Понятие функции в школьной программе по математике

• Введение
• Глава 1. Понятие функции в школьной программе по математике
• 1.1 Логико-историческая реконструкция понятия функции
• 1.2 Введение понятия функции в программе А. Г. Мордковича «Алгебра 7»
• 1.2.1 Анализ логики введения понятия функции
• 1.2.2 Критика введения понятия функции в программе А.Г. Мордковича
• 1.3 Введение понятия функции в программе С. Ф. Горбова «Алгебра 7»
• 1.4 Выводы
• Глава 2. Представление об учебной задаче (на материале математики)
• 2.1 Представление об учебной задаче в начальной и подростковых школах
• 2.2 Цепочка учебных затруднений на формирование понятия функции в курсе алгебры С.Ф. Горбова
• 2.3 Вывод
• Глава 3. Методика введения понятия функции через систему учебных задач
• 3.1 О возможности применения системы учебных задач в программе А.Г. Мордковича
• 3.2 Методика изучения темы «Линейная функция»
• 3.3 Разработка формы учебных и методических материалов для учителя по теме «Линейная функция»
• 3.3.1 Анализ существующих форм для описания содержания в деятельностном подходе
• 3.3.2 Описание формы организации содержания по теме «Линейная функция»
• 3.4 Анализ результатов апробации
• 3.4.1 Описание диагностических заданий
• 3.4.2 Описание результатов диагностики
• Заключение
• Литература
• Введение
• Использование системы учебных задач в системе Д. Б. Эльконина — В. В. Давыдова при организации учебной деятельности уже показала свою эффективность. В подростковой школе только начинается обсуждение возможности использования деятельностного подхода в обучении. На данный момент разработаны только фрагменты учебно-методических комплектов, поэтому возникает идея использования имеющихся разработок, как инновационных элементов, в утвержденных Министерством образования и науки РФ программах.
• Как отмечают разработчики современных программ по математике для общеобразовательных школ, базовым понятием курса алгебры 7−11 классов является понятие функции. Известно, что одно и тоже математическое понятие может быть введено исходя из разных методологических и методических оснований. Особо это относится к понятию «Функция». Нами выделено два подхода, в которых понятие разворачивается в определенной логике: первый представлен в экспериментальной программе С. Ф. Горбова, второй — в программе А. Г. Мордковича.
• В подходе, предлагаемом авторами РО, понятие функции вводится исходя из исторического развития понятия функции, где она сформировалось как однозначная зависимость между переменными величинами. В этом подходе логика введения понятия от общего к частному. В программе С. Ф. Горбова нами были выделена система учебных задач на введение понятия функции. В программе А. Г. Мордковича, которая широко используется в настоящее время в школах, понятие функции вводится как модель практической ситуации. Под моделью практической ситуации понимается составление и решение уравнения. Этот подход построен на рассмотрении частных случаев функций, и их формальном обобщении.
• Сравнивания подходы к введению понятия функции в программах А. Г. Мордковича и С. Ф. Горбова нами были обнаружены схожие места во введении отдельных аспектов понятия функции. Так возникла идея о возможности использования деятельностных элементов в программе А. Г. Мордковича, пользующаяся наибольшей популярностью среди учителей.
• Цели работы:
• 1. Изучить подходы к введению понятия функция
• Для достижения цели решались следующие задачи:
• v Провести историческую реконструкцию понятия функции;
• v Провести анализ программы А. Г. Мордковича и экспериментальных учебных материалов С. Ф. Горбова с целью реконструкции подходов к формированию понятия функции
• 2. Разработка методического обеспечения по теме «Линейная функция», позволяющего внести деятельностные элементы в изучение понятия функции.
• Для достижения цели решались следующие задачи:
• v Выработать представление об учебной задаче на понятие функции, для этого изучалась литература по учебной задаче в начальной школе, экспериментальные материалы курса «Алгебра 7» С. Ф. Горбова, проводились беседы с автором
• v Изучить возможность деятельностного введения понятия линейная функция в программе А. Г. Мордковича;
• v Разработать методику введения понятия линейной функции;
• v Разработать формы описания учебных и методических материалов;
• v Разработать диагностические задания, позволяющие оценить эффективность используемой методики.
• Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений.
• Первая глава посвящена изучению подходов к формированию понятия функции в двух инновационных программах по математике. Более точно, рассматриваются программа А. Г. Мордковича и экспериментальный курс С. Ф. Горбова.
• Историческая реконструкция понятия функции, проведенная в § 1, позволила выделить этапы его развития: 1) этап становления понятия функции как зависимости рядов величин, а затем переменных; 2) разделение однозначных и неоднозначных зависимостей; 3) введение области определения
• Итак, к концу XIX века функция представляется как однозначная зависимость между переменными, с указанием области существования независимой переменной, причем зависимость может быть задана графически, аналитически, словесно или каким-либо другим способом. В школьной математике понятие функции основано на методической обработке основных интерпретаций понятия функции до середины XIX века [2. с.124].
• Второй параграф посвящен анализу программы А. Г. Мордковича, в которой функция представлена учащимся как специальный вид линейного уравнения, который удобно использовать для описания математических моделей практических ситуаций. В ходе восстановления логики программы мы выделили два объекта для введения понятия линейной функции: линейное уравнение с двумя неизвестными и его график. Логика изложения представлена четырьмя блоками: раскрытие связи линейного уравнения и его графика; оформление связи линейной функции с ее геометрической моделью; введение области определения функции, рассмотрение нового способа построения прямой. Последние два блока не имеют логических связок с предыдущими.
• В пункте 2.2. § 2 мы обосновываем, что автор существенно редуцирует как понятие функции, так и отношения между линейной функцией, линейным уравнением и их графиками. При этом подобная редукция отрицательно сказывается на качестве формирования понятия линейной функции у школьников, а именно:
• Учащиеся не опознают линейное уравнение и линейную функцию в неканонической форме задания;
• У учащихся нет средств для ответа на вопрос, графиком какой линейной функции является данная прямая на координатной плоскости;
• Равенство у=с не является для учащихся функцией.

