Пример исследования корреляции и регрессии

Пример. В соревнованиях по десятиборью участвовали 20 спортсменов. Результаты, показанные ими в метании диска и толкании ядра, приведены в таблице 6.

Таблица 6.

Результаты метания диска и толкания ядра.

Исследовать, существует ли связь между результатами, показанными спортсменами в метании диска и результатами в толкании ядра. Сравнить вариацию двух обследуемых признаков. Если между двумя наборами данных существует связь, то построить линию регрессии.

Построим корреляционное поле, откладывая в прямоугольной системе координат по оси OX результаты, показанные в метании диска, а по оси OY — результаты, показанные в толкании ядра (см. рис. 16). Проведем огибающую для нанесенных точек.

Рис. 16. Корреляционное поле

Как видно из рассмотрения рисунка, огибающая имеет форму, близкую к эллипсу. Это позволяет предположить, что два набора данных связаны между собой линейной связью. Из рис. 6 видно, что увеличение значения результата, показанного в метании диска, приводит к увеличению значения результата, показанного в толкании ядра. Следовательно, предполагаемая связь является положительной. Поскольку связь линейная, а измерения значений исследуемых признаков производятся в шкале отношений, то для оценки ее силы можно воспользоваться коэффициентом корреляции Браве-Пирсона.

.

Для определения коэффициента корреляции Браве-Пирсона воспользуемся вспомогательной таблицей. Построим таблицу, содержащую 8 столбцов и 23 строки (см. таблицу 6). В первом столбце разместим номера результатов (или спортсменов). Во втором и третьем столбцах — результаты, показанные спортсменами в метании диска (xi) и толкании ядра (yi).

Таблица 6.

Определение коэффициента корреляции.

i.	xi.	yi.
	40,9.	13,84.	0,318.	— 0,502.	— 0,159 636.	0,101 124.	0,252 004.
	49,47.	16,51.	8,888.	2,168.	19,269 184.	78,996 544.	4,700 224.
	45,44.	15,83.	4,858.	1,488.	7,228 704.	23,600 164.	2,214 144.
	45,64.	16,47.	5,058.	2,128.	10,763 424.	25,583 364.	4,528 384.
	43,76.	13,40.	3,178.	— 0,942.	— 2,993 676.	10,99 684.	0,887 364.
	36,08.	13,45.	— 4,502.	— 0,892.	4,15 784.	20,268 004.	0,795 664.
	33,92.	13,88.	— 6,662.	— 0,462.	3,77 844.	44,382 244.	0,213 444.
	40,22.	15,06.	— 0,362.	0,718.	— 0,259 916.	0,131 044.	0,515 524.
	39,47.	14,68.	— 1,112.	0,338.	— 0,375 856.	1,236 544.	0,114 244.
	38,38.	13,97.	— 2,202.	— 0,372.	0,819 144.	4,848 804.	0,138 384.
	38,68.	13,70.	— 1,902.	— 0,642.	1,221 084.	3,617 604.	0,412 164.
	47,14.	14,68.	6,558.	0,338.	2,216 604.	43,7 364.	0,114 244.
	36,47.	12,85.	— 4,112.	— 1,492.	6,135 104.	16,908 544.	2,226 064.
	39,03.	14,84.	— 1,552.	0,498.	— 0,772 896.	2,408 704.	0,248 004.
	46,3.	15,65.	5,718.	1,308.	7,479 144.	32,695 524.	1,710 864.
	33,47.	12,27.	— 7,112.	— 2,072.	14,736 064.	50,580 544.	4,293 184.
	44,97.	14,97.	4,388.	0,628.	2,755 664.	19,254 544.	0,394 384.
	38,83.	13,99.	— 1,752.	— 0,352.	0,616 704.	3,69 504.	0,123 904.
	42,68.	15,03.	2,098.	0,688.	1,443 424.	4,401 604.	0,473 344.
	30,79.	11,77.	— 9,792.	— 2,572.	25,185 024.	95,883 264.	6,615 184.
Сумма.	811,64.	286,84.			102,40 092.	481,0747.	30,97 072.

