Передаточные функции одноконтурной системы

Практическая работа № 1

1. По заданным дифференциальным уравнениям определить операторные уравнения при нулевых начальных условиях, передаточные функции, структурные схемы звеньев, характеристические уравнения и их корни. Показать распределение корней на комплексной плоскости.

Оценить устойчивость каждого из звеньев.

а); б).

2. По заданной передаточной функции записать дифференциальное уравнение:

.

1. а). Дифференциальное уравнение можно записать в виде:

.

Обозначим Y (s) и F (s) как изображения сигналов соответственно y и f, тогда операторное уравнение (при нулевых начальных условиях) примет вид:

1,25s3Y (s) — 4s2Y (s) + 5sY (s) = 3F (s) — sF (s).

Данное уравнение можно преобразовать, вынеся Y (s) и F (s) за скобки:

Y (s). (1,25s3 — 4s2 + 5s) = F (s). (3 — s).

Отсюда получено:

.

Очевидно, что входной сигнал x отсутствует, и выходной сигнал у определяется только внешним воздействием f (система, действующая по возмущению):, то получается уравнение Y (s) = WF (s).F (s). Структурная схема объекта приведена на рис. 1.

Рис.1

Рис. 2

Передаточная функция имеет знаменатель, называемый характеристическим выражением:

A (s) =.

Если приравнять данное выражение к нулю, то образуется характеристическое уравнение, корни которого:

и .

Распределение корней на комплексной плоскости показано на рис. 2. По рисунку видно, что корни лежат в правой полуплоскости, следовательно, объект неустойчив.

б) Дифференциальное уравнение можно записать в виде:

.

Обозначим Y (s), X (s) и F (s) как изображения сигналов соответственно y, x и f, тогда операторное уравнение (при нулевых начальных условиях) примет вид:

2s2Y (s) + 4sY (s) + 10Y (s) = 3X (s) + 4sF (s).

Данное уравнение можно преобразовать, вынеся Y (s) и X (s) за скобки:

Y (s). (5s2 + 4s + 10) = 3X (s) + 4sF (s).

Отсюда получено:

.

Если обозначить передаточные функции объекта как

и ,

то получается уравнение Y (s) = Wx (s).X (s) + WF (s).F (s). Структурная схема объекта приведена на рис. 3.

Рис. 3

Характеристическая функция имеет вид:

а характеристическое уравнение:

.

Корни этого уравнения равны:

и .

Распределение корней на комплексной плоскости показано на рис. 4:

Рис. 4.

Все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости, очевидно, что объект устойчив.

2. Дана передаточная функция вида:

Зная, что по определению,, получим:

тогда:

.

Раскрывая скобки:

Применяя к полученному выражению обратное преобразование Лапласа, находим искомое дифференциальное уравнение:

.

Практическая работа № 2

Дана одноконтурная АСР, для которой определена передаточная функция регулятора (Р) с настройками и дифференциальное уравнение объекта управления (ОУ). Требуется определить:

— передаточную функцию разомкнутой системы W?(s),

— характеристическое выражение замкнутой системы (ХВЗС),

— передаточные функции замкнутой системы Фз (s) — по заданию, Фв (s) — по возмущению, ФЕ (s) — по ошибке,

— коэффициенты усиления АСР,

— устойчивость системы.

Р — ПИ-регулятор с ПФ вида ;

дифференциальное уравнение объекта управления:

.

Определим передаточную функцию объекта:

Wоб (s).

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

Характеристическое выражение замкнутой системы:

;

Передаточные функции замкнутой системы:

— по заданию;

— по ошибке;

— по возмущению.

По передаточным функциям определим коэффициенты усиления путем подстановки в них s = 0:

К3 = Ф3(0) = 1 — по заданию;

КЕ = ФЕ (0) = 0 — по ошибке;

Кв = Фв (0) = 0 — по возмущению.

Определим устойчивость АСР по критерию Гурвица.

Так как коэффициенты ХВЗС а3 = 4, а2 = 6, а1 = 18, а0 = 4 (степень полинома n = 3), то матрица Гурвица имеет вид:

Диагональные миноры матрицы равны соответственно:

Поскольку все определители положительны, то АСР является устойчивой.

Практическая работа № 3

По табличным данным построить переходную кривую объекта, определить параметры передаточной функции объекта, рассчитать настройки ПИД-регулятора, обеспечивающие 20%-е перерегулирование.

