Высшая математика

Задание № 1

Найти пределы:

Решение:

1.1.Вычислим предел подставив в него 2:

1.2. Вычислим предел подставив в него 1:

— неопределенность.

Для устранения неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители по формулам:

ах2 + bx + с = 0

ах2 + bx + с = а (х-х1)(х-х2)

Тогда получим:

Получаем:

1.3.Вычислим предел подставив в него :

— неопределенность.

Для устранения неопределенности воспользуемся свойством:

Значение дроби не изменится если ее числитель и знаменатель разделить на одно и тоже ненулевое число.

1.4. Вычислим предел подставив в него 0:

— неопределенность.

Для устранения неопределенности применим формулы 1-го замечательного предела:

Задание 2

Найти производные функций:

Решение:

Задание 3

Вычислить приближенное значение 8.051/3.

Решение.

Рассмотрим функцию. Мы должны приближенно найти ее значение при; .

Сначала находим вблизи от данной точки такую точку, в которой удобно вычислить точное значение функции. В нашем случае эта точка — в ней легко найти значение функции, взяв: .

Разность значений функции в данной и найденной нами точках — приращение функции у, вызванное приращениями аргумента .

Точное равенство нам придется заменить приближенным, где — дифференциал функции у, отвечающий приращениям аргумента. Он находится по формуле .

Найдем значение и подставим его в равенство вместе с найденным ранее.

Вычислим частные производные .

;

Найдем значения частных производных в точке :

.

Подставив найденные значения частных производных и приращений аргументов в равенство, находим значение дифференциала рассматриваемой функции в точке :

.

Осталось подставить найденные значения и в равенство :

.

.

Задание № 4:

Найти полный дифференциал функции z=3sin (2x+3y)

Решение:

Задание № 5

5.1 Провести полное исследование функции и построить её график.

5.2 Провести полное исследование функции у=х3−3х+4 и построить её график.

Составить уравнение касательной и нормали, проведенной к графику функции в точке х0=1.

Решение:

5.1 Провести полное исследование функции и построить её график.

Исследуйте функцию и постройте ее график.

1.Область определения.

Все предусмотренной формулой функции операции, кроме деления, — т. е. операции сложения и возведения в натуральную степень — выполняются при любых значениях аргумента х, а деление возможно, если делитель не равен нулю. Поэтому данная функция определена, если знаменатель задающей ее дроби не равен нулю: если. Таким образом, .

2)Точки пересечения с осями координат:

С осью ОХ т. е. у=0:

— точки пересечения с осою ОХ.

С осью ОУ т. е. х=0 такого быть не может, так как

3) Исследуем на четность нечетность. Проверим выполнимость равенств: если f (-x) = f (x), то функция четная, если f (-x) = -f (x), то функция нечетная, при хD (y). Если равенства не выполняются, то функция ни четная ни нечетная.

Функция ни четная ни нечетная

4)Исследуем на наличие асимптот.

Вертикальные асимптоты.

Поскольку вертикальные асимптоты следует искать лишь в точках разрыва данной функции, единственным «кандидатом» в нашей задаче является прямая .

Наклонные и горизонтальные асимптоты.

Уравнение наклонной асимптоты графика функции имеет вид ,

; .

В частности, получается, что если, а при этом существует, по этим формулам находится горизонтальная асимптота .

Выясним наличие наклонных асимптот.

;

— уравнение наклонной асимптоты.

5.Найдем экстремумы и интервалы монотонности. Действуем по следующей схеме.

Вычислим первую производную данной функции:

Таким образом, у нашей функции одна критическая точка: .

Исследуем знак производной слева и справа от критической точки и от точки разрыва х=0.

Найдем знак производной на каждом из интервалов. Для этого на интервале мы можем выбрать удобную для вычислений точку и найти в ней знак производной; тот же знак будет у нее на всем этом интервале.

Значит на промежутке (0; 2] функция убывает, а на промежутке (; 0) и (2;) функция возрастает. Занесем полученные данные в таблицу:

Найдем координаты точки минимума:

(2; 2,5) — точка минимума.

6.Найдем интервалы выпуклости функции и точки перегиба.

Для этого поступаем так.

Вычислим вторую производную данной функции:

Точек перегиба нет.

Исследуем поведение функции справа и слева от точки х=0

5.2 Провести полное исследование функции у=х3−3х+4 и построить её график.

Составить уравнение касательной и нормали, проведенной к графику функции в точке х0=1.

1)Область определения:

Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой т.к. f (x) — многочлен.

2)Точки пересечения с осями координат:

С осью ОХ т. е. у=0:

— нашли способом подбора

х+1

и — точки пересечения с осою ОХ.

С осью ОУ т. е. х=0:

— точка пересечения с осою ОУ.

3) Исследуем на четность нечетность. Проверим выполнимость равенств: если f (-x) = f (x), то функция четная, если f (-x) = -f (x), то функция нечетная, при хD (y). Если равенства не выполняются, то функция ни четная ни нечетная.

Функция ни четная ни нечетная

4)Исследуем на наличие асимптот.

Вертикальных асимптот нет т.к. нет точек разрыва.

Наклонные асимптоты:

y = kx + b — уравнение наклонной асимптоты.

тогда

Значит и наклонных асимптот тоже нет.

5)Исследуем функцию на наличие точек экстремума (точек максимума и минимума), промежутки возрастания и убывания функции.

— точка подозрительная на экстремум.

(2; 0) — точка подозрительная на экстремум.

Значит на промежутке [0; 2] функция убывает, а на промежутке (; 0) и (2;) функция возрастает.

Занесем полученные данные в таблицу:

— точка максимума.

(2; 0) — точка минимума.

6)Исследуем функцию на наличие точек перегиба, промежутки выпуклости и вогнутости функции.

Точка подозрительная на перегиб.

— координата точки перегиба.

Уравнение касательной к линии:

— уравнение касательной

Уравнение нормали к линии:

— уравнение нормали.

Задание № 6

Вычислите следующие интегралы:

Воспользуемся формулой интегрирования по частям

Вычислим получившиеся интегралы по отдельности

1.

2.

Разложим знаменатель на множители

Проверка:

Задание № 7

Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций

Решение:

— графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы

(-1; -1) — координаты вершины параболы.

— графиком функции является прямая.

Найдем точки пересечения прямой и параболы:

(1; 3) и (-2; 0) — координаты точек пересечения графиков функций.

Сделаем чертеж:

На промежутке [-2; 1]

Вычислим площадь фигуры с пределами интегрирования а=1 и b=-2.

Ответ:

Задание 8

Найти общее решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

а); б); в) .

Решение:

а)

Общее решение однородного уравнения:

Составим характеристическое уравнение

Общее решение однородного уравнения

Составим характеристическое уравнение

Общее решение однородного уравнения

Задание 9

Исследовать ряды на сходимость

Решение:

предел дифференциал линейный уравнение

1.Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — М.: АСТ: Астрель, 2006. — 991с.

2.Зимина О. В., Кириллов А. И., Сальникова Т. А. Высшая математика. Под ред. А. И. Кирилова. — 3-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 368с.

3.Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ: Астрель, 2007. — 509с.

4.Красс М. С., Чупрыков Б. П. Математика для экономистов. — СПб.: Питер 2007. — 464с.