Применение численных методов для решения уравнений с частными производными

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ Кафедра «Прикладная математика»

ОТЧЕТ ПО ВЫПОЛНЕННОЙ КУРСОВОЙ РАБОТЕ Предмет «Численные методы»

«Применение численных методов для решения Уравнений с частными производными»

Санкт-Петербург 2008 г.

Лабораторная работа N1 «Интерполирование алгебраическими многочленами»

Для решения задачи локального интерполирования алгебраическими многочленами в системе MATLAB предназначены функции polyfit (POLYnomial FITting — аппроксимация многочленом) и polyval (POLYnomial VALue — значение многочлена).

Функция polyfit (X, Y, n) находит коэффициенты многочлена степени n, построенного по данным вектора Х, который аппроксимирует данные вектора Y в смысле наименьшего квадрата отклонения. Если число элементов векторов X и Y равно n+1, то функция polyfit (X, Y, n) решает задачу интерполирования многочленом степени n.

Функция polyval (P, z) вычисляет значения полинома, коэффициенты которого являются элементами вектора P, от аргумента z. Если z — вектор или матрица, то полином вычисляется во всех точках z.

Воспользуемся указанными функциями системы MATLAB для решения задачи локального интерполирования алгебраическими многочленами функции, заданной таблицей своих значений

и вычисления ее приближенного значения в точке x* = 2.2 .

Задача 1 (задача локального интерполирования многочленами)

Построить интерполяционные многочлены 1-ой, 2-ой и 3-ей степени.

Вычислить их значения при x=x*.

Записать многочлены в канонической форме и построить их графики.

Решение задачи средствами системы MATLAB:

X=[0.0000 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000];

Y=[0.0378 0.0653 0.3789 1.0353 0.5172 0.9765];

xzv=1.61;

P1=polyfit (X (4:5), Y (4:5), 1) Коэффициенты многочлена P1

P2=polyfit (X (3:5), Y (3:5), 2) Коэффициенты многочлена P2

P3=polyfit (X (3:6), Y (3:6), 3) Коэффициенты многочлена P3

Полученные таким образом коэффициенты интерполяционных многочленов и значения этих многочленов при x=x* :

P1 = -1.0362 2.5896

P2 = -2.3490 7.1853 -4.4574

P3 = 2.8692 -15.2604 25.8351 -13.0650

z1 = 0.9213

z2 = 1.0221

z3 = 0.9470

многочлены P1, P2, P3

P₁ = -1.0362*X+2.5896

P₂ = -2.3490*X²+7.1853*X+-4.4574

P₃ = 2.8692*X³ -15.2604*X² + 25.8351 + -13.0650

Для построения графиков интерполяционных многочленов следует создать векторы xi1, xi2, xi3, моделирующие интервалы (X (3):X (4)), (X (2):X (4)),(X (2):X (5)), соответственно, и вычислить значения многочленов P1, P2, P3 для элементов векторов xi1, xi2, xi3, соответственно:

xi1=X (4):0.05:X (5);

xi2=X (3):0.05:X (5);

xi3=X (3):0.05:X (6);

y1=polyval (P1,xi1);

y2=polyval (P2,xi2);

y3=polyval (P3,xi3);

plot (X, Y,'*k', xi1, y1,xi2,y2,xi3,y3);grid

Интерполирование нелинейной функцией Y=A*exp (-B*X)

y_l=log (Y)

Pu=polyfit (X (4:5), y_l (4:5), 1)

z_l=(exp (Pu (2))*exp (Pu (1)*xzv))

Y= 8.3040*exp (-1.3880*X)

Функция plot с указанными аргументами строит табличные значения функции черными звездочками ('*k'), а также графики многочленов P1 (по векторам xi1 и y1), P2 (по векторам xi2 и y2) и P3 (по векторам xi3 и y3), и функцией Y=A*exp (-B*X), соответственно синей, красной и зеленой кривыми.

plot (X, Y,'*k', xi1, y1,xi2,y2,xi3,y3,xi1,exp (Pu (2))*exp (Pu (1)*xi1));grid

Оценка погрешности интерполирования

При оценке погрешности решения задачи интерполирования в точке x* за погрешность epsk интерполяционного многочлена степени k принимается модуль разности значений этого многочлена и многочлена степени k+1 в точке x*.

