Метод анализа иерархий

Сущность и задачи метода анализа иерархий

Метод анализа иерархий, МАИ — разработан Т. Саати и является методом измерения взаимозависимости в системе, систематической процедурой для иерархического представления элементов доминантной, прямой или обратной иерархии, системно описывающих проблему. В рамках данного метода взаимозависимость измеряется (оценивается) путем сравнения вкладов в вышестоящие узлы иерархии нижестоящих видов деятельности или критериев (подиерархии). Метод предполагает последовательное осуществление процедур:

• — декомпозиции проблемы на части (элементы);
• — получения экспертных заключений по парным сравнениям, синтеза множества суждений;
• — определения относительной степени (интенсивности) взаимодействия элементов в иерархии;
• — определения численного выражения интенсивности взаимодействия. [4]

В этом методе предусматривается декомпозиция проблемы на части, ее структурирование и выделение иерархии, содержащей различные главные цели, подцели, критерии или уровней мероприятий, альтернатив, подлежащих оценке и дальнейшая обработка последовательности суждений ЛПР по попарным сравнениям. Данный метод включает процедуры синтеза множественных суждений, оценку приоритетности факторов (критериев) и нахождения альтернативных стратегий (решений) [5] Преимуществом МАИ над большинством существующих методов оценивания стратегических альтернатив является четкое выражение суждений экспертов и лиц, принимающих решения, а также ясное представление структуры проблемы: элементов и взаимозависимостей между ними. Метод анализа иерархий опирается на достаточно простые элементы, которые оцениваются в шкале МАИ в виде суждений экспертов. А затем на основании обработки экспертных оценок определяется относительная степень их взаимного влияния в иерархии.

Для анализа стоимость-эффективность необходимо построить две иерархии: одну для издержек, другую для выгод с одними и теми же альтернативами на нижнем уровне. Критерии для выгод и для издержек не обязательно должны быть противоположными друг другу, но они должны различаться.

Главная цель проблемы является высшим уровнем иерархии. За целью следует уровень наиболее важных критериев. Каждый из критериев может разделяться на субкритерии. За субкритериями следует уровень альтернатив, число которых может быть достаточно большим.

Методика МАИ включает парные сравнения, разработку шкалы для преобразований суждений в числовые значения, использование обратно симметричных отношений, гомогенную кластеризацию иерархических уровней, иерархическую композицию проблемы [6].

Порядок применения Метода Анализа Иерархий:

• 1. Построение качественной модели проблемы в виде иерархии, включающей цель, альтернативные варианты достижения цели и критерии для оценки качества альтернатив.
• 2. Определение приоритетов всех элементов иерархии с использованием метода парных сравнений.
• 3. Синтез глобальных приоритетов альтернатив путем линейной свертки приоритетов элементов на иерархии.
• 4. Проверка суждений на согласованность.
• 5. Принятие решения на основе полученных результатов.
• 1. Первый шаг МАИ — построение иерархической структуры, объединяющей цель выбора, критерии, альтернативы и другие факторы, влияющие на выбор решения. Построение такой структуры помогает проанализировать все аспекты проблемы и глубже вникнуть в суть задачи. 7]. Декомпозиция предусматривает структурирование задачи в виде иерархии. В наиболее простом виде иерархия строится с вершины (цель), через промежуточные уровни (критерии) к самому низкому уровню, который обычно является перечнем альтернативных решений. Число уровней иерархии, описывающих конкретную задачу, может быть различно и зависит от специфики задачи. Каждый элемент верхнего уровня является «направляющим» для элементов нижнего уровня иерархии. Это означает, что важность (весовой коэффициент) критериев в описываемой альтернативе рассматривается относительно цели выбора альтернатив. При бинарном сравнении критериев каждый из них оценивается относительно поставленной цели и соответственно определяет уровни взаимного предпочтения.
• 2. Затем определяется вес элементов на первом уровне иерархии. Для каждого из этих элементов строится матрица векторов-столбцов элементов, находящихся на следующем уровне иерархии. Векторы весов элементов этого уровня используются для взвешивания собственных векторов-столбцов. Перемножением матрицы векторов на вектор-столбец весов рассчитывают общий вектор весов элементов нижнего уровня.

Расчеты необходимо проводить в матричной форме. При этом должно соблюдаться свойство обратной симметрии.

3. Сущность попарных сравнений заключается в сравнении элементов задачи (критерии, альтернативы) попарно по отношению к их воздействию (весу, интенсивности) на общую для них характеристику. Парные сравнения критериев и альтернатив проводятся в терминах доминирования одного из элементов над другим. Эти суждения в шкале МАИ выражаются в целых числах. Если элемент, А доминирует над элементом В, то клетка квадратичной матрицы, соответствующая строке, А и столбцу В, заполняется целым числом, а клетка, соответствующая строке В и столбцу А, — обратным ему числом. Если, А и В эквивалентны, то в обе позиции записывается 1.

Опыт показал, что при проведении попарных сравнений в основном ставятся следующие вопросы. При сравнении элементов, А и Б:

• · Какой из них важнее или имеет большее воздействие?
• · Какой из них более вероятен?
• · Какой из них предпочтительнее?

Относительная сила, величина или вероятность каждого отдельного объекта в иерархии определяется оценкой соответствующего ему элемента собственного вектора матрицы приоритетов, нормализованного к единице.

Процедура определения собственных векторов матриц поддается приближению с помощью вычисления геометрической средней.

Пусть: A₁…A_n — множество из n элементов; W₁…W_n — соотносятся следующим образом:

Таблица 4 — Парные сравнения.

Для получения каждой матрицы требуется n (n — 1)/2 суждений, где n — число критериев, если сравнение проводится среди них, или число альтернатив, если они сравниваются по каждому критерию. При бинарном сравнении альтернатив, особенно при близких оценках их показателей, возможны случаи нарушения требований транзитивности или других ошибок в суждениях, поэтому МАИ предусматривает специальный механизм определения согласованности оценок. [8].

4. Обработка результатов в методике МАИ осуществляется на базе методов матричного анализа с использованием специальных процедур оценки субъективных суждений на основании шкалы сравнений.

Для обоснования шкалы МАИ учитывается, что способность человека производить количественные разграничения можно представить пятью определениями: а) равный; б) слабый; в) сильный; г) очень сильный; д) абсолютный. Можно принять компромиссные определения между отмеченными соседними, когда нужна большая точность. В целом требуется девять значений, выносимых при сравнении объектов суждений. Использование единицы в начале шкалы соответствует отношению значимости объекта относительно самого себя.

Для определения значений суждений следует начинать сравнение с левого элемента матрицы постановкой вопроса: насколько он важнее каждого из элементов, расположенных вверху (какой более вероятен или какой более предпочтителен). Если сравниваемый элемент важнее того, с которым он сравнивается, то в соответствующую позицию матрицы заносится целое число из шкалы относительной важности; в противном случае берется обратная величина. При сравнения элемента с самим собой отношение равно единице.

5. Для объединения суждений целесообразно найти среднегеометрическое значение путем перемножения соответствующих числовых значений в каждой строке матрицы суждений и извлечении корня степени, равной числу оцениваемых элементов. В результате получаем значение компонент собственного вектора.

Таблица 5 — Синтез локальных приоритетов критериев.

	Кр1.	Кр2.	Кр3.	Компоненты вектора приоритета.	Нормативный вектор
Кр1.		б12.	б13.	х1=а/s
Кр2.	б21.		б23.		х2=b/s
Кр3.	б31.	б32.			х3=c/s
	s=а+b+с

Далее определяется компонент вектора локальных приоритетов путем деления компонент собственного вектора на их сумму (осуществляется процедура нормализации собственного вектора матрицы).

В МАИ рекомендованы четыре способа обработки данных:

• 1) суммировать элементы каждой строки и нормализовать делением каждой суммы на суммы всех элементов. Сумма полученных результатов равна 1. Первый элемент результирующего вектора будет приоритетом первого объекта (в данном случае первого фактора) и т. д.;
• 2) суммировать элементы каждого столбца и получить обратные элементы этих сумм. Нормализовать их так, чтобы сумма равнялась единице, разделив каждую обратную величину на сумму всех обратных величин;
• 3) разделить элементы каждого столбца на сумму элементов этого столбца, т. е. нормализовать столбец. Затем сложить элементы каждой полученной строки и разделить эту сумму на число элементов в строке — усреднение по нормализованным столбцам;
• 4) умножить п элементов каждой строки и извлечь из произведения корень п-й степени. Нормализовать полученные числа.

В общем случае, когда матрица М[п] содержит элементы согласованности суждений, указанные способы дают различные результаты векторов приоритетов.

• (факторов взвешивания).
• 6. Синтез приоритетов заключается в разработке глобального критерия оценки альтернативных вариантов решения на базе системы локальных приоритетов. Система локальных приоритетов — это совокупность векторов приоритетов по каждой матрице попарных сравнений. Один вектор приоритетов показывает значимость критериев и определяется по матрице попарных сравнений критериев. Остальные векторы приоритетов показывают значимость (результаты сравнения) вариантов по соответствующему критерию. Вектор приоритетов представляет собой нормализованный собственный вектор матрицы попарных сравнений.

Таблица 6 — Синтез локальных приоритетов альтернатив.

	A1.	A2.	A3.	Компоненты вектора приоритета.	Нормативный вектор
А1.		б12.	б13.	y1=а/s
А2.	б21.		б23.		y2=b/s
А3.	б31.	б32.			y3=c/s
	s= а+в+с

7. После определения вектора приоритетов находят оценки согласованности мнений экспертов. Для этого определяется отношение согласованности локальных критериев. Расчет показателей согласованности выполняется следующим образом.

Определяется приближенная оценка главного собственного значения матрицы суждений. Для этого определяется сумма по каждому столбцу суждений, а затем сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты нормализованного вектора приоритетов, сумма второго столбца — на вторую компоненту и т. д. Полученные числа суммируются, таким образом, получаемая величина лmах называется оценкой максимума (главного значения матрицы М). Это приближение используется для оценки согласованности суждений эксперта. Чем ближе лmах к n, тем более согласованным является представление в матрице М[n] суждений. Отклонение от согласованности называют индексом согласованности (ИС):

Теперь сравним эту величину с той, которая получилась бы при случайном выборе количественных суждений из нашей шкалы, и образовании обратно симметричной матрицы. Ниже даны средние согласованности для случайных матриц разного порядка.

Таблица 7 — Определение случайной согласованности

Если разделить ИС на число, соответствующее случайной согласованности матрицы того же порядка, получим отношение согласованности (ОС). Величина ОС должна быть порядка 10% или менее, чтобы быть приемлемой. В некоторых случаях допускается ОС до 20%, но не более, иначе надо проверить свои суждения.

8. После проверки согласованности локальных приоритетов определяется глобальный критерий для каждого возможного варианта решений. Приоритеты синтезируются, начиная со второго уровня и вниз. Локальные приоритеты перемножаются на приоритет соответствующего критерия (взвешиваются) вышестоящего уровня и суммируются по каждому элементу в соответствии с критериями, на которые воздействует этот элемент. Это удобно представить в виде матрицы глобальных приоритетов.

Таблица 8 — Матрица глобальных приоритетов.

Обобщенные веса или приоритетность объекта при их выборе равны сумме произведений локальных приоритетов каждого объекта по каждому критерию на значимость этого критерия.

Сравнивая полученные значения глобальных приоритетов, определяют рейтинг для всех стратегий. Высокий рейтинг будет соответствовать наибольшему значению глобального вектора приоритета или наиболее предпочтительной альтернативной стратегии. Оценить полезность вариантов выбора конкурентных стратегий можно с помощью нечеткой статистической теории принятия решений.

Основные этапы формирования и выбора конкурентной стратегии организации с использованием аналитических и процедурных методов, в частности, метода анализа иерархий, положенные в основу разработанной методики, представлены на рис. 5.

Достоинством предлагаемой методики выбора конкурентной стратегии является то, что метод МАИ в отличие от других экспертных дает возможность оценивать сразу и качественные, и количественные характеристики посредством перехода к безразмерным показателям. С помощью этого метода можно осуществлять поиск оптимальной конкурентной стратегии в любой рыночной ситуации, так как он позволяет сравнивать все факторы одновременно, определяя значимость путем сравнения попарно каждого с каждым. В результате определяется относительная степень (интенсивность) взаимодействия элементов в иерархии. При этом другие методы позволяют одновременно сравнивать, как правило, только по два фактора.

Рисунок 5 — Этапы формирования и выбора стратегии организации методом анализа иерархий (МАИ).