Третий параграф главы 1 посвящен введению понятия функция в экспериментальном курсе С. Ф. Горбова, В. М Заславского и др. Понятие функции в данном курсе представлено отдельной содержатель-методической линией и вводится в соответствии с его историческим развитием. Это позволяет авторам работать с отношением между алгебраическим и геометрическим языками. В формировании функции по С. Ф. Горбову можно выделить 5 этапов: введение понятия зависимости, график как средство моделирования зависимости, однозначные и неоднозначные зависимости, область определения функции, введение функциональной символики.

В данном курсе авторы работают с понятием зависимости рассматривая и неоднозначные зависимости. В силу этого линейная функция представлена лишь как частный случай однозначной зависимости.

Во второй главе рассматриваются методические аспекты введения понятия функция через систему учебных задач. Основная задача этой главы — выработать представление об учебной задаче на понятие функции, для этого изучалась литература по учебной задаче в начальной школе, экспериментальные материалы курса «Алгебра 7» С. Ф. Горбова, проводились беседы с автором.

В первом параграфе приводится сравнение учебных задач в начальной и подростковой школах. Учебная задача является центральным понятием в РО. С. Ф. Горбов называет ее «плодотворной метафорой», поскольку она дает возможность изучать учебную деятельность с разных сторон. Так психологи через призму учебной задачи рассматривают формирование психологических процессов. Методисты изучают ее как способ организовать методику введения материала. Для учителя учебная задача — форма для организации ситуации урока. Суть учебной задачи заключается в разрыве между необходимостью и возможностью выполнить действие, при этом имеющийся у учащихся способ этого не позволяет. Необходимость выполнения предметного действия обусловлена рамками задания. Возможность преодолеть затруднение заключается в том, что имеющийся способ применяется не на прямую, а посредствам его преобразования в новой ситуаций. Учебная задача позволяет контролировать формирование понятие у учащихся. Учебная задача в подростковой школе направлена на преобразование имеющегося способа к новой ситуации, а не на поиск общего способа решения, как было в начальной школе. Учащиеся выполняют действия с моделями в рамках знаковых систем, а не моделируют отношение между объектами. По этим причинам мы предполагаем, что для описания структуры учебной задачи в подростковой школе можно использовать описание, предложенное Г. А. Цукерман.

Второй параграф посвящен анализу учебных задач на формирование понятия функции, предлагаемых в курсе С. Ф. Горбова. В подростковой школе, в отличие от младшей, не удается выделить всеобщего способа, который позволил бы организовать формирование понятия функции. Первоначально мы предполагали, что в курсе С. Ф. Горбова удастся выделить систему учебных задач, но нам удалось обнаружить только цепочку учебных задач, каждая из которых основана на конструировании ситуации затруднения. Ситуации затруднения, в свою очередь, организуются по следующему принципу: открытие способа посредствам адаптации имеющегося способа (возможно из другой содержательной линии) в новых условиях. На месте способа может находиться знание. Нами было выделено четыре ситуации затруднения в курсе С. Ф. Горбова «Алгебра 7», которые связаны с: различением двух видов неизвестных, выходом на графический способ представления зависимости, различением однозначной и неоднозначной зависимостей, с построением полного описания функции на алгебраическом языке. для нас представляло определенную трудность описание ситуация затруднения в языке способа (действия).

На основании проведенного анализа данных об учебной задаче в подростковой школе под учебной задачей мы будем понимать: разрыв какого-либо способа действования, который может возникнуть в ситуации затруднения.

В третьей главе приводится методика введения понятия линейная функция через систему учебных задач.

Первый параграф посвящен обоснованию возможности введения понятия функция через систему учебных задач в программе А. Г. Мордковича. В ходе анализа логики и методики введения понятия функция в программе А. Г. Мордковича и С. Ф. Горбова мы выявили схожие места введения понятия функции.

Во втором параграфе настоящей главы описывается непосредственно методика введения понятия линейной функции, которое мы вводим с помощью пяти ситуаций затруднения: введение понятия функции как способа нахождения решений линейного уравнения с двумя неизвестными, введение понятия линейной функции как зависимости между переменными, введение графика линейной функции, введение области определения, введение неоднозначных зависимостей. Первая ситуация затруднения сконструирована по принципу классической учебной задачи, описанной в начальной школе. Эта ситуация описана в дипломной работе наиболее подробно. Остальные ситуации затруднения сконструированы как разрывы между старым и новым способом или знанием, они представлены кратко. Существенным преобразованием в содержании А. Г. Мордковича стало то, что линейная функция вводится как зависимость между переменными. Трансформируя таким образом логику введения понятия линейная функция мы избегаем математических казусов, которые описаны в § 2 главы 1, кроме того, у нас появляется возможность рассматривать неоднозначные зависимости.