С помощью уже полученных значений мы можем оценить погрешности интерполяционных многочленов P1 и P2 в точке x*, используя функцию abs системы MATLAB для вычисления модуля:

eps1 = abs (z1-z2)

eps1 = 0.1008

eps2 = abs (z2-z3)

eps2 = 0.0751

Для оценки погрешности многочлена P3 необходимо предварительно вычислить значение z4=P4(x*), а затем — eps3.

P4=polyfit (X, Y,4);z4=polyval (P4,xzv);

eps3=abs (z4-z3)

eps3 = 0.1450

«Построение сплайна»

X=[0.0000 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000];

Y=[0.0378 0.0653 0.3789 1.0353 0.5172 0.9765];

cs = spline (X,[0 Y 0]);

xx = linspace (0,2.5);

plot (X, Y,'*m', xx, ppval (cs, xx),'-k');

h=0.5

esstestvennii spline

A=[4 2 0 0 0 0

1 4 1 0 0 0

0 1 4 1 0 0

0 0 1 4 1 0

0 0 0 1 4 1

0 0 0 0 2 4]

B=[6*(Y (2)-Y (1))/h 0 0 0 0 6*(Y (length (Y))-Y (length (Y)-1))/h]

for i = 2:(length (Y)-1)

B (i)=(3/h)*(Y (i+1)-Y (i-1))

end

S=inv (A)*B'

otsutstvie uzla

A1=[1 0 -1 0 0 0

1 4 1 0 0 0

0 1 4 1 0 0

0 0 1 4 1 0

0 0 0 1 4 1

0 0 0 1 0 -1]

B1=[2*(2*Y (2)-Y (1)-Y (3))/h 0 0 0 0 2*(2*Y (length (Y)-1)-Y (length (Y))-Y (length (Y)-2))/h]

for i = 2:(length (Y)-1)

B1(i)=(3/h)*(Y (i+1)-Y (i-1))

end

S1=inv (A1)*B1'

c1 = spline (X,[S (2) Y S (5)]);

x1 = linspace (0,2.5,101);

c2 = spline (X,[S1(2) Y S1(5)]);

x2 = linspace (0,2.5,101);

plot (X, Y,'ob', xx, ppval (cs, xx),'-', x1, ppval (c1,x1),'*', x2, ppval (c2,x2),'^', xx, spline (X, Y, xx));

h = 0.5000

A =

4 2 0 0 0 0

1 4 1 0 0 0

0 1 4 1 0 0

0 0 1 4 1 0

0 0 0 1 4 1

0 0 0 0 2 4

B = 0.3300 0 0 0 0 5.5116

B = 0.3300 2.0466 0 0 0 5.5116

B = 0.3300 2.0466 5.8200 0 0 5.5116

B = 0.3300 2.0466 5.8200 0.8298 0 5.5116

B = 0.3300 2.0466 5.8200 0.8298 -0.3528 5.5116

S =

0.0052

0.1546

1.4230

-0.0266

-0.4869

1.6213

A1 =

1 0 -1 0 0 0

1 4 1 0 0 0

0 1 4 1 0 0

0 0 1 4 1 0

0 0 0 1 4 1

0 0 0 1 0 -1

B1 = -1.1444 0 0 0 0 -3.9096

B1 = -1.1444 2.0466 0 0 0 -3.9096

B1 = -1.1444 2.0466 5.8200 0 0 -3.9096

B1 = -1.1444 2.0466 5.8200 0.8298 0 -3.9096

B1 = -1.1444 2.0466 5.8200 0.8298 -0.3528 -3.9096

S1 =

0.2496

0.1008

1.3940

0.1433

-1.1372

4.0529

Лабораторная работа N2 " Построение алгебраических многочленов наилучшего среднеквадратичного приближения"

X=[0.0000 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000];

Y=[0.0378 0.0653 0.3789 1.0353 0.5172 0.9765];

n=length (X)