Вычислим суммы значений xi и yi и занесем их в соответствующие клетки строки «Сумма» (последняя строка таблицы) столбцов 2 и 3:

;

.

Рассчитаем средние значения признаков xi и yi:

;

.

В клетках столбца 4 вычислим разность значений результатов метания диска xi и их среднего значения: , а в клетках столбца 5 — аналогичную разность для толкания ядра. Суммы элементов этих столбцов должны быть равны нулю, поскольку сумма отклонений значений признака от среднего значения равна нулю.

В столбце 6 подсчитаем произведения отклонений двух исследуемых признаков от их средних значений ()(). В столбце 7 вычислим квадраты отклонений результатов метания диска от среднего их значения — ()2, а в столбце 8 — квадраты отклонений результатов толкания ядра от их среднего значения — ()2. Подсчитаем соответствующие суммы и занесем результаты в последнюю строку таблицы:

;

;

.

Используя полученные значения вспомогательных сумм, вычислим значение коэффициента корреляции Браве-Пирсона:

.

Коэффициент корреляции лежит в интервале, поэтому можно сделать предположение о том, что между результатами, показанными спортсменами в метании диска, и результатами, показанными ими в толкании ядра, существует линейная положительная сильная статистическая взаимосвязь.

Коэффициент детерминации в рассматриваемом случае равен.

.

Таким образом, 70% взаимосвязи между двумя наборами данных объясняется их взаимовлиянием. Остальная часть вариации обусловлена воздействием других неучтенных причин.

Для обоснования статистической значимости полученного коэффициента корреляции воспользуемся двусторонним критерием. Сформулируем статистические гипотезы. Н0 — в генеральной совокупности корреляция отсутствует, а отличие от нуля выборочного коэффициента корреляции связано со случайностью выборки. Н1 — в генеральной совокупности существует взаимосвязь между двумя исследуемыми признаками. Зададимся уровнем статистической значимости б=0,05. Соответствующее ему критическое значение коэффициента корреляции для объема выборки n=20 равно rкр=0,468 (см. таблицу 2 Приложения). Так как значение выборочного коэффициента корреляции превосходит значение критического для заданного уровня значимости, то делаем вывод о статистической значимости коэффициента корреляции на уровне значимости 0,05. Между результатами, показанными спортсменами в метании диска, и результатами, показанными ими в толкании ядра, существует значимая положительная взаимосвязь.

Обоснуем статистическую значимость коэффициента корреляции иным способом. Он используется тогда, когда таблицы критических значений коэффициента корреляции оказались по каким-либо причинам недоступными. В том случае для проверки статистической значимости применяется t-критерий Стьюдента, таблицы критических значений которого гораздо доступнее. Сами формулировки статистических гипотез Н0 и Н1 остаются без изменений. Вычислим эмпирическое значение t-критерия :

.

Сопоставим полученное значение с критическим значением критерия для числа степеней свободы и уровня значимости б=0,05. Критическое значение определяется с помощью специальных таблиц (см. таблицу 1 Приложения). В рассматриваемом случае оно равно =2,101. Поскольку эмпирическое значение критерия оказалось больше критического, то можно сделать вывод о том, что на уровне значимости 0,05 коэффициент корреляции является статистически значимым.

Для сравнения вариативности исследуемых признаков вычислим коэффициенты вариации. Предварительно, использую значения сумм столбцов 7 и 8 таблицы 3, необходимо вычислить дисперсии и стандартные отклонения:

Подсчитаем коэффициенты вариации двух признаков:

;

.

Поскольку коэффициент вариации у результатов в метании диска больше, чем у результатов в толкании ядра, то этот признак варьирует сильнее. Следует отметить, что в рассматриваемом случае различия в варьировании признаков не велики.

Определим значения коэффициентов регрессии. Для этого воспользуемся вспомогательной таблицей 7.

Таблица 7.

