Введение. 
Исследование уравнения диффузии

Диффузия — один из важнейших физических процессов, с которым человек сталкивался постоянно еще в глубокой древности. Но аналитическое изучение диффузии было невозможно без появления молекулярной теории строения вещества, и когда подобная теория увидела свет, процесс диффузии стал активно описываться и с аналитической точки зрения. Первым пронаблюдал и описал процесс диффузии Роберт Броун в 1827 году [17].

Современные представления и знания о диффузии в упорядоченных средах окончательно сформировались уже в 60-е годы 20 века [8]. Однако в последнее время значительно вырос интерес к исследованию неупорядоченных структур, таких как гетероструктурные среды со случайным или периодическим расположением различных фаз, аморфные или композитные материалы, легированные полупроводники, жидкометаллические растворы, водоносные грунты и так далее. Этот процесс непосредственно связан с развитием высокоточных областей производства, в которых применяются подобные материалы.

Различные процессы, происходящие в средах с неупорядоченными структурами, также получили новый толчок к развитию. Одним из таких процессов и является диффузия. Уравнение для описания процесса диффузии было получено уже в середине 19 века Адольфом Фиком [15]. За прошедшее время процесс исследования уравнения диффузии получил серьезное развитие, были рассмотрены многие его частные виды, однако решения уравнения диффузии со случайной зависимостью коэффициента диффузии от времени не было получено. Это решение может использоваться в совершенно различных областях, от промышленных предприятий до сельского хозяйства. Так, например, с его помощью может быть установлено количество времени, которое потребуется для проникновения на определенную глубину в почве частицам вредных химических веществ, которые могут быть выброшены в окружающую среду при аварии на каком-либо химическом предприятии.

Целью данной дипломной работы является получение и анализ решения частого случая уравнения диффузии, в котором коэффициент диффузии случайным образом зависит от времени.

Для достижения поставленной цели необходимо решить несколько задач:

• 1. Получить уравнение диффузии со случайной зависимостью коэффициента диффузии от времени из общего уравнения диффузии путем различных преобразований и применения к нему ряда определенных условий, характерных для процессов в неупорядоченных структурах.
• 2. Найти решение полученного уравнения с помощью комбинации нескольких методов.
• 3. Проанализировать полученное решение, рассмотреть различные предельные случаи, построить графики.