TABL=[X, sum (X);Y, sum (Y);…

X.^2,sum (X.^2);…

X.*Y, sum (X.*Y);…

X.*X.*Y, sum (X.*X.*Y);…

X.^3,sum (X.^3);X.^4,sum (X.^4)];

TABL=TABL'

X Y X² X*Y X²*Y X³ X⁴

0 0.0378 0 0 0 0 0

0.5000 0.0653 0.2500 0.0326 0.0163 0.1250 0.0625

1.0000 0.3789 1.0000 0.3789 0.3789 1.0000 1.0000

1.5000 1.0353 2.2500 1.5530 2.3294 3.3750 5.0625

2.0000 0.5172 4.0000 1.0344 2.0688 8.0000 16.0000

2.5000 0.9765 6.2500 2.4413 6.1031 15.6250 39.0625

7.5000 3.0110 13.7500 5.4402 10.8966 28.1250 61.1875 — Сумма

По данным таблицы запишем и решим нормальную систему МНК-метода:

1) дл многочлена первой степени

S1=[n, TABL (7,1);TABL (7,1) TABL (7,3)] матрица коэффициентов

T1=[TABL (7,2);TABL (7,4)] вектор правых частей

coef1=S1T1 решение нормальной системы МНК

A1=coef1(2);B1=coef1(1); коэффициенты многочлена 1-ой степени

S1 =

6.0000 7.5000

7.5000 13.7500

T1 =

3.0110

5.4402

coef1 =

0.0229

0.3832

2) дл многочлена второй степени

S2=[n TABL (7,1) TABL (7,3);TABL (7,1) TABL (7,3) TABL (7,6);TABL (7,3) TABL (7,6) TABL (7,7)] матрица коэффициентов

T2=[TABL (7,2);TABL (7,4);TABL (7,5)] вектор правых частей

coef2=S2T2 решение нормальной системы МНК

A2=coef2(3);B2=coef2(2);C2=coef2(1); коэффициенты многочлена 2-ой степени

S2 =

6.0000 7.5000 13.7500

7.5000 13.7500 28.1250

13.7500 28.1250 61.1875

T2 =

3.0110

5.4402

10.8966

coef2 =

— 0.0466

0.5917

— 0.0834

Для построения графиков функций y1=A1*x+B1 и y2=A2*x²+B2*x+C2 с найденными коэффициентами зададим вспомогательный вектор абсциссы xi, а затем вычислим элементы векторов g1=A1*xi+B1 и g2=A2*xi²+B2*xi+C2:

h=0.05;

xi=min (X):h:max (X);

g1=A1*xi+B1;

g2=A2*xi.^2+B2*xi+C2;

plot (X, Y,'*k', xi, g1, xi, g2);grid

coef1=polyfit (X, Y,1) коэффициенты многочлена первой степени

coef2=polyfit (X, Y,2) коэффициенты многочлена второй степени

coef1 = 0.3832 0.0229

coef2 = -0.0834 0.5917 -0.0466

Для построения графиков зададим вспомогательный вектор абсциссы xi, а затем c помощью функции polyval вычислим элементы векторов g1 и g2:

xi=min (X):0.1:max (X);

g1=polyval (coef1,xi);

g2=polyval (coef2,xi);

plot (X, Y,'*k', xi, g1, xi, g2);grid

Очевидно, что построенные таким способом графики совпадут с полученными ранее.

Для того, чтобы определить величину среднеквадратичного уклонения, вычислим суммы квадратов уклонений g1(x) и g2(x) от таблично заданной функции в узлах таблицы X, а затем

G1=polyval (coef1,X);

G2=polyval (coef2,X);

delt1=sum ((Y-G1).^2); delt1=sqrt (delt1/5)

delt2=sum ((Y-G2).^2); delt2=sqrt (delt2/5)

Последние две строки можно заменить другими, если использовать функцию mean, вычислющую среднее значение:

delt1=mean (sum ((Y-G1).^2))

delt2=mean (sum ((Y-G2).^2))

delt1 = 0.2403

delt2 = 0.2335

delt1 = 0.2888

delt2 = 0.2725

Для нелинейной

X=[0.0000 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000];

Y=[0.0378 0.0653 0.3789 1.0353 0.5172 0.9765]

