Боровская теория водородоподобного атома

С помощью постулатов Бора можно рассчитать спектр атома водорода, а также водородоподобных атомов. Рассмотрим электрон, движущийся в поле атомного ядра с зарядом Ze. При это атом водорода. При это атом (ион), содержащий один электрон и ядро с зарядом Ze. Такие атомы называют.

Применим второй закон Ньютона к электрону, движущемуся по орбите радиуса r

. (1).

Учитывая, что момент импульса электрона принимает дискретные значения

.

и решая совместно эти уравнения, получим выражения для радиусов стационарных орбит

.

Радиус первой орбиты водородного атома называют боровским радиусом. Его числовое значение

имеет величину порядка атома водорода.

Полная энергия электрона в водородоподобном атоме

Является величиной отрицательной. Здесь учтено, вытекающее из (1) условие

.

Отметим, что кинетическая энергия электрона равна половине его потенциальной энергии, взятой со знаком плюс. Соответственно, полная энергия электрона равна половине его потенциальной энергии.

Подставляя выражения для квантованных радиусов орбит, получим выражения для дискретных уровней энергии

.

При переходе атома водорода (Z=1) из состояния п в состояние т излучается фотон

.

Частота испущенного света равна

.

Мы получили обобщенную формулу Бальмера. Постоянная Ридберга определяется формулой

.

При подстановке числовых значений получим значение R=3,29· 10¹⁵ 1/c, хорошо согласующееся с экспериментально измеренным значением. Ниже показана возможная серия уровней энергии и переходов

Для полной энергии атома водорода получили дискретное значение Еп. Запишем соответствующие выражения для кинетической и потенциальной энергии атома. Имеем

.

Потенциальная энергия атома.

.

Здесь учтена формула для радиуса. Соответственно кинетическая энергия электрона (ядро атома считается неподвижным).

.

Из полученных формул видно, что для атома водорода кинетическая энергия равна полной энергии, взятой с обратным знаком, а потенциальная энергия равна удвоенной полной.

Использование постулатов Бора позволило количественно описать спектр водорода и сформулировать основные качественные представления о строении более сложных атомов. Однако количественно описать спектр следующего за водородом атома гелия в рамках модели Бора не удалось.

Сама планетарная модель атома Бора, так же, как и его постулаты, является неверной, хотя полученные формулы правильны. Постулаты Бора являлись промежуточным этапом построения квантовой теории атомов. Полная теория атомов была построена в квантовой механике с использованием уравнения Шредингера.