Основы финансовых вычислений

1. Задание № 1

кредит доходность корреляция займ.

1. Для какой схемы обслуживания кредита остаток долга на начало каждого единичного периода внутри срока погашения совпадает с величиной кредита?

Кредит, при котором остаток долга на начало каждого единичного периода внутри срока погашения совпадает с величиной кредита, предусматривает выплату большей части или всей суммы кредита, т. е. «шаровой» платеж, в конце срока кредитования.

Кредит с «шаровым» платежом — это кредит, предполагающий погашение всего (или большей части) долга в конце срока кредитования одним или серией платежей.

Разновидности схем кредитования с «шаровым» платежом:

• · отсутствие процентных выплат до конца срока кредита, по окончании срока выплачивается вся сумма кредита и начисленный сложный процент, например, кредиты под освоение земли;
• · выплат в течение кредитного периода только процентов, в конце срока погашение задолженности «шаровым» платежом;
• · частичная амортизация с итоговым «шаровым» платежом;
• · кредиты, по которым шаровой платеж включает основной долг и сумму накопленных за период кредитования процентов;2.
• · кредиты с равномерным погашением полученного займа и уплатой процентов на остаток долга. К разновидностям кредита относят:
• · кредит с постоянным пропорциональным погашением долга;
• · кредит, по которому в первые годы уплачивается только сумма процентов, а в оставшийся период происходит равномерное погашение долга с уплатой соответствующих процентов.

Схемы кредитования с «шаровым» платежом применяются при финансировании нового строительства и проектов по освоению земли.

Шаровой платеж — англ. Balloon Payment, является крупным единовременным платежом покредиту, сумма которого значительно превышает размер регулярного ежемесячного платежа. Шаровой платеж осуществляется либо через определенные интервалы, но чаще один раз в конце срока кредитования. Шаровые платежи наиболее часто встречаются в ипотеках, но могут иногда использоваться в автомобильных и потребительских кредитах.

В обмен на крупные шаровые платежи заемщик получает целый ряд преимуществ. Регулярные платежи по такому кредиту обычно предусматривают только проценты, поэтому на первых этапах заемщик будет тратить значительно меньше, чем при стандартных схемах погашения, которые предполагают постепенный возврат основной суммы кредита. Что еще более важно, для этого типа кредитов часто характерна более низкая фиксированная процентная ставка, что приводит в конечном итоге к меньшей переплате. Зачастую краткосрочный шаровой кредит (англ. Balloon Loan) может быть очень выгодным для некоторых заемщиков.

Шаровые платежи идеальны для людей с хорошим инвестиционным чутьем и способностями рационально управлять своими расходами. Освобождая капитал, который необходимо было бы направить на выплату более высоких платежей при стандартных схемах погашения, шаровые кредиты дают опытному инвестору возможность использовать высвобожденные средства. Такой кредит также выгоден для лиц, ожидающих значительные единовременные поступления на некоторый момент в будущем, например, получение наследства или выплата дивидендов. Независимо от источника происхождения, если текущий денежный поток заемщика не будущие крупные поступления, шаровой платеж может быть очень выгодным выбором.

2. Если ожидаемая доходность портфеля равна средневзвешенной ожидаемой доходности ценных бумаг, входящих в портфель, почему общий риск портфеля не равняется средневзвешенной стандартных отклонений ценных бумаг, входящих в портфель?

В процессе анализа доходности портфеля ценных бумаг используют абсолютные (доход) и относительные (доход-ность) показатели. Доход портфеля равняется сумме доходов, сгенерированных отдельными финансовыми инструментами, включенными в его состава. Доходность — это относительный показатель, который в общем случае вычисляют делением доходов на сумму инвестиции. Доходность портфеля ценных бумаг, в отличие от его риска, является адитивной величиной.

Средняя доходность портфеля (dp) определяется как средневзвешенная величина доходности ценных бумаг, которые входят в его состав:

.

где di — доходность i-й группы ценных бумаг; Wi — объем ценных бумаг i-й группы в портфеле; n — количество групп ценных бумаг в портфеле.

К группе принадлежат ценные бумаги эмитента одной эмиссии и вида в одном портфеле банка. Группа может состоять из одного или больше бумаг с одинаковыми характеристиками и свойствами.

Следует отличать фактическую доходность портфеля ценных бумаг и ожидаемую. Фактические доходы от операций с цен-ными бумагами определяются по данным учета и отчетности. Доходность портфеля ценных бумаг за период вычисляют де-лением суммы фактических доходов на среднюю сумму вложений в ценные бумаги за отчетный период.

Показатели фактической доходности могут служить ориентиром для выяснения целесообразности включения тех или других ценных бумаг к портфелю банка в будущему, но при условии относительной стабильности рынка. Очевидно, что анализ фактической доходности портфеля — процедура довольно простая, которая не нуждается в больших усилиях, а впрочем и не приносит ощутимой пользы банка. Намного более сложной проблемой является анализ ожидаемой доходности портфеля в процессе прогнозирования инвестиционной деятельности банка.

Как вытекает из формулы, для определения доходности всего портфеля следует вычислить доходность каждой отдель-ной группы финансовых инструментов в портфеле. В общем случае доходность ценных бумаг зависит от двух факторов:

• · ожидаемой нормы доходности;
• · норм и правил налогообложения доходов от операций с ценными бумагами.

Ценные бумаги имеют несколько характеристик:

• 1. рыночная цена (р),
• 2. внутренняя (теоретическая или расчетная) стоимость (v),
• 3. ставка (норма) доходности,
• 4. инвестиционный риск.

Рыночная цена ценной бумаги — это задекларированный показатель, который объективно существует на рынке и отобража-ется в соответствующих котировках ценной бумаги. Рыночная цена составляется под влиянием взаимодействия спроса и предложение и является индикатором инвестиционной привлекательности ценной бумаги. Очевидно, что в любой момент для определенной ценной бумаги на рынке существует лишь одна цена (в инструктивных документах НБУ в этом значении употребляется термин"рыночная стоимость ценной бумаги").

Внутренняя стоимость ценной бумаги — это расчетный показатель, а потому зависит от принятой аналитической модели, на базе которой проводятся исчисление. Благодаря этому в любой момент ценная бумага может иметь несколько значений внутренней стоимости, причем теоретически их количество равняется количеству участников рынка, которые проводят та-кой анализ. Итак, оценка внутренней стоимости содержит элемент субъективизма. Показатель теоретической стоимости ис-пользуется и в том случае, когда ценная бумага не оборачивается на рынке, итак и не имеет рыночной цены. В инструктив-ных документах НБУ внутренняя стоимость называется «расчетной рыночной стоимостью ценной бумаги». В дальнейшем будем употреблять сроки: (рыночная) цена и (внутренняя) стоимость ценной бумаги.

Рыночная цена и внутренняя стоимость часто не совпадают, ведь каждый инвестор имеет свои соображения относительно внутренней стоимости ценной бумаги, полагаясь на субъективные ожидания будущих доходов и на результаты собственного анализа. В процессе анализа соотношения рыночной цены и внутренней стоимости выясняется целесообразность тех или других управленческих решений относительно конкретной ценной бумаги. Если внутренняя стоимость ценной бумаги, рас-считанная потенциальным инвестором, высшая за текущую рыночную цену, то такой инструмент удобно в данный момент приобрести, поскольку он недооценен на рынке.

Когда же с точки зрения конкретного участника рыночная цена ценной бумаги высшая за его внутреннюю стоимость, то нет смысла покупать такой инструмент, поскольку его цена завышена. Однако такое соотношение цены и стоимости указывает на то, что сложилась ситуация для удобной продажи данной ценной бумаги, если он уже находится в портфеле инвестора. При условии, которое рыночное цены и внутренняя стоимость ценной бумаги совпадают, проведение операций спекулятив-ного характера (для получения дохода от разности между ценой продажи и купли) едва ли целесообразное.