В § 3 третьей главы анализируются имеющиеся формы описания содержания УМК в системе РО, и вводится новая форма описания содержания, разработанная нами. Она представлена тремя таблицами. В таблице № 1 приводятся этапы решения учебной задачи, содержание этапа и его результаты. В таблице № 2 более подробно раскрываются методический и предметный аспекты содержания каждого этапа введения понятия, которые соотнесены с заданием. В этой же таблице описаны моменты, на которые нужно обратить внимание учителю при работе с материалом. В таблице № 3 представлен задачный материал: базовые, контрольно-оценочные задания, которые разработаны нами соотнесены с заданиями из задачника А. Г. Мордковича и этапами разворачивания учебных задач.

С помощью выстроенной нами цепочки учебных задач можно проследить организацию конкретного урока, также можно говорить и том, что преодолевая систему затруднений учащиеся повышают свою самостоятельность. В четвертом параграфе приводится анализ результатов апробации методических материалов, которые были специально разработаны нами. Учащиеся, обучавшиеся по разработанной нами методике, намного увереннее выполняют задания диагностики. Они лучше умеют работать как с графической так и с аналитической формами задания зависимости.

В заключении представлены результаты проделанной работы и намечены возможные перспективы работы с материалом двух программ.

В списке литературы указанно 34 источника, которые использовались при написании дипломной работы.

В приложении представлены материалы разработанного нами методического пособия по теме «Линейная функция» (приложения № 1 — № 4), диагностические задания (приложение № 5).

Глава 1. Понятие функции в школьной программе по математике

В современных школьных программах по алгебре 7−9 классов можно выделить два подхода к формированию понятия функции: функция как модель реальной ситуации (программа А.Г. Мордковича), функция как однозначная зависимость между переменными (программа С.Ф. Горбова). Для понимания и обоснования каждого из подходов мы сделали логико-историческую реконструкцию понятия функции.

1.1 Логико-историческая реконструкция понятия функции

Начиная с XVII в. одним из важнейших понятий в математике является понятие функции. Начало понятию функции было положено в Древней Греции при обнаружении отношений между величинами, развитие этой линии привело к тому, что под функцией стали понимать зависимость между переменными. В XVI — XVII в.в. ученые создали геометрическую интерпретацию уравнений и зависимостей в декартовой системе координат, что позволило выделить такую характеристику функциональной зависимости как однозначность. В средние века преимущественно в Индии развивается аппарат работы с уравнениями, что в последствии окажет существенное влияние на аналитическую запись функции. Эти исторические моменты подготовили базу для того, чтобы ученым XVIII — XIX в. удалось сформулировать определение понятия функции, выделить его составляющие.

К настоящему времени в содержание понятия функции включены три аспекта [2, с. 124 — 128]:

1. Функция-формула, посредством которой зависимость между переменными задается в виде формулы y=f (x), здесь важным является то, что зависимость о которой идет речь, однозначна, так как значению переменной х ставится в соответствие единственное значение у. Это явно видно в геометрической интерпретации зависимости в виде графика в системе координат.

2. Функция-отношение. Такой подход используется в алгебре, где функция, например, определяется как подмножество декартова произведения Х₁Х₂…Х_п, т. е. множество упорядоченных п-ок чисел (х₁, х₂,…, х_п).

3. Функция-отображение. Такой подход к пониманию зависимости появился тогда, когда математики стали рассматривать зависимость между множествами элементов. Например, функцией на множестве, А со значениями в множестве В называется правило, по которому каждому элементу из, А сопоставляется элемент из В. Ныне такое понимание функции используется, например, в теории множеств.

Рассмотрим логику возникновения понятия функции. Отметим, что поскольку ученые ставили себе задачу найти закон, описывающий тот или иной процесс, то это способствовало развитию алгебраического аппарата, который помогал фиксировать отношения между величинами. Первые зависимости записывали в неявном виде, как уравнения. Например, алгебраисты Индии, начиная с VII в. умели уже решать задачи, которые, говоря современным языком, сводились к системам линейных уравнений с двумя переменными. Вершина достижения индийской математики в теории чисел — описание решения в целых, положительных числах неопределенного уравнения второй степени с двумя неизвестными ax² +b=y², где aцелое число, не являющееся квадратом. С помощью такого подхода к пониманию зависимости развивался аппарат для записи математических формул [29, 34]. Поскольку первым способом зафиксировать отношения были уравнения, то и первые зависимости также представляли собой равенства — уравнения. Позднее в XVIII веке начал оформляться современный функциональный аппарат.

Отметим, что нам удалось выделить три этапа становления понятия функции. На первом этапе понятие функции формировалось в качестве зависимости между величинами. Второй этап развития понятия функции связан с оформлением представления о функции как однозначной зависимости между двумя видами переменных. В качестве последнего этапа можно обозначить появление в определении функции области определения и область значения переменных. Мы опишем этот этап в рамках развития определений понятия функции. Нам удалось выделить три подэтапа формирования понятия функции как зависимости между двумя переменными, которое образовалось в процессе трансформации представлений об отношении между переменными величинами. На первом подэтапе учеными рассматривались отношения между постоянными величинами, на втором — появились задачи, в которых требовалось описать закономерности между переменными величинами, на третьем — появились идеи о предельном переходе, связанные с рассмотрением отношения между бесконечно малыми величинами. [6, 13, 14, 15, 24, 29]

1. Понятие функции как зависимость между величинами Отношение между постоянными величинами Представители ранней математики искали отношения между величинами, а не числами, но как результаты измерения величин получали ряды чисел.

