Непрерывные случайные величины

Задача 1. Плотность распределения непрерывной случайной величины имеет вид:

Определить константу C, построить функцию распределения F (x) и вычислить вероятность .

Решение. Константа C находится из условия.

В результате имеем:

откуда C=3/8.

Чтобы построить функцию распределения F (x), отметим, что интервал [0,2] делит область значений аргумента x (числовую ось) на три части: Рассмотрим каждый из этих интервалов. В первом случае (когда x<0) вероятность события (.

так как плотность на полуоси равна нулю. Во втором случае.

Наконец, в последнем случае, когда x>2,.

так как плотность обращается в нуль на полуоси .

Итак, получена функция распределения.

Следовательно,.

Задача 2. Для случайной величины из задачи 1 вычислить математическое ожидание и дисперсию.

Решение.

Далее,.

и значит,.

Задача 3. Пусть задана случайная величина. Вычислить вероятность .

Решение. Здесь и. Согласно указанной выше формуле, получаем:

Функции от случайных величин. Формула свертки

Задача 1. Случайная величина равномерно распределена на отрезке [0, 2]. Найти плотность случайной величины .

Решение.

Из условия задачи следует, что.

Далее, функция является монотонной и дифференцируемой функцией на отрезке [0, 2] и имеет обратную функцию, производная которой равна Кроме того,,. Следовательно,.

Значит,.

Задача 2. Пусть двумерный случайный вектор (,) равномерно распределен внутри треугольника. Вычислить вероятность неравенства >.

Решение. Площадь указанного треугольника равна (см. рис. 7.1). В силу определения двумерного равномерного распределения совместная плотность случайных величин, равна.

Событие соответствует множеству на плоскости, т. е. полуплоскости. Тогда вероятность.

Рис. 7.1.

На полуплоскости B совместная плотность равна нулю вне множества и ½ — внутри множества. Таким образом, полуплоскость B разбивается на два множества: и. Следовательно, двойной интеграл по множеству B представляется в виде суммы интегралов по множествам и, причем второй интеграл равен нулю, так как там совместная плотность равна нулю. Поэтому.

.

Если задана совместная плотность распределения случайной пары (,), то плотности и составляющих и называются частными плотностями и вычисляются по формулам:

Для непрерывно распределенных случайных величин с плотностями р (х), р (у) независимость означает, что при любых х и у выполнено равенство.

.

Задача 3. В условиях предыдущей задачи определить, независимы ли составляющие случайного вектора и .

Решение. Вычислим частные плотности и. Имеем:

Аналогично,.

Очевидно, что в нашем случае, и потому случайные величины и зависимы.

Числовые характеристики для случайного вектора (,) можно вычислять с помощью следующей общей формулы. Пусть — совместная плотность величин и, а (х, у) — функция двух аргументов, тогда.

.

В частности,.

Задача 4. В условиях предыдущей задачи вычислить .

Решение. Согласно указанной выше формуле имеем:

.

Представив треугольник в виде.

,

двойной интеграл можно вычислить как повторный:

Задача 5. Пусть и — независимые случайные величины, распределенные по показательному закону с параметром. Вычислить плотность суммы .

Решение. Поскольку и распределены по показательному закону с параметром, то их плотности равны.

Следовательно, Поэтому.

Если x<0, то в этой формуле аргумент функции отрицателен, и поэтому. Следовательно, Если же, то имеем:

Таким образом, мы получили ответ:

Задача 6. