Выводы. 
Метод комплексных амплитуд

• 1. Мгновенная мощность резистивного элемента всегда положительна, т.к. знаки тока и напряжения в любой момент времени одинаковы.
• 2. Мгновенная мощность образуется в нуль в точках, где ток и напряжение равны нулю, и достигает максимума в момент времени, когда ток и напряжение максимальны по абсолютному значению. Это означает, что движение энергии в цепи имеет односторонний характер — от источника к резистору.

Среднее значение мощности резистивного элемента за период называется активной мощностью; оно равно произведению действующих значений напряжения и тока:

(3.57).

Активная мощность численно равна постоянной составляющей мгновенной мощности и характеризует среднюю за период скорость потребления энергии от источнике.

Энергия, поступившая в резистивный элемент к произвольному времени t, может быть найдена как интеграл от мощности. Тогда с учетом выражения (3.5) полагая, что энергия, поступившая к моменту времени t = 0, равна, получаем.

Энергия, поступившая в резистивный элемент в произвольный момент времени является неубывающей функцией времени (рис. 3.21 г), причём в моменты времени, когда мгновенная мощность резистивного элемента принимает нулевые значения, на графике появляется горизонтальный участок. Следовательно, электрическая энергия в цепи гармонического тока с резистивным элементом непрерывно необратимо преобразуется в тепло; эта энергия доставляется в цепь от источника, к которому подключена цепь.

Пусть ток, протекающий через индуктивный элемент (рис. 22) изменяется по гармоническому закону:

(3.58).

Найдём напряжение на индуктивном элементе. Связь между мгновенными значениями тока и напряжения на индуктивном элементе определяется законом электромагнитной индукции. Подставляя (3.58) в выражение этого закона, получаем:

(3.59).

Анализ выражения (3.59) позволит сделать следующие выводы:

1. При гармоническом внешнем воздействии напряжения на зажимах индуктивного элемента является гармонической функцией времени той же частоты, что и воздействующий то (рис. 25 а).

(3.60).

2. Начальная фаза напряжения на 90о больше начальной фазы тока.

(3.61).

3. Действующее значение напряжения на зажимах индуктивного элемента пропорционально действующему значению тока.

(3.62).

Комплексный ток и комплексное напряжение определяются выражениями:

(3.63).

(3.64).

Рисунок 23 а, б — Временные диаграммы тока и напряжения (а), мощности и энергии (б) индуктивного элемента.

Рисунок 24 а, б, в — Векторные диаграммы тока и напряжения (а), Комплексного сопротивления (б) и комплексной проводимости (в) индуктивного элемента.

Они изображаются на комплексной плоскости в виде пары векторов, длины которых в определённом масштабе равны действующим значениям напряжения и тока индуктивного элемента, причём вектор повёрнут относительно вектора на угол против часовой стрелки (рис. 26 а) Используя выражения (3.63) и (3.64), находим комплексное сопротивление и комплексную проводимость индуктивности:

(3.65).

(3.66).

Сравнивая (3.65) и (3.66) с показательной и алгебраической формами записи комплексных сопротивления и проводимости, получаем модули и аргументы вещественную и мнимую части комплексного сопротивления и комплексной проводимости.

На комплексной плоскости и изображаются векторами, ориентированными соответственно вдоль положительного или отрицательного направлениям мнимой оси (рис. 3.26 б, в).

Комплексная схема замещения индуктивного элемента приведена на рис. 25.

Рисунок 25 — Комплексная схема замещения индуктивного элемента.

Мгновенная мощность индуктивного элемента при гармоническом воздействии изменяется по гармоническому закону с частотой равной (рис 25 б):

(3.67).

В связи с тем, что в индуктивном элементе отсутствует преобразование электрической энергии в другие виды энергии, его активная мощность равна нулю:

(3.68).

Энергия, запасённая в магнитном поле индуктивного элемента, определяется мгновенным значением тока:

(3.69).

Мгновенная энергия индуктивного элемента содержит постоянную и переменную составляющие, причём переменная составляющая изменяется во времени по гармоническому закону с частотой (рис. 26 в).

Выводы:

Из полученных соотношений (3.67) — (3.69) и графиков, изображённых на рис. 3.25 можно сделать выводы о характере движения энергии в цепи синусоидального тока с индуктивностью:

• 1. В цепи с индуктивностью энергетический процесс заключается в колебании энергии между цепью и источником без её необратимых преобразований в другие виды энергии; в течении первой четверти периода с ростом тока энергии от источника питания поступает в цепь, запасаясь в магнитном поле индуктивного элемента, в следующую четверть периода энергия магнитного поля по мере убывания значений тока убывает, полностью возвращаясь к источнику питания, и далее процесс повторяется;
• 2. Максимум энергии, накопленной в индуктивном элементе, совпадает с максимумом тока и определяется при заданной индуктивности амплитудой тока (3.69).
• 3. Активная мощность в цепи гармонического тока с индуктивностью равна нулю, поэтому ток в такой цепи полезной работы не совершает;
• 4. Энергия, обратимо преобразуемая в цепи с индуктивностью, является не активной, а реактивной энергией, поэтому цепь с индуктивностью называется «реактивной цепью», а индуктивный элемент — «реактивным элементом» цепи.

