Определители и их свойства

матрица размера .

Определителем называется сумма вида:

где — число инверсий (Инверсией в перестановке порядка называется всякая пара индексов такая, что и) в перестановке .

Свойства определителей.

· Перестановка строк меняет знак определителя Доказательство. Если мы переставим i и j строки, потом возьмём — член, то все его множетели и в старом остануться в разных строках и столбцах. таким образом определители состоят из одинаковых членов. члену соответствует подстановка.

Так, например элемент стоит теперь в j-ой строке, но в старом остаётся вом столбце. но вторя подстановка получается из первой путём одной транспозиции в верхней строке, т. е. имеет противоположную чётность все члены входят в новый с обратными знаками.

Если все элементы строки умножить на число k, то сам умножится на k.

Доказательство. Пусть на k умножают элементы i-ой строки. каждый член определителя содержит ровно один элемент из i-ой строки, по этому всякий член преобретает множитель k, т. е. сам определитель умножается на k.

Если все элементы i-ой строки представить в виде суммы двух слагаемых, то.

.

Мемтод Гамусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные^[.

Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

Пример: Решить систему уравнений методом Гаусса:

x + y — 3z = 2,.

• 3x — 2y + z = - 1,
• 2x + y — 2z = 0.

Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:

а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2:

~ ;

б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую:

В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду:

x + y — 3z = 2,.

• -5y + 10z = -7,
• — 10z = 13.

Из последнего уравнения находим z = -1,3. Подставляя это значение во второе уравнение, имеем y = -1,2. Далее из первого уравнения получим x = - 0,7.

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Назван по имени Габриэля Крамера (1704−1752), придумавшего метод.

Для системы линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем).

с определителем матрицы системы, отличным от нуля, решение записывается в виде.

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).

В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c₁, c₂, …, c_n справедливо равенство:

В этой форме формула Крамера справедлива без предположения, что отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца (определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что-либо наборы и, либо набор состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.

Пример Система линейных уравнений:

Определители:

Решение:

Пример:

Определители: