Различные подходы к изучению квадратичной функции в школьном курсе математики

Различают две основные математические трактовки понятия функции:

1) Генетическую Основные понятия, используемые при генетической трактовке: переменная величина, функциональная зависимость переменных величин, формула (выражающая одну переменную через некоторую комбинацию других переменных), декартова система координат на плоскости.

Достоинство подхода: подчеркивая динамический характер понятия функциональной зависимости, выявляется модельный аспект понятия функции относительно изучения явлений природы.

Недостатки: переменная всегда неявно предполагается пробегающей непрерывный ряд числовых значений. Поэтому понятие связывается с числовыми функциями числового аргумента.

2) Логическую Обучение функциональным представлениям следует строить на основе методического анализа понятия функции в поисках понятия алгебраической системы. Здесь функция — отношение специального вида между двумя множествами, удовлетворяющее условие функциональности. Начальный этап изучения — понятие отношения.

Реализация логического подхода вызывает необходимость иллюстрировать понятие функции при помощи разнообразных средств: формулы, таблицы, задание функции стрелками, перечислением пар, использованием не только числового, но и геометрического материала (теперь и геометрическое преобразование можно рассматривать как функцию). Однако наработанные таким образом общие понятия в дальнейшем связываются только с числовыми функциями одного числового аргумента, поэтому при таком подходе наблюдается определённая избыточность в формировании функции как обобщённого понятия.

Усвоение знаний, способствующее развитию мышления учащихся, предполагает целенаправленное управление процессом формирования понятий.

Л.С. Выготский, изучая закономерности умственного развития ребенка, пришел к заключению, что именно образование понятий является ключом к пониманию процессов психологического (в том числе интеллектуального) развития подростков.

Для современной практики обучения особый интерес представляет поиск ответа на вопрос о том, почему именно с образованием понятий Выготский Л. С. связывал коренную перестройку всей интеллектуальной деятельности подростка, а также существенные изменения содержания его сознания в целом.

Во-первых, благодаря понятиям ученик начинает понимать связи, отношения, взаимозависимости, скрытые за поверхностью видимых явлений, и, следовательно, постигать закономерности, управляющие действительностью.

Во-вторых, с помощью понятий происходит расширение среды сознания подростка. Иными словами, средой для мышления ученика становится весь мир в его многообразии и целостности.

В-третьих, происходит перестройка элементарных познавательных функций на основе их синтеза с функцией образования понятий: восприятие фактически превращается в наглядное мышление, запоминание начинает опираться на смысловые связи, внимание приобретает произвольный характер.

В-четвертых, понятия выступают в качестве средства адекватного и полного усвоения исторически сложившегося опыта человечества. Фактически, только через понятия индивидуум открыт культуре и, таким образом, только через понятия осуществляется наиболее эффективная социализация (очеловечивание) индивидуального интеллекта, что создает предпосылки для понимания других людей.

В-пятых, благодаря формированию понятийного мышления (владению понятиями) содержание мышления становится внутренним убеждением подростка, его интересом, желанием и намерением. Переплетаясь со сложными внутренними моментами личности, содержание мышления становится «достоянием личности, начинает участвовать в общей системе движения этой личности».

В-шестых, понятийный опыт — это основа самопознания, ибо, по словам Выготского, «…только с образованием понятий наступает интенсивное развитие самовосприятия, самонаблюдения, интенсивное познание внутренней действительности, мира собственных переживаний».

Таким образом, мышление в понятиях обеспечивает возможность нового типа понимания объективного мира, возможность понимания других людей и, наконец, возможность понимания самого себя.

Традиционно понятийное мышление определяется как особый вид познавательной активности, обеспечивающей обобщенное отражение существенных характеристик действительности в ходе ее анализа, синтеза, обобщения.

Генетический анализ процесса формирования понятий (П.Я.Гальперин) показывает, что отличительной чертой понятийной познавательной деятельности является непрерывное взаимодействие словесно-символических форм выражения содержания понятий и соответствующих им образных структур.

Словесно-речевые процессы выступают в качестве органического компонента понятийного отражения действительности. Мышление в понятиях невозможно вне речевого мышления. Слово при этом принимает самое непосредственное участие в вычленении различных компонентов отражаемых объектов, их дифференцировке и фиксации в сознании. Словесные знания упорядочивают и систематизируют образные представления учащихся.

Отмечая решающую роль слова в становлении мыслительной деятельности, нельзя забывать о том, что формирование мышления не сводится лишь к овладению языком. Превращение слова в регулятор процесса усвоения информации предполагает определенный уровень организации чувственно-практического опыта учащегося, при котором предметные действия и зрительные впечатления должны быть представлены в наглядно-обобщенной форме, обеспечивающей фиксацию существенных черт объекта.

Для понятийного мышления характерно появление особого рода представлений, а именно образных моделей и схем, требующих более высоких уровней обобщения.

К такому выводу приходит М. А. Холодная. Она показывает, что в работу понятийной мысли непосредственно включены образные системы разной степени обобщенности, позволяющие воспроизводить в наглядной форме различные стороны объекта.

Образы обеспечивают такую характеристику понятия, как его предметная отнесенность. Они предлагают отличать любой предмет данного класса от всех предметов, не принадлежащих к этому классу. Образ выступает как одна из форм упорядочивания и систематизации информации. Образы делают мыслительный процесс более ярким, гибким, повышают его эмоциональную насыщенность.

Таким образом, в структуре мышления переработка информации идет в системе двух «языков»: словесно-речевого и образного. Следовательно, процессы взаимодействия словесно-речевых и образных компонентов составляют неотъемлемую черту работы понятийного мышления как частного вида мыслительной активности. Специфика образного «языка» понятийного мышления заключается в высокой степени его динамичности (активное преобразование образа, связанное с вычленением отдельных его элементов, перестройкой исходного образа в соответствии с требованиями задачи), системности (соотнесенность данного образа с рядом других образов), обобщенности (передача в образных формах общих, существенных характеристик объекта).

Дальнейший анализ психологических особенностей понятийного мышления показывает, что знания на понятийном уровне — это всегда знание некоторой совокупности признаков объекта.

В этом плане понятийный уровень осмысления фактов отличается от уровня представлений тем, что в последнем признаки представлены в органическом объеме, слитно и недифференцированно, отсутствует осознание связи между ними. Причем эти процессы невозможны без соответствующей словесной интерпретации признаков и образного их представления, так как признаки дифференцируются средствами языка и закрепляются за счет активизации образов разной степени обобщенности.

Таким образом, понятийное мышление предполагает расчленение признаков объектов, входящих в объем понятия и разъяснения существа каждого из них.

Далее, понятийное мышление характеризует такой уровень понимания действительности, при котором тот или иной факт описывается в органическом единстве его частных и общих характеристик.

Соотнесенность в понятии частных и общих признаков позволяет оценить степень их существенности применительно к содержанию решаемой задачи. Именно умение вычленить существенные характеристики отображаемых объектов является критерием сформированности понятийного мышления (С.Л. Рубинштейн).

Понятийное обобщение имеет в своей основе целый ряд мыслительных процедур: дифференцировку некоторого множества признаков объекта, оценку каждого из них по степени обобщенности, определение места того или иного признака в системе других признаков, выявление степени существенности признаков в соответствии с характером поставленной задачи.

Важно заметить, что, по мнению Л. С. Выготского, центральным вопросом для всей проблемы является вопрос о психологической основе такого важного свойства понятийного мышления, как системность.

Особенности усвоения каждого отдельного понятия определяются характером его взаимосвязей с другими понятиями, и только в системе понятийных взаимодействий отдельное понятие приобретает качество осознанности и произвольности.