Пусть к емкостному элементу (рис. 2268) приложено напряжение, изменяющееся по гармоническому закону:

(3.70).

Рисунок 26 — Емкостной элемент.

Используя выражение связи тока и напряжения на ёмкости, найдём.

(3.71).

Анализ выражения (3.71) позволяет сделать следующие выводы:

1. При гармоническом приложенном напряжении ток емкостного элемента изменяется по гармоническому закону (рис. 29 а):

(3.72).

2. Начальная фаза тока на больше начальной фазы напряжения, т. е. ток емкостного элемента опережает по фазе напряжение на 90 (рис 29).

(3.73).

3. Действующее значение тока емкостного элемента пропорционально действующему значению напряжения:

(3.74).

В связи с тем, что ток ёмкости опережает напряжение ёмкости по фазе на угол, комплексные ток и напряжения ёмкости.

(3.75).

(3.76).

изображаются на комплексной плоскости в виде двух векторов, расположенных так, что вектор повёрнут относительно вектора на угол против часовой стрелки (рис. 27).

Рисунок 27 а, б, в — Временные диаграммы напряжения и тока (а) мощности (б) и энергии (в) емкостного элемента.

Рисунок 28 а, б, в — Векторные диаграммы тока и напряжения (а) комплексного сопротивления (б) и комплексной проводимости емкостного элемента.

Используя выражения (3.75) и (3.76) находим комплексное сопротивление и комплексную проводимость ёмкости

(3.77).

(3.78).

Сравнивая (3.77) и (3.78) с показательной и алгебраической формами записи комплексных сопротивлений и проводимости, находим модули, аргументы, вещественные и мнимые составляющие входных сопротивлений и проводимости ёмкости:

На комплексной плоскости и изображаются векторами, направленными соответственно вдоль отрицательной или положительной мнимых полуосей (рис. 28 б, в) Комплексная схема замещения емкости приведена на рис 29.

Рисунок 29 — Комплексная схема замещения емкостного элемента.

Мгновенная мощность емкостного элемента при гармоническом воздействии изменяется по гармоническому закону с частотой, в два раза большей частоты приложенного напряжения (рис. 29 б):

(3.75).

Как видно из временных диаграмм (рис. 29) в течение половины периода изменение мощности ток и напряжение емкости имеют одинаковый знак (ёмкость заряжается), при этом мгновенная мощность ёмкости положительна.

В течение второй половины периода ёмкость отдаёт запасённую энергию (разряжается), при этом ток и напряжение ёмкости имеют разные знаки, а мгновенная мощность тока отрицательна.

Среднее значение мощности ёмкостного элемента за период (активная мощность) равна нулю:

(3.76).

Энергия, запасённая в ёмкости, определяется приложенным к ней напряжением:

(3.77).

Из выражения (3.77) следует, что энергия, запасённая в ёмкости, содержит две составляющие: переменную и постоянную, причём переменная составляющая энергии изменяется во времени по гармоническому закону с частотой (рис. 29 в) Выводы:

Из полученных соотношений (3.75) — (3.77) и графиков, изображённых не рис 3.29 можно сделать следующие выводы о характере движения энергии в цепи синусоидального тока с ёмкостью:

• 1. В цепи с ёмкостью энергетический процесс заключается в колебании энергии между цепью и источником без её необратимых преобразований в другие виды энергии; в течении первой четверти периода, по мере возрастания напряжения на ёмкости энергии от источника питания поступает в цепь, запасаясь в электрическом поле конденсатора, в следующую четверть периода по мере убывания значения напряжения на ёмкости энергия электрического поля конденсатора убывает, возвращаясь к источнику питания цепи, и далее процесс повторяется;
• 2. Максимум накопленной энергии в электричёском поле ёмкостью элемента совпадает с максимумом напряжения на нём и определяется при заданной ёмкости амплитудой этого напряжения;
• 3. Активная мощность в цепи гармонического тока с ёмкостью равна нулю, поэтому ток в такой цепи полезной работы не совершает;
• 4. Энергия, обратимо преобразуемая в цепи ёмкостью, является не активной, а реактивной энергией, поэтому цепь с ёмкостью называется реактивной цепью, а емкостной элемент — реактивным элементом цепи.