Одним из примеров существования зависимости в Древней Греции является отношение золотого сечения. Деятели Древней Греции большое внимание уделяли эстетическому аспекту своих творений, которые должны были удовлетворять принципу соизмеримости основным пропорциям человека. Одним из таких отношений является отношение золотого сечения, которое фиксирует прежде всего пропорции между основными частями тела человека [15, 29, 34]. Задачу о золотом сечении можно сформулировать так: «Найти такой способ разделить целое на две части — меньшую и большую, чтобы была верна пропорция: меньшая часть относится к большей так же, как большая к целому». Задачу нахождения величин, удовлетворяющих соотношению, решали в древнегреческую эпоху исходя из геометрических рассуждений, при этом использовался «словесный», описательный способ передачи сведений, ныне применяется алгебраический аппарат [6, 13, 29, 34].

Итак, можно заметить, что изначально рассматривались ряды, составленные из чисел, полученных при измерении постоянных величин, связанных между собой определенным отношением.

Отношение переменных величин Физические переменные величины отличаются от постоянных тем, что они изменяются под воздействием внешних факторов, например, с течением времени.

Одним из первых, кто рассмотрел отношение между переменными величинами, был Кеплер. Он решал следующую астрономическую задачу: известно расстояние, которая прошла планета за конкретный месяц, необходимо определить какое расстояние она пройдет за следующий месяц [1, 25, 33]. Он сделал допущение, что для правильного расчета положения планет и звезд в заданный момент времени можно использовать конические сечения. Так, по Кеплеру планеты движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам. Теперь требовалось научно предсказать положение точки на кривой в любой момент времени. Кеплер сформулировал задачу на математическом языке, что позволило использовать соответствующий аппарат. На математическом языке задача формулируется следующим образом: «Известны ряды величин х и у, существует зависимость между ними, необходимо найти форму описания этой зависимости, которая была бы проста, помогала упростить вычисления, выполненные на основе геометрических соображений». Для решения задачи он разбил эллипс на сектора, близкие, по свойствам к секторам окружности. Так Кеплер свел вычисления для эллипса к задачи о движении тела по окружности, т. е. решал следующую задачу: «Математически описать путь, пройденный точкой по прямой или окружности, находящийся в постоянном отношении ко времени». Таким образом, появилась секториальная скорость, как отношение изменения расстояния, пройденного планетой, за определенный промежуток времени. На современном математическом языке формулу секториальной скорости можно записать так: щ где dц — изменение величины угла сектора окружности радиуса r, dtизменение времени. Поскольку описание формулы площади сектора окружности было известно, то появилась возможность обозначить площадь сектора эллипса S_сек.эл.=щ (ц)d (ц). Так появился первый случай рассмотрения переменного (величина угла изменяется с течением времени) внутри задачи отношения величин (отношение величины расстояния к величине времени) [1, 25, 33].

На данном этапе можно говорить о том, что происходит переход от рассмотрения рядов чисел, полученных при измерении величин (переменных, постоянных), к составлению формул, которые описывают закон изменения одной из них в зависимости от изменения другой.

Зависимости между бесконечно малыми переменными величинами Бесконечно малые величины характерны тем, что при рассмотрении отношения между ними может быть получено выражение вида 0/0, которое не имеет смысла. Вследствие этого появилась идея рассматривать не само отношение, а число, к которому стремится данное отношение, т. е. предел отношения.

В качестве примера, где рассматривались отношения бесконечно малых величин, можно привести задачу Галилея о равноускоренном движении. Предположим, что некоторое тело движется по такому закону, что его скорость в разные моменты времени изменяется одинаково. Пусть движение начинается с положения покоя, требуется найти закон, описывающий путь, который пройдет тело за данный промежуток времени [1, 25]. При решении этой задачи получаем, что отношение изменения величины пути ДS к изменению величины времени Дt не является постоянной величиной, т. е.. Значит, если бы мы вычисляли мгновенную скорость так же, как вычисляем среднюю, т. е. деля пройденное расстояние на требующееся для его прохождения время, то получили бы выражение 0/0. Вычисляя же средние скорости близкие к мгновенной, нам остается лишь посмотреть, к какой величине они стремятся.

Именно здесь встает один из ключевых вопросов в развитии понятия функция: как суметь перейти от отношения определенных величин к отношению бесконечно малых величин, которые, тем не менее, являются вполне определенными? Как вообще описать зависимость одной величины от другой? Вот здесь и появляются идеи о производной как отношения двух бесконечно малых приращений (изменений), и восстановлении зависимости по ее производной.

Позднее, в «Методе флюксий» Ньютон четко сформулировал обе задачи зависимости бесконечно малых в рамках метода исчисления: первую — по данному соотношению между флюентами (переменными) определить соотношение между флюксиями (производными — «скорости, с которыми каждая флюента увеличивается в силу порожденного движения»); вторую — по данному уравнению, содержащему флюксии, найти соотношение между флюентами [1, 15, 34].

Таким образом нам удалось проследить этапы становления понятия функции как зависимости между величинами. Теперь проследим какие результаты были получены в процессе решения задачи об аналитическом описании геометрической интерпретации зависимости.

2. Понятие функции как однозначной зависимости между величинами Благодаря геометрической интерпретации зависимости между переменными в представление о функции вошел такой момент как однозначность.

Одними из первых, кто активно начали использовать систему координат для иллюстрации каких-либо процессов, были Ферма и Декарт. В своих работах Ферма дал геометрическое представление уравнения с двумя переменными с помощью системы координат. Он показал, что кривая, которая задается квадратным уравнением, есть коническое сечение — эллипс, парабола, гипербола. Существенным недостатком его теории было то, что он продолжал придерживаться античного правила однородности. «Введение» Ферма долгое время, остававшееся в рукописи, не нашло такого широкого распространения, какое получила «Геометрия» Декарта. Декарт преодолел недостаток геометрии Ферма. Он показал, что если зафиксирован единичный отрезок, то все величины, в независимости от их размерности могут быть представлены одинаковым образом, также он зафиксировал положение и угол наклона оси ординат. Теперь умножение и другие арифметические действия давали величину, однородную с исходными. Поэтому, например, каждому отрезку х и многочлену Р (х) с рациональными коэффициентами можно поставить в соответствие другой отрезок у=Р (х) [7, 15, 24, 25, 34]. Можно предположить, что Декарт и Ферма уже использовали символику, предложенную Виетом, поскольку М. Клайн говорит о том, что математическое определение производной (в виде формулы, записанной буквами, фиксирующей отношение между приращениями функций) принадлежит Ферма. Этим двум ученым удалось установить соответствие между алгебраическим видом формулы вида у=Р (х) и ее геометрической формой, тем самым они положили начало совершенно новому пониманию кривой, как линии зафиксированной определенной системой координат на плоскости, которую алгебраически можно задать уравнением [7, 15, 24, 25, 34].

Отметим, что в «Геометрии» Декарта, в работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции носило по существу интуитивный характер. Оно было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями: ординаты точек кривых — функции от абсцисс (х); путь и скорость однозначно изменяются с течением времени, т. е. являются функциями от времени (t), что хорошо видно на графике зависимости. Такое представление позволило им разделять два вида кривых: первый — те, у которых абсцисса однозначно соответствует ординате, второй — кривые, где однозначного соответствия нет. Это представление было «интуитивным», явное понимание функции как однозначном соответствии появилось лишь в XIX веке.

Проследим дальнейшее развитие представлений о функции на примере некоторых определений, которые предлагали ученые XVII — XIX веков.

3. Определение понятия «функция»

Как термин в нашем смысле выражение «функция от х» стало употребляться Лейбницем и И. Бернулли начиная с 1698 г.: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных, т. е. аналитическим выражением» [14, 15, 25, 32, 34].

Так понимали функцию на протяжении почти всего XVIII в. Даламбер, Лагранж и другие видные математики. Под аналитическим выражением понималось алгебраическое равенство в виде конечной композиции элементарных функций, в том числе и бесконечные ряды [25, 34]. Что касается Эйлера, то он не всегда придерживался этого определения; в его работах понятие функции подвергалось дальнейшему развитию в соответствии с запросами математической науки. В некоторых своих произведениях Л. Эйлер придает более широкий смысл функции, понимая ее как кривую, начертанную «свободным влечением руки». В связи с таким взглядом Л. Эйлера на функцию между ним и его современниками возникла большая полемика вокруг вопроса о возможности аналитического выражения произвольной кривой и о том, какое из двух понятий (кривая или формула) следует считать более широким. Фактически этот вопрос можно переформулировать так: любую ли кривую можно описать аналитически?

Вопрос о возможности описания кривой некоторой формулой, привел к возникновению спора, связанного с исследованием колебаний струны. На основе определения Эйлера французский математик С. Ф. Лакруа в своем «Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению», опубликованном в 1797 г., смог записать следующее: «Всякое количество, значение которого зависит от одного или многих других количеств, называется функцией этих последних независимо от того, известно или нет, какие операции нужно применить, чтобы перейти от них к первому» [5, 29].

Как видно из последнего определения, ученые XVIII в. понимали под функцией не только аналитическое выражение, как в первоначальном определении Эйлера, но и другие формы задания зависимости «одного количества от многих других количеств» .

Таким образом, зарождалось понимание функции как отношения между аналитическим и графическим способами задания зависимости между переменными величинами.

Одним из нерешенных в XVIII в. вопросов, связанных с понятием функции, по поводу которого велась ожесточенная борьба мнений, был следующий: можно ли одну функцию (зависимость) задать несколькими аналитическими выражениями?

Большой вклад в решение спора Эйлера, Даламбера, Д. Бернулли и других ученых XVIII в. по поводу того, что следует понимать под функцией, в контексте задачи о решении волнового уравнения, внес французский математик Ж. Фурье (1768−1830), занимавшийся в основном математической физикой.

В представленных им в Парижскую Академию наук в 1807 и 1811 гг. работах по теории распространения тепла в твердом теле, Фурье привел и первые примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями. Из трудов Фурье явствовало, что любая кривая независимо от того, из скольких и каких разнородных частей она составлена, может быть представлена в виде единого аналитического выражения, и что имеются также прерывные кривые, изображаемые аналитическим выражением.

В своем «Курсе алгебраического анализа» (1821 г.) французский математик О. Коши обосновал выводы Фурье. Таким образом, на определенном этапе развития физики и математики стало ясно, что приходится пользоваться и такими функциями, для определения которых очень сложно или даже невозможно ограничиться одним лишь аналитическим аппаратом, который стал тормозить требуемое математикой и естествознанием расширение понятия функции.

В 1834 г. в работе «Об исчезновении тригонометрических строк» Н. И. Лобачевский, развивая вышеупомянутое эйлеровское определение функции в 1755 г., писал: «Общее понятие требует, чтобы функцией от х называть число, которое дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной… Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа, одни с другими в связи, принимать как бы данными вместе». Щетников А. И. отмечает, что Лобачевский еще вовсе «не настаивал на обязательном понимании функции как однозначного соответствия» [32,с.10].

