Метод наименьших квадратов

Для нахождения аналитического уравнения, по которому производится выравнивание уровней временного ряда, применяют различные способы. Один из таких способов — метод наименьших квадратов — основан на требовании о том, чтобы сумма квадратов отклонений фактических данных от выровненных была наименьшей:

• (у_1 — у₁)² + (у₂ — у₂)² +. .. + (у_n — y_n)² = S.
• S должно быть наименьшим (минимальным)

Принцип, положенный в основу метода наименьших квадратов, может быть записан в сжатом математическом виде следующим образом:

? (y — y_t)² = min.

Полученная система называется системой нормальных уравнений для нахождения параметров, а ₀, а ₁ и, а ₂ при выравнивании по параболе второго порядка.

При выравнивании по показательной функции y_t = a₀ a₁^t параметры, а ₀ и, а ₁ определяются по методу наименьших квадратов отклонений логарифмов путём решения системы нормальных уравнений.

Приведение уравнения тренда к линейному виду

Если тренд представляет собой нелинейную функцию, то методы линейного регрессионного анализа для оценки его параметров неприменимы.

Но к некоторым нелинейным функциям мы можем применить такие преобразования, которые приведут нас к линейному уравнению.

Если наш тренд представлен степенной линией регрессии, то есть он имеет вид:

y_t = a₀t^a1,.

то логарифмируя обе части равенства, получим:

ln y_t = ln a₀ + a₁ ln t.

Отсюда видно, что, введя новые переменные.

z = ln y_t, x = ln t,.

мы получим уравнение вида.

z = b₀ +a₁x,.

где b₀ = ln a₀.

Это обычное линейное уравнение.

Если линия тренда — парабола второго порядка.

y_t = a₀ + a₁ t + a₂ t ²,.

то заменой вида:

х₁ = t, x₂ = t ²,.

мы получим линейную функцию двух переменных:

y_t = a₀ + a₁ х ₁ + a₂ х₂ .

Оценку параметров такой функции можно провести методами линейного регрессионного анализа для множественной регрессии.

Далее приведём основные понятия регрессионного анализа, которые используются для оценки параметров.