В свою очередь, возможность включения понятия в систему отношений общности с другими понятиями зависит от того, насколько организованы признаки в содержании отдельного понятия. В исследованиях М. А. Холодной проведен анализ процесса установления родо-видовых связей в системе понятий. По полученным данным, этот процесс включает целый ряд этапов, которые должна пройти мысль, прежде чем она сумеет осуществить переход от данного конкретного видового понятия к его родовому обобщению. В частности, чем более разнообразно, ярко развернут в сознании «видовой пример», тем вероятнее и успешнее произойдет установление искомой родовидовой связи. Родовые понятия, в свою очередь, воздействует на формирование и применение видовых понятий: направляют процесс словесно-образного перевода, определяют особенности анализа соответствующего объекта или явления, задают направление поиска понятий, связанных с исходным понятием.

Таким образом, необходимо одновременно вести работу как по упорядочению в сознании учащихся признаков отдельного понятия, так и по установлению связей последнего с системой понятий.

Последующий анализ особенностей организации понятийного мышления показывает, что оно представляет собой сложную форму умственной деятельности, связанную с необходимостью выполнения различных преобразований объектов, явлений, подводимых под понятие. В этом плане владение понятием предполагает выполнение ряда мыслительных операций.

Действительно, владение понятием о данном объекте предполагает умение мысленно воспроизводить, строить этот объект, вычленять его отдельные свойства, детали, стороны, качества, знать его происхождение.

Л.С. Рубинштейн подчеркивает, что операции на уровне понятийного мышления приобретают свои специфические черты. Так, анализ приобретает форму абстракции, предполагающей вычленение существенных свойств объекта и их преобразование. Синтез выступает как мыслительная процедура, связанная с восстановлением конкретного как проанализированного целого, в соотношении его многообразных проявлений. Понятийное обобщение характеризуется процессами обобщения по существенным признакам. По мере того, как в процессе мышления складываются определенные операции — анализа, синтеза, обобщения, — по мере того, как они генерализируются и закрепляются, у учащихся формируется мышление как способность, складывается интеллект.

Кроме того, при формировании понятий большое значение имеет умение учащихся производить различные операции с признаками понятия при подведении предмета под данное понятие.

Безусловно, в образовании понятий участвуют все мыслительные операции. Поэтому можно сказать, что по мере того, как у учащегося складывается определенная система операций, у него происходит усвоение научных понятий.

Говоря о важнейших особенностях понятийного мышления, нельзя обойти вопрос о той роли, которую играет в функционировании этой формы познавательной активности предметно-практический опыт учащихся.

Активность, динамичность образного «языка» мышления учащихся в значительной степени зависит от особенностей организации опыта предметно — практического взаимодействия ребенка с действительностью.

Регуляция предметного опыта через систему словесного знания приводит к тому, что информация об отражаемом объекте предстает для учащегося в наглядно — обобщенной форме, которая структурно фиксирует наиболее существенные «родовые» характеристики отображаемых объектов или явлений. Другими словами, чем активнее и целенаправленнее преобразовывается учащимися содержание предметного опыта, тем эффективнее идет формирование процессов словесно-образного перевода и, следовательно, понятийного мышления в целом.

При введении новых понятий следует пользоваться действительными пространственными формами и количественными отношениями — вещами, их моделями, изображениями, надо использовать с этой целью и опыт учащихся, приобретенный в обыденной жизни.

Итак, общий обзор психологических и педагогических исследований показывает, что понятийное мышление выступает как сложная форма умственной деятельности, особенность организации которой необходимо связана с актуализацией целой системы тесно взаимосвязанных видов психического отражения действительности.

Так, понятийная познавательная деятельность предполагает:

подключение предметного (житейского) опыта детей;

наличие взаимно-обратимого перевода содержания понятий со словесно-символического языка на язык образов разной степени обобщенности;

осознание и дифференциацию признаков, характеризующих объект или явление; соотнесение всех выделенных признаков по степени их обобщенности и существенности в соответствии с требованиями задачи;

установление системы связей каждого отдельного понятия с рядом других понятий;

сформированность основных мыслительных операций (анализа, синтеза, сравнения, обобщения), характеризующихся свойством обратимости;

различные формы «участия» в процессах становления и функционирования понятий, опыта предметно-практического взаимодействия учащихся с окружающей средой.

Квадратичная функция относится к числу основных понятий школьного курса математики. Поэтому учебная программа школы предполагает достаточно полное и всестороннее изучение этого понятия. Данный учебный материал имеет широкие связи с другими разделами алгебры, а также с рядом учебных предметов. Такое место указанного раздела школьного курса математики требует, чтобы его основные понятия были усвоены полноценно.

Большое количество допускаемых учащимися ошибок и причин их возникновения дает основание предполагать, что имеются определенные пробелы в знаниях учащихся по данному учебному материалу.

Но, с другой стороны, в преподавании этого раздела накоплен большой опыт, который необходимо проанализировать с точки зрения отражения в нем современных требований к процессу преподавания. А также выяснить, насколько учитывается и какими средствами реализуются те условия, которые способствуют формированию и полноценному усвоению понятия данной темы.

Одной из задач методики преподавания математики является сохранение лучших традиций преподавания. В этой связи важно проследить, каким образом осуществляется преемственность опыта изложения темы «Квадратичная функция» .

Основной целью данной главы является анализ и обобщение опыта преподавания темы «Квадратичная функция» с точки зрения современных требований к организации процесса обучения и задач формирования основных понятий.

Важно отметить, что формирование понятий связано с выработкой у учащихся ряда интеллектуальных и практических умений.

Так, реализация обратимого перевода словесно-символических форм выражения содержания понятий на язык образов предполагает выработку целого ряда умений: читать и анализировать графики, пространственно представлять словесно-символическую информацию, словесно описывать схематически представленные планы действий, оперировать пространственными образами, перестраивать образы в соответствии с приемами расчленяющей абстракции, составлять задачи на основе предъявленного графика.

Таким образом, эффективность процессов словесно-образного перевода предполагает наличие достаточно развитой речи и пространственного представления учащихся.

Активизации мыслительных операций способствует формирование умений: устанавливать аналогии между объектами, анализировать, формулировать задачу, обратную данной, критиковать, ставить вопросы, планировать и контролировать стратегию своей деятельности.

Включение данного понятия в систему других понятий возможно, если учащиеся умеют устанавливать родо-видовые связи между различными понятиями, продифферецировать понятия, классифицировать их, составлять схемы связей изучаемых понятий и объяснять их взаимосвязи, включать данное понятие в систему межпредметных связей.

Задача установления связи понятия с содержанием предметно-практического опыта решается в результате выработки у детей следующих умений: выполнять соответствующие содержанию усваиваемого понятия различные предметные действия, осознавать некоторую предметную область возникновения и применения понятия.

Одним из средств формирования каждого из перечисленных выше умений может служить специально подобранная система заданий. Логическая структура каждого из этих заданий должна непосредственно способствовать выработке того или иного умения, а в своей совокупности данные задания должны обеспечить возможность целостной организации понятийной познавательной деятельности учащихся по усвоению рассматриваемого понятия.

В современном школьном курсе математики в итоге длительных методических поисков в качестве ведущего был принят генетический подход к понятию функции.

Основные направления введения понятия функции в школьном курсе математики В современном школьном курсе математики ведущим подходом считается генетический с добавлением элементов логического. Формирование понятий и представлений, методов и приёмов в составе функциональной линии в системе обучения строится так, чтобы внимание учащихся сосредотачивалось на:

• 1) выделенных и достаточно четко разграниченных представлениях, связанных с функцией;
• 2) установлении их взаимодействия при развёртывании учебного материала.

Выделена система компонентов и установлена связь между ними. В систему входят такие компоненты:

• 1) представление о функциональной зависимости переменных величин в реальных процессах и математике;
• 2) представление о функции как о соответствии;
• 3) построение и использование графиков функций, использование графиков функций;
• 4) вычисление значений функций, определённых различными способами;

Введение

понятия ведётся по трём основным направлениям:

• · упорядочение основных представлений о функции; развёртывание системы понятий, характерных для функциональных линий (способы задания и общие свойства функций, графическое истолкование области определения, области значения, возрастания и т. д. на основе метода координат);
• · глубокое изучение отдельных функций и их классов;
• · расширения области приложения алгебры за счёт включения в нею идеи функции и разветвлённой системы действий с функцией.

Первое направление появляется в алгебре ранее остальных. Основной акцент — усвоение учащимися однозначности соответствия аргумента и определяемого по нему значения функции. Из разнообразных способов задания функции чаще всего используется способ задания функции формулой остальные способы задания — подчинённые. Сопоставление различных способов задания вызвано практической потребностью и важно для усвоения всего многообразия понятия функции.

Анализ учебного материала по теме «Квадратичная функция» в учебниках по алгебре 7−9 классов

Ю.Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова.

В данном учебнике изучение темы «Квадратичная функция» начинается с 3 главы «Степень с натуральным показателем». Перед этим ученики знакомятся с понятиями функции и ее графика, рассматривается линейная функция и прямая пропорциональность.

Функция рассматривается на основе зависимости площади квадрата от его стороны. Далее авторы предлагают построить график функции по точкам. Для чего составляется таблица значений функции.

Далее описываются некоторые свойства рассматриваемой функции:

График функции проходит через начало координат; все точки графика функции, кроме (0; 0), расположенных выше оси х; точки графика, имеющие противоположные координаты, симметричны относительно оси у.

В заключении данного параграфа дается система упражнений на нахождение по графику функции значения х по заданному значению у и наоборот, на нахождение значения y по заданному значению х.

Также в 7 классе авторы учебника рассматривают абсолютную погрешность, взяв для рассмотрения график функции. По графику определяются приближенные значения функции при заданных значениях х. Затем значения х подставляются в формулу. Получается второй результат. После этого высчитывается погрешность.

В 8 классе работа с квадратичной функцией начинается во второй главе «Квадратные корни».

Учащимся даются понятия: квадратный корень, арифметический квадратный корень, вводится обозначение арифметического квадратного корня и понятие подкоренного выражения.

Авторы подводят учащихся к решению уравнения, где a — произвольное число. Говорится, что если, то уравнение не имеет корней, а вот если, то уравнение имеет два корня. Проверяется наличие корней графическим методом, используя квадратичную функцию.

Далее изучается функция и ее график. Сначала рассматривается задача: зависимость площади квадрата от его стороны. Выводится формула.

Построение осуществляется по точкам (точно также как и функция). Говорится, что графики функций (при) и симметричны относительно прямой y = x.

В 9 классе данный коллектив авторов рассматривает квадратичную функцию в общем виде. Сначала изучается частный случай квадратичной функции — функция. При получаем функцию, при —. Составляется таблица значений функции и строится ее график. Затем делается вывод, что при любом значение функции больше соответствующего значения функции в 2 раза. График функции можно получить из параболы растяжением от оси х в 2 раза.

Аналогично рассматривается функция. И отсюда следует вывод, что график функции можно получить из параболы сжатием к оси х в 2 раза.

Затем авторы акцентируют свое внимание на то, что график функции можно получить из параболы растяжением от оси х в, а раз, если, и сжатием к оси х в раз, если .

Далее аналогично строится график функции и сравнивается с графиком функции. График функции может быть получен из графика функции с помощью симметрии относительно оси х.

Далее авторы, подводя итог, говорят, что графики функций и (при) симметричны относительно оси х.

В конце этого параграфа говорится, что построение графика, симметричного данному относительно оси х, растяжение графика от оси х или сжатие к оси х — различные виды преобразования графиков функций.

Преобразования графиков, рассмотренные для функции, применимы к любой функции.

Система упражнений на закрепление этой темы состоит из упражнений на построение графиков функций.

Затем авторы рассматривают графики функций вида и. В качестве примеров берутся другие частные случаи квадратичной функции.

Далее делается вывод: график функции является параболой, которую можно получить из графика функции с помощью параллельного переноса вдоль оси у на n единиц вверх, если, или наn единиц вниз, если; график функции является параболой, которую можно получить из графика функции с помощью параллельного переноса вдоль оси х на m единиц вправо, если, или наm единиц влево, если .

Полученные выводы позволяют понять, что представляет собой график функции.

.

Рассматривается очередной пример () и после этого делается вывод, что график функции является параболой, которую можно получить из графика функции с помощью двух параллельных переносов. Замечается, что производить параллельные переносы можно в любом порядке: сначала выполнить параллельный перенос вдоль оси х, а затем вдоль оси y или наоборот.

Далее в учебнике рассматривается построение графика квадратичной функции в общем виде. Вводится квадратичная функция и из трехчлена выделяют квадрат двучлена.

После некоторых преобразований авторы получают.

.

Получается формула вида.

.

где, .

Авторы акцентируют внимание на том, что график функции есть парабола, которую можно получить из графика функции с помощью двух параллельных переносов — сдвига вдоль оси х и сдвига вдоль оси у.

Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин В 7 классе рассматривается прямоугольная система координат, понятие функции, линейная функция и ее график.

В данном учебнике изучение квадратичной функции начинается в 5 главе после изучения квадратных корней и квадратных уравнений.

Сначала рассматриваются примеры из разных областей науки и техники, где встречаются квадратичные функции.

После этого вводится определение квадратичной функции, и рассматриваются примеры квадратичных функций и задачи.

Найти значение функции.

при.

При каких значениях х квадратичная функция принимает значение, равное 7;

Найти нули функции .

Авторы предлагают решать такие задачи аналитически: подстановкой заданного значения в формулу.

Только после этого начинается рассмотрение непосредственно квадратичной функции, ее некоторых свойств и графика.

Функция вводится как частный случай функции при а=1, b=c=0. Для построения графика этой функции составляется таблица ее значений, строятся указанные в таблице точки, соединяют плавной линией. Кривая, являющаяся графиком функции, называется параболой.

После этого рассматривается функция .

Приводится пример построения графика функции, зная график функции. Для построения составляется таблица значений функции. Говорят, что график функции получается растяжением графика функции от оси Ox вдоль оси Oy в два раза.

Аналогичным образом, на примере, авторы демонстрируют сжатие графика.

График функции получается сжатием графика функции к оси Ox вдоль оси Oy в два раза.

Затем рассматриваются функции и. График функции можно получить симметрией относительно оси Ох графика функции .

Далее авторами рассматривается функция.

.

В начале параграфа рассматривается задача: построить график функции и сравнить его с графиком функции .

Как и для функции сначала составляется таблица значений функции. Найденные точки отмечаются на координатной прямой и соединяются плавной линией.

Первая часть задачи решена. Далее сравниваются функции и .

Сначала преобразуется формула, используя метод выделения полного квадрата. Затем сравниваются графики частями. Сначала — функции и .

Отсюда делается вывод, что графиком функции является парабола, полученная из параболы сдвигом (параллельным переносом) вправо на единицу.

После этого сравниваются функции и. Получается, что графиком функции является парабола, полученная сдвигом параболы вверх на две единицы.

Из всего этого следует, что графиком функции является парабола, получаемая сдвигом параболы на единицу вправо и на две единицы вверх.

Далее авторы обобщают ранее объясненное.

Задачи, предлагаемые для закрепления данного материала выглядят так:

· С помощью шаблона параболы построить график функции .

· Записать уравнение параболы, полученной из параболы сдвигом вдоль оси Ох на 3 единицы вправо.

Также в 8 классе решаются квадратные неравенства с помощью графика квадратичной функции. Их решение сводится к отысканию нулей квадратичной функции и промежутков, на которых квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения. В конце дается подробный алгоритм решения неравенств графическим методом.

В качестве дополнительного более сложного материала производится исследование квадратичной функции на основе теорем:

· Если, то при всех действительных значениях х знак квадратичной функции совпадает со знаком числа .

· Если, то при всех действительных значения х, кроме, знак квадратичной функции совпадает со знаком числа а; при значение квадратичной функции равно нулю.

· Если, то знак квадратичной функции совпадает со знаком числа для всех х, лежащих вне отрезка, т. е. при и при, где — нули функции, знак квадратичной функции противоположен знаку числа, а при .

Квадратичная функция не рассматривается в 9 классе.

С.М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин В 7 классе данный коллектив авторов функцию не рассматривает.