Y_o=Y

Y=1./(exp (Y))

n=length (X)

TABL=[X, sum (X);Y, sum (Y);… означает перенос строки

X.^2,sum (X.^2);…

X.*Y, sum (X.*Y);…

X.*X.*Y, sum (X.*X.*Y);…

X.^3,sum (X.^3);X.^4,sum (X.^4)];

TABL=TABL'

По данным таблицы запишем и решим нормальную систему МНК-метода:

2) дл многочлена второй степени

S2=[n TABL (7,1) TABL (7,3);TABL (7,1) TABL (7,3) TABL (7,6);TABL (7,3) TABL (7,6) TABL (7,7)] матрица коэффициентов

T2=[TABL (7,2);TABL (7,4);TABL (7,5)] вектор правых частей coef2=S2T2 решение нормальной системы МНК

A2=coef2(3);B2=coef2(2);C2=coef2(1); коэффициенты многочлена 2-ой степени

Дл построения графиков функции y2=A2*x²+B2*x+C2 с найденными коэффициентами зададим вспомогательный вектор абсциссы xi, а затем вычислим элементы векторов g1=A1*xi+B1 и g2=A2*xi²+B2*xi+C2 :

h=0.05;

xi=min (X):h:max (X);

g2=log (1./(A2*xi.^2+B2*xi+C2));

plot (X, Y_o,'*k', xi, g2);grid

coef2=polyfit (X, Y,2) коэффициенты многочлена второй степени Для построения графиков зададим вспомогательный вектор абсциссы xi, а затем c помощью функции polyval вычислим элементы векторов g1 и g2:

pause;

xi=min (X):0.1:max (X);

g2=polyval (coef2,xi);

plot (X, Y_o,'*k', xi, log (1./g2));grid

Очевидно, что построенные таким способом графики совпадут с полученными ранее.

Для того, чтобы определить величину среднеквадратичного уклонения, вычислим суммы квадратов уклонений g1(x) и g2(x) от таблично заданной функции в узлах таблицы X, а затем

G2=polyval (coef2,X);

delt2=sum ((Y-G2).^2); delt2=sqrt (delt2/5)

Последние две строки можно заменить другими, если использовать функцию mean, вычисляющую среднее значение:

delt2=mean (sum ((Y-G2).^2))

Y = 0.0378 0.0653 0.3789 1.0353 0.5172 0.9765

Y_o = 0.0378 0.0653 0.3789 1.0353 0.5172 0.9765

Y = 0.9629 0.9368 0.6846 0.3551 0.5962 0.3766

n = 6

TABL =

0 0.9629 0 0 0 0 0

0.5000 0.9368 0.2500 0.4684 0.2342 0.1250 0.0625

1.0000 0.6846 1.0000 0.6846 0.6846 1.0000 1.0000

1.5000 0.3551 2.2500 0.5327 0.7990 3.3750 5.0625

2.0000 0.5962 4.0000 1.1924 2.3848 8.0000 16.0000

2.5000 0.3766 6.2500 0.9416 2.3539 15.6250 39.0625

7.5000 3.9122 13.7500 3.8196 6.4565 28.1250 61.1875

S2 =

6.0000 7.5000 13.7500

7.5000 13.7500 28.1250

13.7500 28.1250 61.1875

T2 =

3.9122

3.8196

6.4565

coef2 =

1.0178

— 0.4243

0.0718

coef2 =

0.0718 -0.4243 1.0178

delt2 =

0.1199

delt2 =

0.0719

Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Эйлера явная

function dy=func (x, y)

dy=2*x*y

clear

X=[0.0 0.10 000 0.20 000 0.30 000 0.40 000 0.50 000];

Y=exp ((X).^2);

Y0=input ('Значение функции в точке 0 = ');

Y_n1=Y0;

for n=1:length (X)-1

Y_n1=Y_n1+0.1*2*X (n)*Y_n1;

Y_n (n)=Y_n1;

end

X1=0.0:0.01:0.50 000;

Y_sot=Y0;

for n=1:length (X1)

Y_sot=Y_sot+0.01*2*X1(n)*Y_sot;