3. Объясните, почему понятия «корреляция» и «диверсификация» тесно связаны между собой?

Чтобы измерить риск портфеля, нужно не только знать дисперсию доходов отдельных ценных бумаг, но и степень с которой доходы пар ценных бумаг колеблются вместе. Следовательно, необходима информация о ковариации или корреляции доходов каждой пары активов в портфеле.

Риск портфеля, измеряемый через дисперсию, рассчитывается как взвешенная сумма ковариация всех пар активов в портфеле, где каждая ковариация взвешена на произведение весов каждой пары соответствующих активов и дисперсия данного актива рассматривается как ковариация актива с самим собой.

Преимущества диверсификации происходят от включения в портфель активов, которые имеют низкие или даже отрицательные ковариации с другими активами портфеля, что снижает сумму ковариации и, следовательно, общий риск портфеля.

Так как ковариация — показатель связи, неограниченный по величине, то часто в качестве показателя связи используют коэффициент корреляции. Преимущество ранжирования пар активов по их коэффициентам корреляции заключается в предоставлении четкой системы включения активов, которые увеличивают преимущетсва диверсификации, и исключения тех, которые этого не делают.

4. Определите, в чем состоит разница между ожидаемой доходностью за период владения и доходностью к погашению.

Ожидаемая доходность ценной бумаги за период владения представляет собой отношение математического ожидания всех денежных поступлений, связанных с данной бумагой за данный период времени (при условии реинвестирования указанных денежных поступлений по предполагаемой процентной ставке), к текущему рыночному курсу ценной бумаги.

Вычислить доходность за период владения задним числом не так уж и сложно. Совсем другое дело — определить ее заблаговременно. Тут необходимо учитывать любую неопределенность, связанную с выплатами по ценной бумаге, осуществляемыми эмитентом в течение периода владения. Однако это, как правило, намного проще, чем вычислить рыночные стоимости в конце периода владения, которые нередко определяют большую долю совокупной доходности. К примеру, может показаться, что предсказать доходность на следующий год по акциям Xerox очень просто. Действительно, предсказать размеры выплачиваемых дивидендов зачастую сравнительно легко. Но стоимость в конце года будет зависеть от отношения инвесторов к данной компании и ее акциям к этому времени. Для того чтобы предсказать доходность даже за одногодичный период, придется рассмотреть период куда более длительный и определить не только будущее компании, но и будущее отношение инвесторов к ней, что крайне сложно.

Совершенно очевидно, что при определении доходности за период владения необходимо так или иначе учитывать фактор неопределенности. Если требуется одна-единственная оценка, то она должна удовлетворять вышеизложенным принципам. Несомненно, что ожидаемая величина должна быть получена при рассмотрении различных возможностей наряду с их вероятностями. Более конкретно, ожидаемая доходность за период владения ценной бумагой исчисляется как средневзвешенное возможных доходностей за период владения с использованием вероятностей в качестве весов.

Итак, для того чтобы определить стоимость ценной бумаги, необходимо оценить ожидаемую стоимость в конце периода владения и ожидаемую доходность за период владения, которая является подходящей для данной ценной бумаги.

5. Как изменяется эффективная траектория при введении в модель Марковица возможности получения и предоставления безрисковых займов? Объясните устно и с помощью графиков.

Теоретические построения Марковица построены на ряде предположений, часть из которых относится к условиям принятия инвестиционных решений — к свойствам фондового рынка, другая часть — к поведению инвестора.

Важнейшими из предположений первой группы являются следующие:

Рынок состоит из конечного числа бесконечно делимых ликвидных активов, доходности которых для заданного периода считаются случайными величинами (т.е. все активы — рисковые).

Существуют открытые и достоверные исторические данные о доходности активов, позволяющие инвестору, получить оценку ожидаемых (средних) значений доходностей и их попарных ковариаций.

