Основы теории вероятностей

Вариант 3

1. Решите уравнение .

Решение:

По определению .

Тогда и уравнение принимает вид или откуда получаем и

Так как m может быть только натуральным числом, то значение отбрасываем.

Ответ: .

2. В урне находится 12 белых и 8 черных шаров. Найти вероятность того, что два одновременно изъятых наудачу шара будут черными.

Решение:

При выборе двух шаров из 20 существует различных вариантов, где, тогда

Определим благоприятных исходов, т. е. извлечены два черных шара. Два черных шара из 8 можно выбрать способами следовательно, число благоприятных исходов .

Искомая вероятность, согласно классическому определению вероятности, равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов: .

Ответ: .

3. Найдите вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 4, либо 5, либо тому и другому.

Решение:

Воспользуемся классическим определением вероятности. Двузначные числа начинаются с 10 и заканчиваются 99 и всего их 90, т. е. N = 90. Теперь посчитаем, сколько у нас чисел кратных либо 4, либо 5, либо тому и другому.

Число кратное 4-м имеет вид, кратное 5, кратное 4 и 5 .

В интервале от 10 до 99 всего числа кратных четырем (2 кратных до десяти), чисел кратных пяти (1 кратное до 10) и числа кратных и четырем и пяти.

Так как множество чисел кратных 4 и множество чисел кратных 5 не пересекаются, то всего получается 22 + 18 = 40 чисел удовлетворяющих необходимому нам условию, причем числа кратные и четырем и пяти уже входят в эти 40 чисел. В итоге получаем, что вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 4, либо 5, либо тому и другому равна .

Ответ: .

4. В партии 10 деталей, из которых 8 стандартные. Из этой коробки наудачу извлекается 2 детали. Х — число стандартных деталей. Найти закон распределения, функцию распределения дискретной случайной величины Х, а также основные числовые характеристики.

Решение:

Среди 2-х извлеченных деталей может быть 0, 1 или 2 стандартные.

Найдем вероятность каждого исхода.

0 стандартных:

1 стандартная:

2 стандартных:

Закон распределения принимает вид:

Запишем функцию распределения полученной случайной величины Х:

Математическое ожидание М (Х) дискретной случайной величины находится по формуле:

и подставляя данные получим:

Дисперсию дискретной случайной величины можно вычислить по формуле:

и, подставляя данные, получим:

Среднеквадратичное отклонение: (Х)=

Ответ: ;;.

5. По данной выборке постройте полигон. Найти эмпирическую функцию.

Решение:

Построим полигон частот — ломаную, соединяющую точки с координатами (Хi; Ni).

Объем выборки равен N = 1 + 3 + 2 + 4 = 10.

Найдем относительные частоты и составим эмпирическую функцию распределения:

Ответ: решение выше.