Определение коэффициентов регрессии.

i.	xi.	yi.	xi2.	xiyi.	yi2.
	40,9.	13,84.	1672,81.	566,056.	191,5456.
	49,47.	16,51.	2447,2809.	816,7497.	272,5801.
	45,44.	15,83.	2064,7936.	719,3152.	250,5889.
	45,64.	16,47.	2083,0096.	751,6908.	271,2609.
	43,76.	13,40.	1914,9376.	586,384.	179,56.
	36,08.	13,45.	1301,7664.	485,276.	180,9025.
	33,92.	13,88.	1150,5664.	470,8096.	192,6544.
	40,22.	15,06.	1617,6484.	605,7132.	226,8036.
	39,47.	14,68.	1557,8809.	579,4196.	215,5024.
	38,38.	13,97.	1473,0244.	536,1686.	195,1609.
	38,68.	13,70.	1496,1424.	529,916.	187,69.
	47,14.	14,68.	2222,1796.	692,0152.	215,5024.
	36,47.	12,85.	1330,0609.	468,6395.	165,1225.
	39,03.	14,84.	1523,3409.	579,2052.	220,2256.
	46,3.	15,65.	2143,69.	724,595.	244,9225.
	33,47.	12,27.	1120,2409.	410,6769.	150,5529.
	44,97.	14,97.	2022,3009.	673,2009.	224,1009.
	38,83.	13,99.	1507,7689.	543,2317.	195,7201.
	42,68.	15,03.	1821,5824.	641,4804.	225,9009.
	30,79.	11,77.	948,0241.	362,3983.	138,5329.
Сумма.	811,64.	286,84.	33 419,0492.	11 742,9418.	4144,8300.

Первые три столбца совпадают с соответствующими столбцами таблицы 6. В столбце 4 таблицы 7 вычислим квадраты значений результатов метания диска, в столбце 5 произведения двух исследуемых признаков. В последней строке таблицы подсчитаем соответствующие суммы:

;

.

Вычислим коэффициент регрессии:

;

.

Рассчитаем значение свободного члена уравнения регрессии.

.

Таким образом, уравнение регрессии имеет вид:

.

Определим стандартную ошибку предсказания. Для этого в столбце 6 таблицы 3 вычислим квадраты значений результатов толкания ядра и занесем их сумму в последнюю строку:

.

Используя полученные результаты, вычислим стандартную ошибку предсказания:

Стандартная ошибка предсказания является характеристикой точности предсказания значений случайной величины y по известным значениям случайной величины x. Зона, ограниченная двумя прямыми, отстоящими от регрессионной прямой на расстояние ±0.7, является областью, в которую с вероятностью 0,7 попадают экспериментальные значения yi. Это означает, что приблизительно 70% всех значений yi находятся в этой области.

Проверим статистическую значимость полученного коэффициента регрессии. Сформулируем статистические гипотезы. Н0 — для рассматриваемой генеральной совокупности нет статистически значимого коэффициента регрессии. Н1 — полученный коэффициента регрессии является статистически значимым. Нулевая гипотеза проверяется с помощью t-критерия Стьюдента, эмпирическое значение которого вычисляется с помощью соотношения.

Зададимся уровнем статистической значимости б=0,05. Соответствующее ему критическое значение для объема выборки n=20 и числа степеней н=n-2=20−2=18 равно tкр=2,101 (см. таблицу 1 Приложения). Сравним эмпирическое значение t-критерия с критическим для выбранного уровня значимости. tэмп > tкр (tэмп > 2,101), поэтому коэффициент регрессии b=0,213 является статистически значимым на уровне статистической значимости б=0,05.

Рассмотрим исследование взаимосвязи признаков с помощью коэффициента ранговой корреляции Спирмена.

Пример. В ходе тренировок группа спортсменов из 20 человек выполняют упражнения «подъем-разгибом» и «отмах в стойку». Результаты, зафиксированные при выполнении этих упражнений, приведены в таблице 8. Число выполнений упражнения «подъем-разгибом» каждым спортсменом приведено во второй колонке таблицы 8 обозначено x. Число выполнений упражнения «отмах в стойку» приведено в третьей колонке таблицы 8 и обозначено y. Исследовать зависимость между результатами выполнения упражнения «отмах в стойку» и результатами выполнения упражнения «подъем-разгибом».

Таблица 8.

Вычисление коэффициента ранговой корреляции Спирмена.