В 8 классе авторы вводят понятие функции, графика функции. После этого рассматриваются линейная, квадратичная функции и обратная пропорциональность.

При изучении квадратичной функции сначала рассматриваются ее свойства.

После формулировки каждого свойства даются пояснения.

Затем рассматривается график функции и определяются ранее обозначенные свойства функции. Также дается определение параболы.

Далее рассматривается понятие квадратного корня, опираясь на график функции .

После этого вводится понятие арифметического квадратного корня из данного неотрицательного числа. Его определение производится по графику функции .

Далее авторы рассматривают функцию. Сравниваются две функции и и делается вывод, что график функции получается из графика функции растяжением последнего в 2 раза вдоль оси Оу. Рассуждая аналогично, можно показать, что график функции, если, получается из графика функции растяжением последнего в, а раз вдоль оси у; если же, то сжатием последнего в раз.

Далее рассматривается функция.

.

При этом изучаются 2 функции: сначала, а затем .

Затем авторы рассматривают график функции. Приведена теорема: Графиком квадратичной функции является парабола с вершиной в точке, полученная параллельным переносом параболы, где. Эта теорема приводится с доказательством. На закрепление данного материала учащимся предлагаются задания на построение графика квадратичной функции.

В 9 классе квадратичная функция данным коллективом авторов не рассматривается.

А.Г. Мордкович и др.

В 7 классе квадратичная функция изучается после линейной функции. Поэтому перед ее изучением автор приводит веские аргументы для чего «она нужна». Затем учащимся предлагается подставить в формулу целые числа (-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3). Из полученных значений составляется таблица. На координатной плоскости располагают получившиеся точки и соединяют их линией, которая называется параболой.

После этого описываются геометрические свойства параболы (ось симметрии, ветви параболы, вершина параболы) и свойства функции .

Затем рассматриваются примеры применения свойств функции (найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [1, 3]).

В качестве совета, автор предлагает учащимся вырезать из бумаги шаблон параболы.

Система упражнений направлена на построение графика квадратичной функции и определению по нему ее свойств.

В 8 классе продолжается рассмотрение квадратичной функции. В 7 классе изучалась функция. Теперь же учащимся предлагается сначала изучить функцию. Для этого рассматриваются 2 функции и. Составляется таблица значений функций, и строятся графики. Затем делается вывод: от величины коэффициента k зависит «скорость устремления» ветвей параболы вверх или, как еще говорят, «степень крутизны» параболы.

После этого рассматривается функция и сравнивается с функцией. После этого рассмотрения делается общий вывод: График функции симметричен графику функции относительно оси абсцисс.

Затем рассматривается графики функции, и и алгоритмы их построения.

Далее говорится, что график любой квадратичной функции можно получить из параболы параллельным переносом.

Для доказательства этого факта используется метод выделения полного квадрата.

В следующей главе рассматривается функция. Говорится, что ранее было получено, что график функции получается из графика функции с помощью преобразования симметрии относительно оси х. Воспользовавшись этим, строится график функции и отражается симметрично оси х. Это и будет график функции .

Система упражнений состоит из заданий на определение свойств квадратичной функции по ее графику. Также большое внимание уделено преобразованиям графика функций. Имеется достаточно много систем уравнений для графического их решения. Делается акцент на решение задач с параметрами.

В данном учебнике квадратичная функция в 9 классе не рассматривается.

К.С. Муравин, Г. К. Муравин, Г. В. Дорофеев Изучение квадратичной функции в данном учебнике начинается только в 8 классе и ведется на двух языках — алгебраическом и геометрическом.

На геометрическом языке строится график функции. Говорится также, что построить график «целиком» невозможно, и поэтому строят только такую его часть, которая отражает важнейшие его свойства.

Строится таблица значений функции. Отмечаются полученные точки и соединяются плавной линией. Получившийся график представляет собой бесконечную непрерывную кривую, которая называется параболой.

Затем авторы приводят сравнительную таблицу свойств квадратичной функции на алгебраическом и геометрическом языках.

Далее на основе графика функции рассматривается уравнение .