В 1837 г. немецкий математик П. Лежен-Дирихле так сформулировал общее определение понятия функции: «у есть функция переменной х (на отрезке a? х?b), если каждому значению х (на этом отрезке) соответствует совершенно определенное значение у, причем безразлично, каким образом установлено это соответствие — аналитической формулой, графиком, таблицей либо даже просто словами». Примером, соответствующим этому общему определению, может служить так называемая «функция Дирихле» [18]

Функция Дирихле является примером функции, которую аналитически можно определить лишь с помощью довольно сложной формулы, не способствующей успешному изучению ее свойств. Тем самым, примерно в середине XIX в., появляется ответ на вопрос об однозначности соответствия аналитического выражения и зависимости, заданной геометрически: не каждую кривую можно описать одним выражением.

Во второй половине XIX в. после создания теории множеств понятие функции вобрало в себя элементы теоретико-множественного подхода. Таким образом, в полном своем объеме общее определение понятия функции формулируется следующим образом: «Если каждому элементу х множества, А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент у множества В, то говорят, что на множестве, А задана функция f (х), или что множество, А отображено на множество В. В первом случае элементы х множества, А называют значениями аргумента, а элементы у множества В — значениями функции; во втором случае х — прообразы, у — образы» .

Уже с самого начала XX в. описанное выше определение стало вызывать некоторые сомнения среди части математиков-алгебраистов. Еще важнее была критика физиков, натолкнувшихся на явления, потребовавшие более широкого взгляда на функцию, как отношение, отображение. Поэтому понятие функции продолжает оформляться до сих пор. За рамками нашего исследования осталось рассмотрение понятия функция в ТФКП, топологии и других отраслях высшей математики, поскольку эти подходы не находят отражения в школьной математике.

Нам удалось проследить некоторые исторические этапы развития понятия функция, выделить основания его появления. Можно говорить о том, что изначально представления о функциональной зависимости оформилось как отношение между величинами. После, в процессе развития геометрического аппарата, класс зависимостей разделился: под функциональными стали понимать зависимость одной переменной величины от другой, а все остальные стали рассматривать как неоднозначные. Перечислим ключевые вопросы в оформлении современного представления о понятии функция:

1. Как суметь перейти от рассмотрения отношения определенных величин к отношению бесконечно малых величин? Как вообще описать зависимость одной величины от другой? Как восстановить зависимость по ее производной? С помощью этой группы вопросов появилось понимание функции как зависимости между величинами.

2. Любую ли кривую можно описать на алгебраическом языке? Вопрос о соотнесении графической и аналитической формами существования зависимости, который в свою очередь помог увидеть однозначный характер зависимости между переменными.

3. Можно ли одну функцию задать несколькими аналитическими выражениями? Вопрос об области определения.

На основании проделанного нами анализа литературы по истории математики можно выделить основные составляющие понятия функции, которые закрепились в определении в конце XIX века и в настоящее время находят отражение в школьной математике. Под функцией понимают зависимость между переменными х из множества Х и у из множества Y, которая записывается формулой определенного вида у=f (х), причем каждому х соответствует единственное значение у. При этом х называют независимой, а у — зависимой переменной. Задать функцию y=f (x) значит указать: 1) множество, А значений, которые может принимать аргумент х (область задания (определения) функции). В простейших случаях областью задания служит вся числовая прямая или её отрезок a? x? b (или интервал а<�х

1.2 Введение понятия функции в программе А. Г. Мордковича «Алгебра 7»

1.2.1 Анализ логики введения понятия функции

В большинстве школ России учителями математики используется УМК А. Г. Мордковича. Приоритетной линией изложения материала, как отмечают авторы, в программе является функционально-графическая, причем функция представлена учащимся как специальный вид линейного уравнения, который удобно использовать для описания математических моделей практических ситуаций. В качестве моделей практических ситуаций автор разбирает в учебнике текстовые задачи или описывает конкретный пример, где в качестве модели выступает изучаемая функция. Так, линейная функция, изучаемая в 7 классе, моделирует равномерный процесс, тригонометрическая, изучаемая в 9 классе, — более сложный периодический. Автор утверждает, что построение материала осуществляется по схеме: функция — уравнение — преобразования [21], однако данный принцип нарушается при введении линейной функции, здесь схема выглядит так: уравнение — функция — преобразования.

К методическим особенностям концепции изучения функции следует отнести: отказ от формулировки определения функции при первом появлении этого понятия, постепенное введение в программу свойств функций, подлежащих изучению на различных уровнях строгости. Таким образом, предполагается сформировать у учащихся наглядно-интуитивный, рабочий и «формальный» уровни работы с понятием функция. Постепенно при рассмотрении различных функций накапливается система свойств, которые объединены автором в «инвариантное ядро» .

Опишу последовательность введения представлений о линейных и квадратичных функциях в 7 классе, которую мне удалось восстановить при чтении учебника. Изучение начинается с вводной части, а именно, рассмотрения координатной прямой и числовых промежутков на ней. Далее предлагается рассмотреть координатную плоскость и координаты точек, как простейших объектов, которые можно изобразить на координатной плоскости. После рассматриваются прямые, параллельные осям координат, в рамках решения задачи построения точки по описанным (заданным) координатам, что приводит к появлению первой «прямой, удовлетворяющей уравнению» .

Далее рассматривается линейное уравнение с двумя переменными и его график. Автор стартует с линейного уравнения с одним неизвестным, а затем осуществляет переход к линейному уравнению с двумя неизвестными при разборе задачи, моделью решения которой является этот вид линейного уравнения (далее мы будем рассматривать только этот вид линейного уравнения). Последующее изложение материала я опишу более подробно, поскольку это является существенным для введения понятия линейная функция.