Xвх = 5,5 кПа; Y = 0,149%; зап = 40 сек

Полученная переходная характеристика изображена на рисунке 5:

Рис. 5. Переходная характеристика.

Установившееся значение выходной величины составляет:

;

Коэффициент усиления равен:

;

Постоянная времени равна:

.

Для процесса с 20% перерегулированием ПИД-регулятора, его настройки:

;

;

.

Практическая работа № 4

Дана одноконтурная АСР. Требуется определить:

· передаточные функции регулятора и объекта управления,

· передаточную функцию разомкнутой системы W?(s),

· характеристическое выражение замкнутой системы (ХВЗС),

· передаточные функции замкнутой системы Фз (s) — по заданию, Фв (s) — по возмущению, ФЕ (s) — по ошибке,

· коэффициенты усиления АСР,

· примерный вид переходных процессов по заданию, ошибке и возмущению,

· устойчивость системы.

Структурная схема АСР:

W1(s):; W2(s): ;

K1 = 1,2; K0 = 1,0; K = 1,0

· Передаточная функция регулятора:

.

· Передаточная функция объекта управления:

.

Определим операторные уравнения звеньев объекта управления: для этого обозначим Y (s) и U (s) как изображения сигналов соответственно y и u, тогда операторные уравнения примут вид:

W1(s): sY (s) = 2U (s);

W2(s): 2s2Y (s)+sY (s)+4Y (s)=7U (s).

Данные уравнения можно преобразовать, вынеся Y (s) и U (s) за скобки:

W1(s): sY (s) = 2U (s);

W2(s): Y (s)· (2s2+s+4)=7U (s).

Отсюда получено:

W1(s): Y(s) =

W2(s): Y (s) =.

Тогда:

.

Передаточная функция объекта управления:

· Передаточная функция разомкнутой системы:

· Характеристическое выражение замкнутой системы:

· передаточные функции замкнутой системы Ф3(s) — по заданию:

ФЕ (s) — по ошибке:

ФВ (s) — по возмущению:

При определении передаточной функции по возмущению принимается Wу.в. = Wоу. Тогда:

.

· По передаточным функциям определим коэффициенты усиления путем подстановки в них s = 0:

К3 = Ф3(0) = 1 — по заданию;

КЕ = ФЕ (0) = 0 — по ошибке;

Кв = Фв (0) = 0 — по возмущению.

· Определим устойчивость АСР по критерию Гурвица.

Так как коэффициенты ХВЗС (степень полинома n = 4), то матрица Гурвица имеет вид:

Диагональные миноры матрицы равны соответственно:

Поскольку все определители положительны, то АСР является устойчивой.

· Определим вид переходных процессов по заданию, ошибке и возмущению:

а) По заданию:

Корни знаменателя:

Изображение разбивается на сумму дробей:

.

Тогда оригинал y(t), согласно таблицам, имеет вид:

y(t) = y0 + y1,2(t) + y 3,4(t) =

+;

где 1,2, б3,4 и 1,2, 3,4 — действительная и мнимая части пары комплексных корней s1,2 и s3,4 соответственно.

C1,2, С3,4 и D1,2, D3,4 — действительная и мнимая части пары коэффициентов М1 и М3 соответственно.

Для корня s0 = 0:

;

Для корней :

=;

Для корней :

;

Тогда:

Получим оригинал:

б) По ошибке:

Корни знаменателя:

Изображение разбивается на сумму дробей:

.

Тогда оригинал y(t), согласно таблицам, имеет вид:

y(t) = y1,2(t) + y 3,4(t) =

+;

где 1,2, б3,4 и 1,2, 3,4 — действительная и мнимая части пары комплексных корней s1,2 и s3,4 соответственно.

C1,2, С3,4 и D1,2, D3,4 — действительная и мнимая части пары коэффициентов М1 и М3 соответственно.

Для корней :

Для корней :

;

Тогда:

Получим оригинал:

в) По возмущению:

Корни знаменателя:

Изображение разбивается на сумму дробей:

.

Тогда оригинал y(t), согласно таблицам, имеет вид:

y(t) = y1,2(t) + y 3,4(t) =

+;

где 1,2, б3,4 и 1,2, 3,4 — действительная и мнимая части пары комплексных корней s1,2 и s3,4 соответственно.

C1,2, С3,4 и D1,2, D3,4 — действительная и мнимая части пары коэффициентов М1 и М3 соответственно.

Для корней :

Для корней :

;

Тогда:

Получим оригинал: