Применение теория вероятности при анализе сотовой связи

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Факультет непрерывного обучения Специальность «Финансы и кредит»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №4

по дисциплине теория вероятности и математическая статистика Вариант 7

Студентки Бекмеметьева Е.А.

Личное дело № 09ФФ941 717

Преподаватель Коропец А. А Орел 2010

Задание 1

Данные о продолжительности телефонных разговоров, отобранные по схеме собственно-случайной бесповторной выборки, приведены в таблице:

Найти:

а) границы в которых с вероятностью 0,9973 заключена средняя продолжительность телефонных разговоров всех абонентов (число которых очень велико);

б) число телефонных разговоров, при котором с вероятностью 0,97 можно было утверждать, что доля всех разговоров продолжительностью не более 6,5 минут отличается от доли таких разговоров в выборке не более, чем на 0,1 (по абсолютной величине);

в) вероятность того, что отклонение той же доли в выборке от генеральной доли (см. п. б)) не превзойдет 0,05 (по абсолютной величине).

Решение

а) Найдем выборочную среднюю и выборочную дисперсию используя формулы:

Кдлина интервала (1) Ссередина среднего интервала (6)

Результат оформим в таблице.

— выборачная средняя

по таблице критических точек Лапласа t=3

предельная ошибка выборки границы:; 6.16−0.542Х₀6.16+0.542; 5,618 Х₀6.702

Таким образом с надежностью 0,9973 средняя продолжительность телефонных разговоров всех абонентов заключена в границах от 5,618 до 6,702

б) В качестве неизвестного значения генеральной доли р возьмем ее состоятельную оценку w, которая определяется по формуле:

= 3+4+9+14+37/100= 0,67

m — число единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

n — общее число единиц в совокупности.

Учитывая, что у=Ф (t) = 0,97 и t=2,17, найдем объем бесповторной выборки по формуле:

— известна из пункта а).

При Р = 0,9545 коэффициент доверия t = 2 (по таблице значений функции Лапласа Ф (t)).

разговоров Вывод. Для того, чтобы обеспечить долю всех разговоров продолжительностью не более 6,5 минут необходимо отобрать в выборочную совокупность 104 разговоров.

в) Средняя квадратичная ошибка (из предыдущих расчетов) рассчитаем по формуле:

Теперь искомую доверительную вероятность находим по формуле:

= Ф=Ф (1,06)=0,7109

Т.е. искомую вероятность того, что отклонение той же доли в выборке от генеральной доли не превзойдет 0,05 (по абсолютной величине), равна 0,7109

Задание 2

По данным задачи 1, используякритерий Пирсона, уровне значимости? = 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х — продолжительность телефонных разговоров — распределена по нормальному закону. дисперсия гистограмма корреляция регрессия Построить на одном чертеже гистограмму и соответствующую нормальную кривую.

Решение

Для решения используем следующие формулы:

; ;

Результаты расчетов представим в таблице

Найдем число степеней свободы К=r-l-1, где r — число интервалов с учетом объединенных крайних.

К = 7−2-1=4 Х²_кр(0,05;4) = 9,49

Так как, то гипотеза о нормальности данного распределения отвергается. Таким образом, случайная величина — Х — стоимость компьютера не может быть распределена по нормальному закону.

Гистограмма продолжительности телефонных разговоров и нормальная кривая Гаусса.

Задание 3

Распределение 100 новых видов тарифов на сотовую связь всех известных мобильных систем X (ден. ед.) и выручка от них Y (ден. ед.) приводится в таблице:

Необходимо:

1) Вычислить групповые средние и построить эмпирические линии регрессии;

2) Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная корреляционная зависимость:

а) найти уравнения прямых регрессии, построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии и дать экономическую интерпретацию полученных уравнений;

б) вычислить коэффициент корреляции, на уровне значимости? = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными X и Y;

в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить среднюю выручку от мобильных систем с 20 новыми видами тарифов.

Решение:

а) Находим групповые средние

Для каждого значения х_i, т. е. для каждой строки корреляциооной таблицы вычислим групповые средние

где

n_ij-частоты пар (x_i, y_j) и n_i=

m-число интервалов по переменной Y.

где

Групповые средние:

1=(4*10+2*15)/6 = 11.67 2=(5*15 + 3*20)/8 = 16.88

3=(5*20+45*25+5*30)/55 = 25 4=(2*20+8*25+7*30)/17= 26.47

5=(0*20+4*25+7*30+3*35)/14= 29.64

Вычисленные групповые средние поместим в последнем столбце корреляционной таблицы и изобразим графически в виде ломаной, называемой эмпирической линией регрессии Y по X.

1=(4*20)/4= 20 2=(2*20+5*30)/7= 27.14

3=(3*30+5*40+2*50+0*60)/10= 36 4=(45*40+8*50+4*60)/57= 42.81

5=(5*40+7*50+7*60)/19=51.05 6=(3*60)/3=60

Эмпирическую линию регрессии у_х строим по точкам, i = 1,2,…, 6.

Эмпирическую линию регрессии х_у строим по точкам, j = 1,2,…, 6.

а) найдем уравнения регрессии Y по Х и Х по Y:

20*6+30*8+40*55+50*17+60*14=4250

20²*6+30²*8+40²*55+50²*17+60²*14=190 500

10*4+15*7+20*10+25*57+30*19+35*3=2445

10²*4+15²*7+20²*10+25²*57+30²*19+35²*3=62 375

4*10*20+2*15*20+5*15*30+3*20*30+5*20*40+2*20*50+45*25*40+8*25*50+4*25*60+5*30*40+7*30*50+7*30*60+3*35*60= 107 850

Находим выборочные характеристики и параметры уравнений регрессии:

76:100*10*5-(42,5−40)(24,45−25)=39,38

Уравнения регрессии у на х:

Уравнения регрессии у на х:

Полученные уравнения характеризуют изменение выручки (Y) при изменении тарифов на сотовую связь всех известных мобильных систем (Х) и наоборот.

Находим коэффициент корреляции

берем радикал с положительным знаком, так как коэффициенты положительны. Связь между рассматриваемыми переменными прямая, существует корреляционная зависимость.

Оценим значимость коэффициента корреляции:

Сравниваем tтаб и t_0,95;98 => 12,3>1,98, коэффициент корреляции между видами тарифов на сотовую связь х и выручкой от них У значимо отличимы от нуля. Из уравнения регрессии У по Х следует, что при увеличении стоимости тарифов на сотовую связь Х на 1 ден.ед. выручка от них увеличится в среднем на 0,4 ден.ед. Уравнение регрессии Х по У показывает, что для увеличения выручки Y на одну ден.ед. необходимо в среднем увеличить виды тарифов Х на 1,52 ден.ед. (свободные члены в уравнениях регрессии не имеют реального смысла)

в), при х = 20 ден. ед.

При 20 видов тарифов на сотовую связь мобильных систем в среднем выручка составит 15,45 ден.ед.