Способы сужения Парето-оптимального множества

Выделение множества Парето МЗО часто не является удовлетворительным решением. Это связано с тем, что при достаточно большом исходном множестве вариантов множество Парето оказывается недопустимо большим для того, чтобы ЛПР было бы в состоянии осуществить выбор самостоятельно. Таким образом, выделение множества Парето можно рассматривать лишь как предварительный этап оптимизации, и налицо проблема дальнейшего сокращения этого множества.

Для выбора одной оптимальной стратегии из множества эффективных решений в каждой конкретной многокритериальной задаче необходимо использовать дополнительную информацию о цели операции, т. е. ту информацию, которая при задании векторного критерия осталась неформализованной и потому неиспользованной.

Наиболее логичным и последовательным представляется путь построения бинарного отношения предпочтения, более сильного, чем отношение Парето, позволяющего сузить множество выбираемых вариантов до приемлемых с точки зрения ЛПР размеров. Разумеется, для этого потребуется некоторая дополнительная информация, которую придётся получить от ЛПР. Это может быть информация о критериях, о самих сравниваемых вариантах и т. п. Задача, стоящая перед создателями методов, заключается в том, чтобы с помощью этой информации обосновать свои действия по сужению выбора и гарантировать ЛПР от того, чтобы ни один из вариантов, представляющих для него интерес, не был потерян в процессе оптимизации.

Необходимо отметить, что необоснованность сужения множества Парето является существенным недостатком многих методов многокритериальной оптимизации. Многокритериальная оптимизация: Математические аспекты /Б.А Березовский, Ю. М. Барышников и др. — М.: Наука, 1989. — 128 с.

Таким образом, общая методика исследования задач принятия решения на основе математического моделирования для МЗО может быть реализована в рамках одного из следующих подходов.

Первый подход. Для заданной многокритериальной задачи оптимизации находится множество её Парето-оптимальных решений, а выбор конкретного оптимального варианта из множества Парето-оптимальных предоставляется ЛПР.

Второй подход. Как уже было сказано выше, производится сужение множества Парето-оптимальных исходов (в идеале — до одного элемента) с помощью некоторых формализованных процедур, что облегчает окончательный исход для ЛПР. Отметим, что такое сужение может быть произведено только при наличии дополнительной информации о критериях или свойствах оптимального решения.

Рассмотрим некоторые простейшие способы сужения Парето-оптимального множества, акцентируя при этом внимание на необходимость дополнительной информации. Считаем, что задана многокритериальная задача оптимизации.

Указание верхних границ критериев. Дополнительная информация об оптимальном исходе X_optD в этом случае имеет вид.

(1).

Число C_i рассматривается здесь как верхняя граница по i — му критерию.

Отметим, что указание верхних границ по критериям не может быть «извлечено» из математической модели задачи принятия решения; набор ограничений (C₁, C₂,, C_m) представляет собой дополнительную информацию, полученную от ЛПР.

Задача. Выбор места работы

Предположим, что Вам предстоит выбрать место работы из девяти вариантов, представленных в табл.1. В качестве основных критериев взяты: зарплата З, длительность отпуска Д, время поездки на работу В. Из смысла задачи следует, что критерии З и Д следует максимизировать, а критерий В — минимизировать. Какой вариант является оптимальным?

Таблица 1.

Решение. Выделим вначале Парето-оптимальные варианты. Отбрасывая доминируемые по Парето варианты {1, 2, 8, 9}, получаем Парето-оптимальное множество {3, 4, 5, 6, 7}. При отсутствии информации об относительной важности рассматриваемых критериев, а также о каких-либо дополнительных свойствах оптимального решения дальнейшее сужение Парето-оптимального множества произвести нельзя. Тогда формальный анализ заканчивается указанием Парето-оптимального множества и окончательный выбор оптимального варианта производится ЛПР из этих пяти вариантов на основе каких-то дополнительных соображений.

Рассмотрим теперь второй подход, который приводит к сужению Парето-оптимального множества на основе дополнительной информации, получаемой от ЛПР.

а) Указание нижних границ критериев. Наложим, например, следующие ограничения на оптимальное решение:

зарплата — не менее 600 рублей;

длительность отпуска — не менее 30 дней;

время поездки — не более 40 минут.

Варианты, удовлетворяющие этим дополнительным ограничения: {3, 6, 9}; из них оптимальными по Парето являются варианты 3 и 6. Остаётся сделать окончательный выбор между вариантами 3 и 6.

• б) Субоптимизация. Пусть в качестве выделенного (главного, важнейшего) критерия выступает критерий зарплата; ограничения длительность отпуска — не менее 30 дней, время поездки — не более 40 минут. Отбросим варианты, которые не удовлетворяют данным ограничениям; остаются варианты: {2, 3, 5, 6, 9}. Из них максимальную зарплату имеет вариант 3. Этот вариант и будет оптимальным.
• в) Лексикографическая оптимизация. Упорядочим критерии по относительной важности. Например, следующим образом: (т.е. важнейший критерий — зарплата, следующий за ним по важности время поездки, наименее важный критерий длительность отпуска). Максимальное значение по критерию З имеют варианты 1 и 7. Далее сравниваем эти варианты по второму по важности критерию В. Так как время поездки для этих вариантов одинакова, переходим к третьему критерию Д; по критерию длительность отпуска лучшим является вариант 7, который и является здесь оптимальным.