Y_sto (n)=Y_sot;

end

X2=0.0:0.001:0.50 000;

Y_tys=Y0;

for n=1:length (X2)

Y_tys=Y_tys+0.001*2*X2(n)*Y_tys;

Y_ts (n)=Y_tys;

end

disp (' X Y h=0.1 h=0.01 h=0.001')

G1=Y_sto (10:10:end);

TABL=[X;Y;Y0,Y_n;…

Y_sto (1), G1;…

Y_ts (1), Y_ts (100:100:end)];

TABL=TABL';disp (TABL)

Значение функции в точке 0 = 1

X Y h=0.1 h=0.01 h=0.001

0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.1000 1.0101 1.0000 1.0090 1.0099

0.2000 1.0408 1.0200 1.0387 1.0406

0.3000 1.0942 1.0608 1.0907 1.0938

0.4000 1.1735 1.1244 1.1683 1.1730

0.5000 1.2840 1.2144 1.2766 1.2833

Симметричная

clear

X=[0.0 0.10 000 0.20 000 0.30 000 0.40 000 0.50 000];

Y=exp ((X).^2);

Y0=input ('Значение функции в точке 0 = ');

Y_n1=Y0;

for n=1:length (X)-1

Y_n1=Y_n1*(1+0.1*X (n))/(1−0.1*(X (n)+0.1));

Y_n (n)=Y_n1;

end

X1=0.0:0.01:0.50 000;

Y_sot=Y0;

for n=1:length (X1)-1

Y_sot=Y_sot*(1+0.01*X1(n))/(1−0.01*(X1(n)+0.01));

Y_sto (n)=Y_sot;

end

X2=0.0:0.001:0.50 000;

Y_tys=Y0;

for n=1:length (X2)-1

Y_tys=Y_tys*(1+0.001*X2(n))/(1−0.001*(X2(n)+0.001));

Y_ts (n)=Y_tys;

end

disp (' X Y h=0.1 h=0.01 h=0.001')

G1=Y_sto (10:10:end);

TABL=[X;Y;Y0,Y_n;…

Y_sto (1), G1;…

Y_ts (1), Y_ts (100:100:end)];

TABL=TABL';disp (TABL)

Значение функции в точке 0 = 1

X Y h=0.1 h=0.01 h=0.001

0 1.0000 1.0000 1.0001 1.0000

0.1000 1.0101 1.0101 1.0101 1.0101

0.2000 1.0408 1.0410 1.0408 1.0408

0.3000 1.0942 1.0947 1.0942 1.0942

0.4000 1.1735 1.1745 1.1735 1.1735

0.5000 1.2840 1.2858 1.2840 1.2840

Эйлера неявная

clc

clear all

h₁=0.1;

X=0:h₁:0.5;

Y=exp (X.^2);

Yn=Y (1);

Y2=Yn+h₁*2*X (1);

или Y2=input ('Введите значение Yn в точке X=0 =')

y₁(1)=Y2;

for i = 1:(length (Y)-1)

y₁(i+1)=y₁(i)/(1-h₁*2*X (i+1));

end

h₂=0.01;

X₂=0:h₂:0.5;

Y₂=exp (X₂.^2);

Y2=Yn+h₂*2*X (1);

y₂(1)=Y2;

for i = 1:(length (Y₂)-1)

y₂(i+1)=y₂(i)/(1-h₂*2*X₂(i+1));

end

h₃=0.001;

X₃=0:h₃:0.5;

Y₃=exp (X₃.^2);

Y2=Yn+h₃*2*X (1);

y₃(1)=Y2;

for i = 1:(length (Y₃)-1)

y₃(i+1)=y₃(i)/(1-h₃*2*X₃(i+1));

end

for k=1:5

r1(k)=y₂(k*10+1);

r2(k)=y₃(k*100+1);

end

TABL=[X; Y;… … означает перенос строки

y₁;…

y₂(1), r1;…

y₃(1), r2];

TABL=TABL'

plot (X, Y,'-', X, y₁, X,[y₂(1), r1], X,[y₃(1), r2])

f=ode23('y₁',[0 0.5], 1)