Подготовительный этап После того, как записан пример линейного уравнения с двумя неизвестными, сразу предлагается общий вид уравнения ax+by+c=0 (a, b?0). Далее автор говорит о том, что решением уравнения ax+by+c=0 является пара чисел (х, у), причем таких решений бесконечно много, при этом упоминается о смысловых ограничениях, которые могут присутствовать при решении текстовых задач, что и иллюстрируется примером. После этого предлагается изобразить решения конкретного линейного уравнения с двумя неизвестными. Вследствие этого выясняется, что графической моделью (графиком) заданного линейного уравнения является прямая. Этот факт переносится на любое уравнение вида ax+by+c=0. Далее строится алгоритм нахождения координат — решений уравнения при помощи формулы ax+by+c=0. [20, 22].

Введение

понятия линейная функция После этого начинается рассмотрение основной темы курса алгебры 7 класса — «Линейная функция и ее график». Начинается тема с обсуждения общего способа нахождения решений линейного уравнения с двумя неизвестными, для этого производится преобразование уравнения ax+by+c=0 к виду линейной функции y=kx+m (k?0, m — числа). Таким образом, линейной функцией объявляется частный (специальный) вид линейного уравнения с двумя неизвестными, в котором различают два вида переменных — зависимую и независимую. Поскольку линейная функция — специальный вид уравнения, то ее графиком является прямая, которую можно построить по двум точкам. После этого обсуждаются смысловые ограничения на переменную х, которые возникают при решении текстовых задач, что и подтверждается примером. Вводятся обозначения для построения функций, заданных на интервалах. Далее рассматривается наибольшее, наименьшее значение функции, и описывается графический способ решения линейных неравенств kx+m>0, kx+m<0. После авторы рассматривают прямую пропорциональность у=kx и ее график, как частный линейной функции. Здесь говорится о возможности построения графика линейной функции по графику прямой пропорциональности, вводятся термины возрастающие и убывающие функции. Далее обсуждается взаимное расположение графиков линейных функций. На этом введение понятия линейная функция завершается.

Введение

квадратичной функции Далее предлагается рассмотреть новую «модель практической ситуации» квадратичную функцию. Функция вида у=х² вводится в качестве модели, имеющей структуру такую же как у линейной функции, где «в левой части равенства находится переменная у, а в правой — какое-нибудь выражение с переменной х. Для таких моделей сохраняется термин «функция, опуская прилагательное «линейная» «. После обсуждается вид графика квадратичной функции, его свойства (симметрия, нахождение наибольшего и наименьшего значений по графику), возможные точки пересечения параболы и прямой. Все свойства параболы приводятся без обращения к какой-либо задаче. Обсуждается значение вводимого обозначения y=f (x), которое дает возможность изучить новый вид функций — кусочные. В этой теме на примерах вводятся представления об области определении функции, непрерывных функциях и точках разрыва, где рассматривается ряд примеров. Далее рассматривается блок тем, связанных с системами двух линейных уравнений. Подведем итоги.

В программе А. Г. Мордковича можно выделить два основных объекта, которые являются базовыми для введения понятия линейная функция: линейное уравнение с двумя неизвестными и график линейного уравнения.

В курсе А. Г. Мордковича при введении понятия функция можно проследить четыре локальных блока.

I. Раскрывается связь линейного уравнения с двумя неизвестными и его графика, алгоритм построения прямой по двум точкам.

II. Оформляется связь линейной функции с ее геометрической моделью.

III. Вводится область определения функции, что позволяет определять наибольшее, наименьшее значение функции, решать линейные неравенства, т. е. увидеть практическое применение введенной линейной функции.

IV. Рассматривается новый способ построения прямой при помощи графика прямой пропорциональности, обсуждаемое здесь взаимное расположение прямых позволяет осваивать материал, связанный с решением систем линейных уравнений с двумя неизвестными.

Благодаря тому, что в первом блоке вводится представление о графике линейного уравнения, во втором блоке удается оформить представления о графике линейной функции. Это возможно, поскольку линейная функция вводится как частный вид линейного уравнения, что позволяет осуществить перенос свойств. Третий и четвертый блоки логически никак не связаны с первым и вторым.

1.2.2 Критика введения понятия функции в программе А.Г. Мордковича

По нашему мнению, автор описанной выше программы очень сильно редуцирует как понятие функции, так и отношение между линейной функцией, линейным уравнением и их графиками. В данном пункте мы попытаемся обосновать, что подобная редукция отрицательно сказывается на качестве формирования понятия линейной функции у школьников. Для этого мы, прежде всего, подробно проанализируем отношение системы объектов: линейного уравнения с двумя переменными, линейной функции и их графиков.

I. Реконструкция связи между понятиями При определении линейного уравнения и его графиков будем следовать [5, 18, 19, 26].

Согласно [5], под уравнением понимают условие связи между неизвестными х и у, которое задано при помощи определенной формы записи: «Уравнение — математическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны». В частности, форма записи линейного уравнения с двумя неизвестными имеет вид ax+by+c=0, где a, b, с — некоторые числа, т. е. это — алгебраическое уравнение, в которое неизвестные входят в 1-й степени и отсутствуют члены, содержащие произведения неизвестных. Только при выполнении данного условия, пара (х, у) будет называться решением уравнения.

В отличии от неизвестных в уравнении, переменные в алгебраической записи функции неравноправны, поскольку одна переменная (зависимая) явно выражается через другую (независимую). При изучении линейной функции теряется важный аспект понятия функции — однозначность зависимости.

Попытаемся понять, каким образом соотносятся линейное уравнение и линейная функция в аналитической форме. От уравнения ax+by+c=0 можно однозначно перейти к формуле у=kx+m с помощью преобразований. Для выполнения обратного действия нужно произвести обратные преобразования. Стоит отметить, что уравнение по известной «функции-формуле» может восстановиться неоднозначно (с точностью до умножения на константу).