Также вводится понятие арифметического квадратного корня из числа, а и его обозначение.

Система упражнений дана на построение графика функции и отыскание с помощью него точек, которые принадлежат и не принадлежат графику.

В 9 классе данный коллектив авторов функциям выделяет 2 главы.

Вначале рассказывается про квадратичную функцию. Напоминаются основные ранее изученные свойства функции, говорится про ось симметрии, и на этой основе рассматриваются различные квадратичные функции такие, как, и. После каждого из этих примеров делаются выводы о преобразованиях, применимых для графика функции, которые приводят к получению графика заданной функции.

Упражнения, данные после этого параграфа включают в себя:

Постройте график функции:

1) 2) 3) 4).

Изготовьте из картона или плотной бумаги шаблоны парабол:

, ,.

Также имеются контрольные вопросы:

Как получить график функции из графика функции ?

Далее рассматривается функция .

Выделяют полный квадрат из выражения и получают функцию, где p и q — некоторые числа.

Приводятся примеры, рассматривается как изменяется график в зависимости от чисел p и q и затем делается вывод, что график функции получается из графика функции сдвигом параллельно оси ординат на q единиц вверх при и на |q| единиц вниз при. Далее говорится, что тем же приемом — сдвигом вдоль осей координат графика произвольной функции можно получить графики функций и. Именно,.

График функции получается из графика функции сдвигом параллельно оси абсцисс на p единиц влево при и наp единиц вправо при .

График функции получается из графика функции сдвигом параллельно оси абсцисс на q единиц вверх при и наq единиц вниз при .

Изучение квадратичной функции в проанализированных учебниках начинается в 7 (Ю.Н. Макарычев и др., А. Г. Мордкович и др.) и 8 (С.М. Никольский и др., Ш. А. Алимов и др., Г. В. Дорофеев и др.) классах. В учебниках А. Г. Мордковича и др., Ю. Н. Макарычева и др., Ш. А. Алимова и др. изложение материала ведется доступным языком. Прослеживается нить «от простого к сложному». В остальных же учебниках теоретический материал изложен на более научном уровне. Во всех учебниках рассматриваются приложения квадратичной функции (решение уравнений, неравенств, систем уравнений, построение графиков функций, задачи с параметрами). Отличие лишь в том, какое внимание уделяется тому или иному разделу. Задачи с параметрами наиболее ярко отражены только в учебнике А. Г. Мордковича и др.

В учебнике Г. В. Дорофеева и др. изучение квадратичной функции ведется в 8 и 9 классах на двух языках — алгебраическом и геометрическом. Уделяется большое внимание преобразованиям графиков функций. Вся теория изложена «строго по делу», без отступлений.

В учебниках А. Г. Мордковича и др. функциональная линия является ведущей. Автор выделяет в системе упражнений по изучению того или иного класса функций инвариантное ядро, универсальное для любого класса функций, которое состоит из шести направлений:

• · графическое решение уравнений;
• · отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на заданном промежутке;
• · преобразование графиков;
• · функциональная символика;
• · кусочная функция;
• · чтение графика.

Это шесть элементов, с помощью которых, функция становится привлекательной, понятной и привычной [22].

В учебнике Ш. А. Алимова и др. квадратичной функции и ее приложениям посвящен практически весь учебник 8 класса. Блоком рассматривается квадратичная функция и ее свойства, и затем квадратные неравенства и задачи с параметрами, решаемые с помощью построения графика квадратичной функции.

В учебнике Ю. Н. Макарычева определение квадратичной функции дается в 9 классе предлагается учащимся сразу, затем рассматриваются частные случаи квадратичной функции и после непосредственно общий вид квадратичной функции. Только после этого авторы обращают внимание на решение квадратных уравнений и систем уравнений (в частности, графический метод), опираясь на свойства квадратичной функции. Задачам с параметрами уделяется крайне мало внимания.

Рассмотрим, сколько практико-ориентированных задач имеются в следующих учебниках 9 класса:

Из рассмотренных учебников мы можем убедиться, что задач практико-ориентированных очень мало и в основном они рассматриваются как примеры.