Введение. 
Движение в магнитном поле

В данной работе мы рассмотрим движение частиц в магнитном поле. Магнитное взаимодействие частиц друг с другом является релятивиским эффектом, и его учёт требует последовательной релятивиской теории.

В отличие от классической теории, в магнитном поле собственный магнитный момент частицы непосредственно взаимодействует с этим полем., что и будет рассмотрено в данной курсовой работе.

Уравнение Шредингера в магнитном поле

Частица со спином обладает определенным «собственным» магнитным моментом m. Соответствующий ему квантово-механический оператор пропорционален оператору спина s т. е. может быть записан в виде.

(111.1).

где s — величина спина частицы, а m — характерная для частицы постоянная. Собственные значения проекции магнитного момента равны m _z =mу/s. Отсюда видно, что коэффициент m (который и называют обычно просто величиной магнитного момента) представляет собой наибольшее возможное значение m, достигаемое при проекции спина у = s.

Отношение m/hs дает отношение собственного магнитного момента частицы к ее собственному механическому моменту (когда оба направлены по оси z). Как известно, для обычного (орбитального) момента это отношение равно е/2тс. Коэффициент же пропорциональности между собственным магнитным моментом и спином частицы оказывается иным. Для электрона он равен — е /тc, т. е. вдвое больше обычного значения (такое значение получается теоретически из релятивистского волнового уравнения Дирака. Собственный магнитный момент электрона (спин ½) равен, следовательно, — m _B, где.

(111.2).

Эту величину называют магнетоном Бора.

Магнитный момент тяжелых частиц принято измерять в ядерных магнетонах, определяемых как eh/2m_pc, где m_p - масса протона. Эксперимент дает для собственного магнитного момента протона значение 2,79 ядерных магнетонов, причем момент направлен по спину. Магнитный момент нейтрона направлен противоположно спину и равен 1,91 ядерного магнетона.

Обратим внимание на то, что величины m, и s, стоящие в обоих сторонах равенства (111,1), как и следовало, одинаковы по своему векторному характеру; обе являются аксиальными векторам. Аналогичное же равенство для электрического дипольного момента d (d = const· s) противоречило бы симметрии по отношению к инверсии координат: при инверсии менялся бы относительный знак обеих сторон равенства.

В нерелятивистской квантовой механике магнитное поле может рассматриваться только в качестве внешнего поля. Магнитное взаимодействие частиц друг с другом является релятивистским эффектом, и его учет требует последовательной релятивистской теории.

В классической теории функция Гамильтона заряженной частицы в электромагнитном поле имеет вид.

где ц — скалярный, А — векторный потенциал поля, a р — обобщенный импульс частицы. Если частица не обладает спином, то переход к квантовой механике производится обычным образом: обобщенный импульс надо заменить оператором p =-ih, и мы получим гамильтониан.

H (111.3).

Если же частица обладает спином, то такая операция недостаточна. Дело в том, что собственный магнитный момент частицы непосредственно взаимодействует с магнитным полем. В классической функции Гамильтона это взаимодействие вообще отсутствует, поскольку сам спин, будучи чисто квантовым эффектом, исчезает при переходе к классическому пределу. Правильное выражение для гамильтониана получится путем введения (в 111,3) дополнительного члена — mН, соответствующего энергии магнитного момента m в поле Н. Таким образом, гамильтониан частицы, обладающей спином, имеет вид.

H (111.4).

При раскрытии квадрата (p —) ² надо иметь в виду, что оператор р, вообще говоря, не коммутативен с вектором A, являющимся функцией координат. Поэтому надо писать.

H (111.5).

Согласно правилу коммутации оператора импульса с любой функцией координат имеем:

pAAp=-ih divA (111.6).

Таким образом, p и А коммутативны, если div A = 0. Это, в частности, имеет место для однородного поля, если выбрать его векторный потенциал в виде.

A= [Hr] (111,7).

Уравнение ih ?Ш/?t = HШ с гамильтонианом (111,4) представляет собой обобщение уравнения Шредингера на случай наличия магнитного поля. Волновые функции, на которые действует гамильтониан в этом уравнении, — симметричные спиноры ранга 2s.

Волновые функции частицы в электромагнитном поле обладают неоднозначностью, связанной с неоднозначностью потенциалов поля. Как известно, последние определены лишь с точностью до калибровочного преобразования

AA+f, цц- (111.8).

где f — произвольная функция координат и времени. Такое преобразование не отражается на значениях напряженностей поля. Ясно поэтому, что оно не должно существенно изменять также и решений волнового уравнения; в частности, должен оставаться неизменным квадрат | Ш |². Действительно легко убедиться в том, что мы вернемся к исходному уравнению, если одновременно с заменой (111,8) в гамильтониане произвести также и замену волновой функции согласно.

ШШ exp (111.9).

Эта неоднозначность волновой функции не сказывается ни на какой имеющей физический смысл величине (в определение которой не входят в явном виде потенциалы).

В классической механике обобщенный импульс частицы связан c её скоростью соотношением mv = p-eA/c.

движение атом магнитное поле Для того чтобы найти оператор v в квантовой механике, надо прокоммутировать вектор r с гамильтонианом. Простое вычисление приводит к результату.

mv = p- (111.10).

в точности аналогичному классическому. Для операторов компонент скорости имеют место правила коммутации.

{ V_x, V_y }=i {V_y, V_z}=i.

{V_z, V_x}= i (111.11)

которые легко проверить непосредственным вычислением. Мы видим, что в магнитном поле операторы трех компонент скорости частицы (заряженной) оказываются некоммутативными. Это значит, что частица не может иметь одновременно определенных значений скорости по всем трем направлениям.

При движении в магнитном поле симметрия по отношению к обращению времени имеет место лишь при условии изменения знака поля Н (и векторного потенциала А). Это значит, что уравнение Шредингера Hш = Eш должно сохранить свой вид при переходе к комплексно сопряженным величинам и изменении знака Н. Для всех членов в гамильтониане (111,4), за исключением члена — sH, это непосредственно очевидно. Член же — sHш в уравнении Шредингера переходит при указанном преобразовании в s*Hш*, и на первый взгляд нарушает требуемую инвариантность, поскольку оператор s* не совпадает с — s.

Следует, однако, учесть, что волновая функция есть в действительности контрвариантный спинор ш^лм…, который при комплексном сопряжении переходит в ковариантный ш^лм…*. Ко-нтравариантным же является спинор ш_лм…^*. Находя компоненты (sHш) * и выражая их через ш_лм…^*, убеждаемся в том, что операция обращения времени приводит к уравнению Шредингера для компонент ш_лм…^* того же вида, который имело исходное уравнение для компонент ш^лм….