Инвестор при совершении операций с фондовыми активами свободен от транзакционных издержек и налогов.

Инвестор может формировать любые допустимые (для данной модели) портфели, доходности которых являются также случайными величинами.

Относительно поведения инвестора выдвигаются две гипотезы — гипотеза ненасыщаемости и гипотеза несклонности к риску. Эти гипотезы означают, что:

Инвестор всегда предпочитает более высокий уровень благосостояния, то есть при одинаковых прочих условиях всегда выбирает актив (портфель активов) с большей доходностью.

Инвестор из двух активов с одинаковой доходностью обязательно предпочтет актив с меньшим риском.

Иными словами, инвестор соответствует модели рационального потребителя неоклассической теории полезности и может характеризоваться бесконечной совокупностью кривых безразличия в координатах риск-доходность, при этом любая кривая безразличия соответствует определенному уровню предпочтения (и поэтому не пересекается с другими) и является выпуклой вниз. Выпуклость вниз как раз и отражает несклонность к риску: за каждую единицу возрастания риска инвестор требует опережающего роста доходности (премии за риск). Считается, что адекватным описанием предпочтения инвестора является предложенная М. Рубинштейном [12] функция полезности вида:

.

где — индивидуальный для каждого инвестора параметр предпочтения между риском и доходностью.

На следующем рисунке представлены по две кривые безразличия двух инвесторов, по степени выпуклости кривых можно сказать, что первый из них более склонен к избежанию риска, чем второй. Кривая, лежащая выше и левей, соответствует большей величине полезности множества равнозначных портфелей, представленных этой кривой.

Влияние теории Марковица значительно усилилось после появления в конце 50-х годов работ Тобина по аналогичной тематике, но имеющих другой подход. В работах Тобина основной темой становится анализ факторов, побуждающих инвесторов формировать портфели активов вместо держания капитала в какой-то одной форме (например, налично-денежной). Поэтому Тобин включил в анализ безрисковые активы и главной задачей и в теории, и на практике считал оптимальное распределение капитала между безрисковыми и рисковыми вложениями.

Если инвестор распределил капитал между безрисковыми и рисковыми активами в пропорциях: — в безрисковые,.

в рисковые, то ожидаемая доходность его капитала (портфеля) определяется:

(2.9).

где — доходность безрисковой, а — ожидаемая доходность рисковой части портфеля.

Риск такого портфеля определяется только его рисковой частью:

(2.10).

где — дисперсия доходности рисковой части портфеля.

Используя (2.9) и (2.10), после исключения получаем:

. (2.11).

(2.11) показывает линейную зависимость доходности портфеля сверх гарантированного значения и риска портфеля.

Поведение инвестора, формирующего оптимальный портфель из рисковой и безрисковой частей, удобно представить графически на плоскости — рис. 2.5.

Если инвестору даны только один рисковый и один безрисковый актив, то все варианты распределения капитала в соответствии с (2.11) отображаются отрезком прямой линии (рис. 2.5). Точка соответствует вложению всего капитала в безрисковый актив при, точка — вложению только в рисковый актив при. Все промежуточные варианты соответствуют внутренним точкам отрезка, а возможность заимствования средств (по безрисковой ставке) с их вложением в рисковый актив соответствует продолжению прямой вправо при .

Характер зависимости не изменится, если считать, что рисковым активом является какой-то портфель рисковых ценных бумаг. Ниже представлен эффективный фронт некоторой совокупности рисковых ценных бумаг, из точек которого инвестор выбирает оптимальный портфель в соответствии со своей склонностью к риску и без учета возможности безрискового инвестирования. Рассмотрим две точки, А и С на этом эффективном фронте по Марковицу, но с учетом возможности безрискового вложения. Пусть оптимальному портфелю инвестора, составленному только из рисковых активов, соответствовала точка А. Перераспределение средств в пользу безрискового актива, но с сохранением структуры рисковой части вызовет, как и ранее, перемещение местоположения портфеля влево по отрезку АR. Но очевидно, что ни сама точка А, ни отрезок АR не представляют более эффективные портфели, поскольку можно составить портфель с тем же уровнем риска, но более доходный, используя комбинацию безрискового актива и рисковой части, имеющей структуру портфеля С (на рис. 2.6 портфель A' предпочтительнее А, поскольку при одинаковом).