Формально формулу у=kx+m можно считать уравнением с двумя переменными, которое имеет специальную форму записи. Таким образом, линейная функция лишь по форме записи является частным случаем линейного уравнения с двумя переменными. На смысловом уровне уравнение понимается как условие на связь между равноправными неизвестными, тогда как функция понимается как зависимость одной переменной от другой. Конечно, зависимость может быть задана в неявном виде (неявным уравнением), но при этом она может оказаться нефункциональной (нарушится условие однозначности) [5, 19].

Перед тем как говорить о графиках функции и уравнения дадим определение. «Чтобы задание функции графиком было вполне корректным с чисто математической точки зрения, недостаточно, просто начертить её график, ибо задание геометрического объекта чертежом всегда недостаточно определённо. Поэтому для графического задания функции должна быть указана точная геометрическая конструкция её графика. Чаще всего эта конструкция задаётся при помощи уравнения, что возвращает нас к аналитическому заданию функции; однако возможны и чисто геометрические методы построения графика (например, прямая линия вполне определяется заданием координат двух её точек)». График уравнения представляется как геометрическое место точек всех решений линейного уравнения [5, 18, 19].

График не любого уравнения можно рассматривать как график некоторой функции, например, окружность радиуса r является графиком уравнения х²+у²=r², но графиком функции не является. Если линейное уравнение содержит два неизвестных (не вырождено), то его уравнение всегда является графиком функции.

График функции можно понимать как геометрическое место точек, каждая из которых показывает зависимость между переменными, выражаемую формулой у=f (х). Таким образом, график функции — это способ показать зависимость геометрически. Графики невырожденного линейного уравнения и линейной функции, дающей ее решения, совпадают. Если понимать под графиком не только линию на плоскости, но и ее аналитическое обозначение, то графики линейных уравнения и функции не являются тождественными объектами, поскольку одному и тому же графику может соответствовать только одна линейная функция, но класс линейных уравнений.

По данному графику функция восстанавливается однозначно, а линейное уравнение — с точностью до пропорциональности коэффициентов.

Можно утверждать, что график является геометрической моделью алгебраического объекта — уравнения (функции).

Основываясь на вышесказанном, можно построить схему анализа связи понятий линейной функции и линейного уравнения, изображенную на рис 1.1.

функция алгебра школа учитель

Поясним графику схемы. Верхняя плоскость содержит алгебраические структуры, нижняя — геометрические. Между плоскостями существует модельный характер взаимосвязи. РИС 1.1

Символ «-» обозначает, что между объектами возможно осуществление действия перехода от одного объекта, обозначенного на схеме, к другому, и они находятся в определенных отношениях.

Отметим, что на схеме показано, что линейному уравнению соответствуют прямые из множества произвольных прямых на координатной плоскости, тогда как линейной функции соответствуют только прямые из множества прямых, не параллельных оси ОY.

II. Применение схемы для анализа способа введения понятия линейная функция в программе А. Г. Мордковича Теперь проанализируем при помощи этой схемы способ введения понятия линейная функция А. Г. Мордковича, используя элементы описанные выше при построении общей схемы анализа.

Дл я удобства введем следующие сокращения:

ЛФ — линейная функция;

ЛУ — линейное уравнение;

ГЛФ — график линейной функции;

ГЛУ — график линейного уравнения.

Восстановим как определяются линейное уравнение и его график, приводимое А. Г. Мордковичем. Линейное уравнение с двумя неизвестными — это равенство ax+by+c=0, где a, b, с — числа. Прямая l (он изображена на рисунке в учебнике) является графиком уравнения х+ у -3=0. Говорят также, что прямая l — геометрическая модель уравнения х+у-3=0.

На этом этапе происходит понимание того, что средством показать все решения любого линейного уравнения служит его график, который можно построить всего по двум точкам. Об обратной связи, т. е. о том, что любую прямую на координатной плоскости можно описать линейным уравнением, в учебнике ничего не упоминается (отсутствует переход ГЛУ>ЛУ). Таким образом, отношение между линейным уравнением и прямой на координатной плоскости дается не полностью (на схеме переход ЛУ>ГЛУ).

Линейная функция определена в учебнике как «частный вид линейного уравнения у=kx+m, где k, m — числа, причем k?0.

Заметим, что в определении линейной функции уже обозначено отношение, в котором состоят линейная функция и линейное уравнение: по форме записи линейная функция — частный случай линейного уравнения. Мы отмечали, что это так только с точки зрения формы записи, но А. Г. Мордкович глобализует это определение, поскольку не вводит понятие зависимости и не предполагает за термином «функция» никаких других смыслов. В учебнике производится преобразование линейного уравнения к виду у=kx+m, но не дается обратного преобразования, которое бы подтверждало, что «линейная функция — специальный вид линейного уравнения», таким образом эта связь односторонняя «ЛУ>ЛФ» .

График линейной функции определяется А. Г. Мордковичем следующим образом: «Графиком уравнения у=kx+m, как и всякого линейного уравнения с двумя переменными, является прямая — ее называют график линейного уравнения». Алгебраически любая прямая, за исключением прямой, параллельной оси ОУ, описывается с помощью линейной функции. Но из-за того, что А. Г. Мордкович требует наличия в уравнении как переменной у так и переменной х, он отказывает быть графиком функции также и прямой, параллельной оси ОХ. Это приводит к дефектности формируемого понятия функции, а именно, учащиеся считают, что выражение вида у=с функцией не является.