > Y_p, то С > 0 и национальный доход растет во времени — интегральные кривые уходят вверх от равновесной прямой Y = Y_р.Уравнение (в) является автономным; точка Y = Y_p представляет собой точку неустойчивого равновесия.

(Рис.3)

5. Словарь экономических терминов

1.ИНВЕСТИЦИИ (лат. investice — облачать) — долгосрочные вложения капитала в экономику. Инвестиции используются на покупку средств производства: оборудования, машин, земли и т. д. Затраты на эти элементы производства окупаются не сразу, а в течение многих лет, поэтому инвестиции носят долгосрочный характер. 2]

2.ДОХОД — денежные и материальные ресурсы, поступающие юридическим и физическим лицам, после завершения производственного цикла. В более широком плане — выручка и другие денежные средства, поступающие на предприятие. В международной практике под Д. понимают валовые поступления денежных и других средств, которые в процессе обычной хозяйственной деятельности предприятия возникают от реализации продукции, оказания услуг и от использования другими предприятиями ресурсов данного предприятия (проценты, дивиденды, лицензионные платежи и т. п.) [3]

3. ЛАГ ИНВЕСТИЦИОННЫЙ — временной разрыв между осуществлением инвестиций и их окупаемостью. Включает в себя время оборота всех производственных капиталовложений (включая вложения в оборудование). 4]

4. ЭЛАСТИЧНОСТ СПРОСА ПО ЦЕНЕ показывает, на сколько процентов изменится величина спроса при изменении цены на 1%.Рассчитывается через коэффициент эластичности. 5]

5. НАЦИОНАЛЬНЫЙ ДОХОД — часть стоимости созданного в стране совокупного общественного продукта, остающаяся после возмещения потребленных средств производства; обобщающий показатель экономического развития страны, в условиях товарного производства в стоимостном выражении выступает как вновь созданная стоимость за определенный период времени (обычно за год). Н.Д. страны равен валовому национальному продукту за вычетом амортизационных отчислений (износ основных средств) и косвенных налогов. С другой стороны, Н.Д. можно определить как сумму всех доходов за год в виде заработной платы, промышленной и торговой прибыли, процента на вложенный капитал и земельной ренты. 8]

переменная дифференциал функция линейное уравнение

6. Список литературы

1.Кремер Н. Ш. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов. — М.: ЮНИТИ, 2003. — 471 с.

2. http://enc-dic.com/economic/Dohod-4094.html

3. http://enc-dic.com/economic/Dohod-4094.html

4. http://www.bibliotekar.ru/bank-7−2/145.htm

5. http://ru.wikipedia.org/

6.Красс М. С., Чупрынов Б. П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учеб. — 2-е изд., испр. — М.: Дело, 2001. — 688 с.

7.http://www.bank24.ru/info/glossary/?srch=%CD%C0%D6%C8%CE%CD%C0%CB%DC%CD%DB%C9+%C4%CE%D5%CE%C4