• 2. Задание № 2
• 1. Товар приобретается с частичной оплатой цены (первый взнос) на условиях потребительского кредита и равномерного погашения для оставшейся части стоимости. Реальная доходность этой ссудной операции для кредитора, определяемая ставкой сложного процента, зависит от величины первого взноса. ВЕРНО — чем больше сумма первоначального взноса, тем меньше сумма потребительского кредита.
• 2. Финансовая математика — это род деятельности, состоящий в решении математических задач за деньги. НЕВЕРНО — Финансовая математика — раздел прикладной математики, имеющий дело с математическими задачами, связанными с финансовыми расчётами.
• 3. Компания выпускает акции, чтобы привлечь средства для реализации инновационного проекта. Государство дает гарантию, что через Т лет, необходимых для реализации проекта, оно выкупит при желании акционеров эти акции по цене, равной средней цене размещения, с учетом накопленных процентов на основе процентной ставки по государственным облигациям аналогичной длительности. Данный механизм допускает описание в терминах опциона «пут», надписателем которого является государство, а держателем — акционер. НЕВЕРНО — Опционы на продажу (опционы «пут»), по условиям которых владелец опциона имеет право продать актив по оговоренной цене лицу, выписавшему опцион. В свою очередь, продавец опциона обязан купить этот актив, если владелец опциона предъявляет контракт для урегулирования.
• 4. Степень риска хорошо диверсифицированного портфеля с бетой, равной 2,0 в два раза выше степени риска рыночного портфеля. ВЕРНО.
• 5. Если бы акции имели полную положительную корреляцию, диверсификация не могла бы снизить риск. ВЕРНО -, для снижения рисков портфеля акций в него необходимо включать активы с нулевой или отрицательной взаимной корреляцией.
• 6. НЕВЕРНО — Инвесторы предпочитают диверсифицированные компании, так как они подвержены меньшему риску.
• 7. Согласно правилу оценки долгосрочных активов, если бы вы могли найти инвестиции с отрицательной «бетой», то их ожидаемая доходность была бы меньше процентной ставки. ВЕРНО — Ожидаемая доходность инвестиций с отрицательной бетой ниже безрисковой процентной ставки.
• 8. Ожидаемая доходность инвестиций с «бетой», равной 2,0, в два раза выше, чем ожидаемая рыночная доходность. ВЕРНО — ожидаемая премия за риск инвестиций с бетой, равной 2,0, в два раза превышает ожидаемую премию за рыночный риск: Ожидаемая премия за риск акций = бета * ожидаемая премия за рыночный риск.
• 9. Если акции расположены ниже линии рынка ценных бумаг, то цена их занижена. НЕВЕРНО — ожидаемая доходность акции, находящийся ниже уровня линии рынка ценных бумаг больше, чем того требует рынок при данном уровне риска. следовательно цена ее завышена.
• 10. ВЕРНО. Платеж, скорректированный с учетом риска (детерминированный эквивалент), всегда меньше прогнозируемого рискового платежа.
• 3. Задание № 3

Разработка планов погашения кредитов

Восточный экспресс банк предоставляет кредит на покупку готового жилья в сумме 4,2 млн руб. с ежемесячным погашением равными платежами. Срок предоставления кредита 15 лет, годовая процентная ставка 12,45%. Платежи вносятся в конце каждого месяца.

Рассмотрим таблицу с приведенным решенем задачи: План погашения кредита Таблица 1.

Величина платежа (CF)= 51 629,34р. Общее число выплат (mn)= 180

Таблица 2.