TABL =

0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

0.1000 1.0101 1.0204 1.0111 1.0102

0.2000 1.0408 1.0629 1.0430 1.0410

0.3000 1.0942 1.1308 1.0977 1.0945

0.4000 1.1735 1.2291 1.1787 1.1740

0.5000 1.2840 1.3657 1.2916 1.2848

Задача Коши

function [ output_args ] = koshi (input_args)

KOSHI Summary of this function goes here

Detailed explanation goes here

tspan=[0,1];

y0=[1.421,1];

[t, y]=ode45(@F, tspan, y0);

ode45(@F, tspan, y0);

hold on

plot ([0 1],[1 1])

Подбор Альфа методом секущих

a=1;

y0=[1,a];

tspan=[0,1];

psi_old=a-1;

a_old=0.5;

i = 1;

eps = 1;

while (eps >= 0.1) & (i < 10 000)

[t, y]=ode45(@F, tspan, y0);

ode45(@F, tspan, y0)

psi=y (end, 2)-1;

a_new=a-psi*(a-a_old)/(psi-psi_old)

eps = abs (psi);

a_old = a;

a = a_new;

y0=[1,a];

psi_old = psi

i = i + 1;

end

i

a_new = 0.5000

psi_old = -0.3935

a_new = 1.4655

psi_old = -0.8161

a_new = 1.4184

psi_old = 0.0419

a_new = 1.4215

psi_old = -0.0030

a_new = 1.4215

psi_old = -4.1359e-006

a_new = 1.4215

psi_old = 4.2046e-010

i = 7

Генерация матрицы 10*10 из элементов равномерно распределённых 1.10

function [ output_args ] = ravnomern10₁₀_1₁₀(input_args)

RAVNOMERN10₁₀_1₁₀ Summary of this function goes here

Detailed explanation goes here

round (rand (10,10)*9+1)

8 2 7 7 5 3 8 9 4 2

9 10 1 1 4 7 3 3 8 1

2 10 9 3 8 7 6 8 6 6

9 5 9 1 8 2 7 3 6 8

7 8 7 2 3 2 9 9 9 9

2 2 8 8 5 5 10 4 4 2

4 5 8 7 5 10 6 3 8 6

6 9 5 4 7 4 2 3 8 5

10 8 7 10 7 6 2 7 4 1

10 10 3 1 8 3 3 5 6 4

Решение краевой задачи методом сеток для УЧП.

e=0.01;

h=sqrt (e);

x=0:h:1;

y=0:h:1;

v=ones (11,11);

v (1:)=0;

v (end:)=1;

v (, 1)=(0:h:1)';

v (, end)=(0:h:1)';

v=v.*((1*9+sum (0:h:1)+sum (0:h:1))/40)

v (1:)=0;

v (end:)=1;

v (, 1)=(0:h:1)';

v (, end)=(0:h:1)';

surf (v);

d = e+1;

i=1

while d > e & i < 100

v1=v;

v1(1:10:)=v1(2:11:);

v1(11:)=v (1:);

v2=v;

v2(2:11:)=v2(1:10:);

v2(1:)=v (11:);

v3=v;

v3(, 1:10)=v3(, 2:11);

v3(, 11)=v (, 1);

v4=v;

v4(, 2:11)=v4(, 1:10);

v4(, 1)=v (, 11);

v_new=(v1+v2+v3+v4)/4;

d = max (max (abs (v (2:end-1,2:end-1)-v_new (2:end-1,2:end-1))))

v=v_new;

v (1:)=0;

v (end:)=1;

v (, 1)=(0:h:1)';

v (, end)=(0:h:1)';

pause (0.5);

surf (v);

i = i + 1;

end;

Результат работы программы:

i = 1

d = 0.2250

d = 0.0875

d = 0.0500

d = 0.0344

d = 0.0297

d = 0.0245

d = 0.0199

d = 0.0175

d = 0.0154

d = 0.0137

d = 0.0120

d = 0.0108

d = 0.0093

HELM ВЫЧИСЛЯЕТ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО (АЛГОРИТМ «БЛУЖДАНИЙ ПО СЕТКЕ») РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ЗАДАННОЙ ТОЧКЕ (x, y) ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ D, ОПРЕДЕЛЕННОЙ ГРАНИЦАМИ.

