Материальные уравнения и уравнения Максвелла в электродинамике движущихся сред

Электромагнитное поле в движущихся средах формально описывается теми же уравнениями Максвелла, что и в покоящейся среде:

(1.1).

В (1.1) и — напряжённости электрического и магнитного полей, и — векторы индукции электрического и магнитного полей соответственно, и — плотность сторонних зарядов и токов в этой среде.

Система уравнений (1.1) должна быть дополнена системой материальных уравнений, при формулировке которых и учитывается движение среды. Материальные уравнения для движущейся изотропной среды были предложены Минковским и носят его имя. Если скорость переноса среды, то уравнения Минковского имеют вид:

(1.2).

В соотношениях (1.2) и — диэлектрическая и магнитная проницаемости среды. Уравнения (1.2) были получены Минковским из известных соотношений между индукцией и напряжённостью поля в покоящейся изотропной среде путём преобразований Лоренца.

Для решения задач о нахождении поля в движущейся изотропной среде удобнее использовать уравнения Максвелла не в форме (1.1), а четырёхмерной форме. Для этого Минковским было предложено два тензора электромагнитного поля:

(1.3).

(1.4).

Компонентами тензора являются составляющие напряжённости электрического поля и магнитной индукции, а компонентами тензора — составляющие напряжённости магнитного поля и электрической индукции.

С помощью введённых тензоров первые два уравнения системы (1.1) можно представить в виде:

где — четырёхмерный вектор тока, а четырёхмерные координаты выберем в виде:

(1.6).

Вторая пара уравнений Максвелла также записывается в виде одного тензорного уравнения:

(1.7).

Материальные уравнения (1.2) в тензорной форме имеют вид:

(1.8).

где — четырёхмерный вектор скорости перемещения среды, компоненты которого:

(1.9).

здесь введено обозначение .

В ряде случаев более удобной оказывается формулировка материальных уравнений, предложенная Таммом. В этой формулировке свойства движущейся среды описываются одним четырёхмерным тензором:

(1.10).

Соотношение (1.10) можно записать в иной эквивалентной форме:

где является четырёхмерным тензором поляризуемости среды. Явный вид этого тензора может быть получен из (1.10), если известно выражение для .