Метод Попова. 
Микропроцессорные системы управления

Исследуем устойчивость САУ температуры частотным методом Попова при отключении местной обратной связи (см. рис. 1).

В режиме стабилизации температуры можно принять, .

Структурно-математическая схема нелинейной САУ представлена на рис. 6, а.

Коэффициент усиления линейной части системы равен .

Коэффициент усиления нелинейного звена системы равен (см. рис. 2).

Коэффициент усиления линейной части системы и нелинейного звена условно отнесем к нелинейному звену.

Необходимо определить, при каких значениях система будет абсолютно устойчива, если характеристика нелинейного звена расположена в секторе (см. рис. 6, б).

Рис. 6 Структурно математическая схема САУ температуры (а) и статическая характеристика нелинейного звена (б)

Частотная передаточная функция линейной части системы имеет вид:

(48).

Ее вещественная и мнимая части соответственно равны:

(49).

(50).

Введем некоторые функции и следующим образом:

(51).

(52).

Таблица 2

По выражениям (51) и (52) построим характеристику (см. рис. 7) и через точку проведем прямую Попова так, чтобы построенная характеристика целиком лежала справа от этой прямой.

Уравнение прямой Попова, коэффициенты которого получены путем подбора, приведено ниже:

Расчетное значение разомкнутой системы равно k = k2k3k0k1•Umax/aщcp = 2•0,125•10•0,3•100/0,5 = 1,5.

Согласно рис. 7 1/k? 1/1,5? 0,67. Поэтому система абсолютно устойчива для всех нелинейных характеристик, лежащих в секторе.

0 < k < 1,5 (53).

и, в частности, для характеристики релейного типа, изображенной на рис. 6, б.

Таким образом, достаточное условие абсолютной устойчивости замкнутой нелинейной системы сводится в данном случае к выполнению необходимого и достаточного условия устойчивости замкнутой линейной системы, имеющей в разомкнутом состоянии коэффициент усиления, равный k.