Код программ:

ЗАПИС КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ В ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА

function yp=funch (x, y);

if x=0,yp=y;end;

if y=0,yp=0;end;

if y=1,yp=1;end;

if x=1,yp=y;end;

function [z1,z2,z3]=helm (c, fun, xm, ym, gr, x0, y0,h, n);

HELM ВЫЧИСЛЯЕТ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО (АЛГОРИТМ «БЛУЖДАНИЙ ПО СЕТКЕ»)

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬМГОЛЬЦА В ЗАДАННОЙ ТОЧКЕ (x, y) ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ D, ОПРЕДЕЛЕННОЙ ГРАНИЦАМИ

0<=x<=xm, 0<=y<=ym

(УЧП) Uxx+Uyy-c*U=F (x, y)

(ГУ) U|г=G (x, y)

Входные данные:

c — КОЭФФИЦИЕНТ (функциональный) ЛЕВОЙ ЧАСТИ УЧП;

fun — ФУНКЦИЯ F (x, y) В ПРАВОЙ ЧАСТИ УЧП (ФУНКЦИЯ ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ);

xm, ym — ГРАНИЦЫ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ;

gr — ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ (ФУНКЦИЯ ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ);

x0,y0 — КООРДИНАТЫ ТОЧКИ, В КОТОРОЙ ИЩЕТСЯ РЕШЕНИЕ;

h — ШАГ СЕТКИ (ЗАДАЕТСЯ ПОЛЬЗОВАТЕЛЕМ);

n — ЧИСЛО ТРАЕКТОРИЙ.

Выходные данные:

z1 — ПРИБЛИЖЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ РЕШЕНИЯ;

z2 — ВЕРОЯТНАЯ ОШИБКА;

z3 — ВЕРХНЯЯ ГРАНИЦА ОШИБКИ.

Обращение: [z1,z2,z3]=helm (c, fun, xm, ym, gr, x0, y0,h, n)

global z

z=[];

i0=round (x0/h);

j0=round (y0/h);

im=round (xm/h);

jm=round (ym/h);

disp (' ')

disp (' Подождите, идет расчет.')

for count=1:n,

x=x0;y=y0;

i=i0;j=j0;

q=1;

tmp=4+eval (c)*h²;

s=h²*eval (fun)/tmp;

while all ([i, j, im-i, jm-j]),

p=[0,¼]; p=[p, p (2)];

p=[p,¼]; p=[p, p (4)];

alf=rand;

pp=max (find (alf>cumsum (p)));

if pp==1,j=j+1;end

if pp==2,j=j-1;end

if pp==3,i=i+1;end

if pp==4,i=i-1;end

x=i*h;y=j*h;

q=q*4/tmp;

s=s+q*h²*eval (fun)/tmp;

end

s=s+q*feval (gr, x, y);

z=[z, s];

end

disp (' ');

disp (' РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ:');

disp (' ============================= ');

disp (' ')

disp (' при числе траекторий');disp (n);

disp ('значение в точке с координатами ');

disp (' x0 y0');

disp ([x0,y0]);

z1=mean (z);disp (' ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ — ');disp (z1);

z2=0.6745*std (z)/sqrt (n);disp (' ВЕРОЯТНОЙ ОШИБКИ — ');disp (z2);

z3=z2*3/0.6745;disp (' ВЕРХНЕЙ ГРАНИЦЫ ОШИБКИ — ');disp (z3);

ОБРАЩЕНИЯ К ФУНКЦИИ HELM:

global z

c='1';

f='0';

xm=1;ym=1;

gr='funch';

x0=0.6;y0=0.7;

h=0.1;

n=600;

[z1,z2,z3]=helm (c, f, xm, ym, gr, x0, y0,h, n);

Результат работы программы:

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ:

при числе траекторий 600

значение в точке с координатами x0 y0 0.6000 0.7000

ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ — 0.2958

ВЕРОЯТНОЙ ОШИБКИ — 0.0089

ВЕРХНЕЙ ГРАНИЦЫ ОШИБКИ — 0.0397