Интерполяционный полином Лагранжа

Лагранж предложил строить интерполяционный полином в виде разложения.

.

где l_i(x) — базисные функции.

Для того, чтобы полином удовлетворял условиям Лагранжа, т. е. был бы интерполяционным, базисные функции l_i(x) должны обладать следующими свойствами:

• 1) быть полином степени n
• 2) удовлетворять условию .

Лагранж показал, что функции, обладающие указанными свойствами, должны иметь следующий вид.

l_i(x)=.

С учетом этого выражения интерполяционный полином Лагранжа может быть записан в виде.

(4.6).

В отличие от интерполяционного полинома в канонической форме для вычисления значений полинома Лагранжа не требуется предварительно определять коэффициенты полинома путем решения системы уравнений. Однако для каждого значения аргумента x полином Лагранжа приходится пересчитывать вновь, коэффициенты же канонического полинома вычисляются только один раз. Поэтому практическое применение полинома Лагранжа оправдано только в том случае, когда интерполяционная функция вычисляется в сравнительно небольшом количестве точек x.

Интерполяционный полином Лагранжа оказывается очень удобным для приближенного вычисления определенных интегралов. Если, например, некоторую функцию заменить интерполяционным полином Лагранжа, то определенный интеграл от нее может быть вычислен следующим образом Значения интегралов от не зависят от f(x) и могут быть легко вычислены аналитически.