Определение критической силы

Существует несколько форм равновесия: устойчивая форма равновесия, неустойчивая форма равновесия и безразличная форма. Устойчивость — способность деформируемого тела сохранять первичную форму равновесия.

При сжатии стержней поперечные размеры которых много меньше длины, под действием силы могутискривляться, само же явление искривления стержня при сжатии называется потерей устойчивости (продольным изгибом). Потеря устойчивости сжатого стержня является более опасным явлением, чем потеря прочности. Процесс протекает очень быстро с резким увеличением прогибов при незначительном увеличении нагрузки. Стержни из пластичных и хрупких материалов при потере устойчивости ведут себя по-разному. Стержень из пластичного материала, одинаково работающего на растяжение-сжатие, после потери устойчивости, подобно пружине, восстановит свою прямолинейную форму (если конечно же напряжения при этом не превышали предела пропорциональности), в отличии от стержня выполненного из хрупкого материала, который практически не сопротивляется растяжению, после потери устойчивости разрушится, так как при продольном изгибе образуется растянутая зона.

Впервые формула для определения критической силы была получена швейцарским ученым Леонардом Эйлером (1707−1783).Критическая сила — предельное значение продольной силы при которой стержень еще сохраняет первоначальную форму равновесия. Минимальное значение критической силы при которой происходит потеря устойчивости сжатого стержня определяется как:

Где — минимальный момент инерции сечения, так как потеря устойчивости происходит в плоскости наименьшей жесткости; -приведенная длина, — коэффициент приведения длины (зависит от вида опор).

равновесие напряжение деформация В инженерной практике оказывается более удобным использовать формулу Эйлера для критических напряжений :

Где безразмерная величина называется гибкостью стержня и определяется как:

Где — радиус инерции сечения.

Критическое напряжение определяется по Формуле Эйлера, а критическая сила получается путем его умножения на площадь поперечного сечения А.

Так как Формула Эйлера была получена при использовании дифференциального уравнения изогнутой оси, справедливого только в линейной зоне диаграммы напряжений для стали, ограниченной сверху, то есть справедливо следующее неравенство:

Записывая это неравенство относительно, приходим к выражению:

Для мягкой строительной стали обычной прочности значение предельной гибкости .При применять Формулу Эйлера нельзя, так как она дает завышенные значения критической силы, а попытки применения ее в инженерных расчетах могут привести к катастрофам. При стержень вступает в упруго пластическую, а затем и пластическую стадии работы материала.

Кривая 1−2-3 представляет собой гиперболу, которая построена по Формуле Эйлера. Но она справедлива только на участке 1−2, когда. Стержни, при называют стержнями большой гибкости которые при потери устойчивости работают в зоне упругих деформаций.

Линия 1−2-5 представляет собой кривую критических напряжений для стали полученную Энгессером в 1989 г.

Где — касательный модуль деформации равный тангенсу угла наклона касательной к кривой диаграммы напряжений стали при сжатии.

Аналитические решения для определения критических напряжений в зоне 2−5 крайне громоздки, Поэтому, для их определения при используют различные эмпирические зависимости. Наиболее распространенной аппроксимацией является ломанная линия 2−4-6, состоящая из наклонной 2−4 и горизонтальной 4−6 прямых. Линейная зависимость (линия 2−4) была предложена Ясинским Ф. С.:

Где a и b эмпирические коэффициенты характерные для каждого вида материала. Стержни, гибкость которых находится в пределах можно условно назвать стержнями средней гибкости. При потере устойчивости материал таких стержней работает в зоне упруго пластических деформаций.

При используют аппроксимацию в виде горизонтальной прямой 4−6, а стержни с такими гибкостями называют стержнями малой гибкости. Считают, что такие стержни, длина которых невелика по сравнению с поперечными размерами, будут разрушаться скорее не из-за потери устойчивости, а из-за потери прочности.

Рядом современных авторов при предложено вместо двух прямых использовать одну кривую, описываемую параболической зависимостью (2−7-6):

Где — предел текучести, — предел пропорциональности. При получаем, а при .

В случае, когда условия закрепления стержня в разных плоскостях неодинаковые, сначала необходимо найти две гибкости в разных плоскостях, выбрать из них максимальную гибкость, после чего, исходя из интервала по гибкости, использовать ту или иную формулу. В соответствии с современными исследованиями критические напряжения зависят не только от гибкости и модуля упругости материала, но и от ряда других факторов: формы сечения, вида материала, остаточных напряжений от сварки и прокатки, случайных эксцентриситетов и др.

Условие устойчивости записывается следующим образом:

Где — коэффициент устойчивости зависящий от критических напряжений, которые зависят от материала и гибкости и является величиной переменной. В соответствии с современными нормами (СП 16.13 330.2011 «Стальные конструкции») этот коэффициент зависит от формы поперечного сечения и других факторов.

В современных строительных нормах вводят понятие условной гибкости:

а кривые аппроксимированы формулой, которая применяется при при меньшей условной гибкости коэффициент устойчивости принимают равным единице:

значения коэффициента вычисляется по формуле.

где и табличные коэффициенты зависящие от формы поперечного сечения. Значение коэффициента вычисленного таким образом приведены в приложении Д (СП 16.13 330.2011 «Стальные конструкции»).

Допускаемая сила находится по формуле:

Тогда площадь поперечного сечения А:

Особенностью этой формулы является невозможность из нее сразу найти площадь поперечного сечения А. Поэтому используют метод последовательных приближений. Так как коэффициент лежит в пределах от 0 до 1, то в первом приближении можно взять. Затем находится площадь А1 в первом приближении, после чего вычисляются гибкости в двух главных плоскостях и по максимальной гибкости находится. После этого проверяется условие устойчивости и, если левая часть значительно отличается от правой части (более чем на 2−4%), то сечение увеличивают или уменьшают, добиваясь их примерного равенства. Можно также задать значение второго приближения по формуле:

подставляется значение, находится площадь сечения А2во втором приближении, затем гибкости в главных плоскостях, после чего по максимальной гибкости находится, проверяется условие устойчивости, и, если его правая часть значительно отличается от левой процесс повторяют, пока это условие не выполнится.

Рис. 3.

Обработка результатов измерений.

0,588.	0,616.	4,76.

Для определения теоретического значения критической силы по Формуле Эйлера необходимо удостовериться что гибкость стрежня больше предельной гибкости для данной стали:

И затем определяем разницу между теоретическим и экспериментальным значением критической силы:

Вывод: теоретическое значение критической силы отличается от экспериментального значения на 4,76%, что не является существенной разницей и следовательно теория подтверждается опытом, то есть для определения теоретического значения критической силы можно пользоваться Формулой Эйлера.