Некоторые аспекты формирования индивидуальных образовательных траекторий в условиях вариативного образования

НЕКОТОРЫЕ АСПЕКТЫ ФОРМИРОВАНИЯ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИЙ В УСЛОВИЯХ ВАРИАТИВНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Переход к вариативной системе высшего образования является важной частью образовательной реформы и нацелен на приведение форм и содержания образования в соответствие с изменившимися условиями общественной жизни и экономики, с новой интерпретацией понятия грамотности и общей образованности, в том числе с необходимостью ориентации учебного процесса не только на усвоение знаний, но и на развитие способностей студентов самостоятельно добывать требуемые им знания, изучать не набор фактов, а способы и технологии их получения, направленности учебного процесса на обеспечение условий для раскрытия потенциала будущего специалиста и непрерывное формирование его профессиональной компетентности. Одним из таких условий выступает индивидуализация образования, проявляющаяся, в частности, в построении индивидуальных траекторий обучения.

Многоуровневость высшего педагогического образования позволяет говорить о механизме построения процессуальноуровневой модели индивидуальной траектории фундаментальной подготовки студентов педвузов, которая распределена по ступеням обучения совокупности учебных дисциплин, элементов их содержания, видов учебной работы (при их изучении и выполнении могут быть достигнуты цели подготовки). Исходя из принципа непрерывности образования, мы рассматриваем следующие основные уровни фундаментальной подготовки учителя математики: довузовскую (в том числе предпрофильную, профильную и дополнительную), вузовскую (в том числе предварительную, основную, углубленную и предметно-методическую) и послевузовскую (в том числе обучение в аспирантуре или докторантуре, курсы повышения квалификации, стажировки, самообразование). Мы исследуем возможности реализации индивидуальных образовательных траекторий на каждом из указанных уровней в контексте двух содержательных линий линии числа и дискретной линии.

Довузовская подготовка включает в себя несколько этапов. Необходимым условием создания образовательного пространства, способствующего самоопределению учащихся основной ступени, является введение предпрофильной подготовки (7 9 классы) через организацию курсов по выбору. Для реализации числовой линии полезно использовать курсы, изучающие такие фундаментальные арифметические вопросы, как теория делимости, элементы теории простых чисел, системы счисления. Для реализации дискретной линии на данном этапе эффективными могут оказаться курсы, связанные с теми или иными разделами теории графов, некоторыми избранными вопросами элементарной комбинаторики.

Профильное обучение на старшей ступени школы предусматривает введение в состав профиля элективных курсов обязательных для посещения по выбору учащихся, несущих основную нагрузку по индивидуализации образовательных программ. В контексте выделенных содержательных линий актуальной представляется разработка системы арифметических элективных курсов, дающих многогранное представление об элементарной теории чисел и основных методах «высшей» теории чисел. Элективы по дискретной математике в первую очередь должны познакомить школьников с классическими разделами этой дисциплины, поскольку предусмотренные стандартом обязательные для изучения вопросы немногочисленны и фрагментарны. Так, элементы теории графов не входят в стандарт среднего образования, в то время как знакомство с ними необходимо школьнику, решившему посвятить свою профессиональную деятельность математике.

Вузовскую подготовку специалиста также можно разбить на несколько этапов. Прежде всего, это предварительная подготовка, осуществляемая в рамках таких дисциплин, как «Введение в специальность», «Элементарная математика» или «Практикум по решению задач». Как правило, эти дисциплины изучаются на младших курсах и их содержание в значительной мере пересекается с содержанием довузовской подготовки, расширяя и углубляя ее, восстанавливая естественные связи, помогающие студенту адаптироваться в новом материале, прокладывая «мостики» к не изученным ранее темам. Так, при изучении курса «Арифметика. Практикум по решению задач» студенты получают глубокие систематические знания по следующим базовым разделам: теория делимости, НОД и НОК, алгоритм Евклида, взаимно-простые числа, простые числа, системы счисления, систематические дроби, основы комбинаторики.

Основная предметная подготовка осуществляется в рамках дисциплин, включенных в состав ГОС. Числовая линия представлена дисциплинами «Теория чисел» и «Числовые системы», дисциплина «Основы дискретной математики» соответствует дискретной линии. Базой для формирования индивидуальных образовательных траекторий на данном этапе является введение, помимо инвариантной составляющей содержания, отраженной в ГОС, вариативной составляющей дополнительного материала, который позволяет студентам, заинтересовавшимся тематикой, получить более полное, расширенное представление о предмете. Основную смысловую нагрузку несут в этом случае задачи для самостоятельного решения, в которых «спрятана» новая, в том числе и теоретическая, информация.

Углубленная подготовка осуществляется в рамках спецкурсов и спецсеминаров. На данном этапе студент получает возможность систематизировать, углубить и расширить знания в интересующей его области математики, при желании получить исследовательскую задачу, в перспективе продолжить научную работу, обучаясь в аспирантуре. Примерами «числовых» могут служить спецкурсы «Асимптотический закон распределения простых чисел», «Простые числа в арифметических прогрессиях», «Целые точки». Выражением дискретной линии являются спецкурсы «Графы и комбинаторика», «Конечные суммы», «Рекуррентные соотношения и специальные числа» .

Заключительным этапом фундаментальной подготовки в вузе является предметно-методическая подготовка, под которой мы понимаем изучение (на старших курсах или в магистратуре) математических дисциплин с «профессиональной» точки зрения, то есть с акцентом на демонстрацию связей со школьным курсом математики. Примерами таких курсов являются спецкурсы для магистрантов «Специальные числа натурального ряда», «Комбинаторика и анализ» .

Индивидуальная исследовательская работа студента над курсовыми проектами и выпускными квалификационными работами бакалавра является естественной составной частью углубленной подготовки, в то время как работа над магистерской диссертацией или дипломной работой является основной частью предметнометодической подготовки. На наш взгляд, эта работа составляет основу формирования индивидуальной траектории обучения, поскольку при правильной расстановке акцентов именно она выполняет системообразующую, интегрирующую роль. При этом выбор тематики исследования должен осуществляться таким образом, чтобы работа над темой была непрерывной: студент выполняет курсовую работу как базу для дальнейшего исследования в рамках выпускной квалификационной работы бакалавра, а затем эти материалы служат математической основой магистерской диссертации, которая, в свою очередь, направлена на методическую разработку того или иного вопроса школьной математики.

Для реализации «обратной связи» необходимо, чтобы тема исследования была естественным образом связана со школьным курсом математики, проецировалась на него: в рамках подготовки магистерской диссертации студент получает возможность реализовать накопленный потенциал фундаментальных знаний в процессе создания научно-методических и программных разработок, которые могут быть положены в основу создания системы элективных курсов по математике для современной профильной школы. Так как именно магистратура педвузов должна стать в ближайшем будущем главным источником специалистов высшей квалификации для профильной школы, привлечение студентов-магистрантов к решению вопросов такого рода кажется особенно полезным.

Выбранные нами содержательные линии числа и дискретности как нельзя лучше соответствуют предъявляемым требованиям. Так, специфика арифметических проблем (простота формулировок, непосредственная связь с элементарной, «школьной» математикой, глубокие исторические корни в сочетании с разнообразием и сложностью доказательств, опирающихся на фундаментальные утверждения современной математической науки) (позволяет утверждать, что именно теоретико-числовые задачи являются одним из наиболее продуктивных источников новых направлений исследований). В свою очередь, среди арифметических вопросов можно особо выделить тематику, связанную с изучением и систематизацией свойств тех или иных чисел, например, «специальных натуральных чисел» (фигурные числа [1], Пифагоровы и Героновы тройки, совершенные и дружественные числа, магические квадраты, числа Фибоначчи, треугольник Паскаля, числа Мерсенна, числа Ферма, числа Стирлинга, числа Белла, числа Каталана).

В рамках дискретной линии интерес представляют, прежде всего, различные аспекты теории графов. Прозрачность определений, простота базовых утверждений, быстрый выход на современный уровень научных исследований, связь с информатикой и давно назревшая необходимость введения элементов теории графов в школьный курс математики делают эту область дискретного анализа привлекательным источником тем исследовательских работ студентов.

индивидуальный вузовский студент исследовательский

1. Деза Е.И. О содержании элективного курса «Фигурные числа» // Математика в школе. № 8, 9. 2008.

2. Деза Е.И., Модель Д.Л. Основы дискретной математики. М., 2007.

3. Степанова Л.Л., Жмулева A.B., Деза Е.И. Арифметика: Практикум по решению задач. М., 2008.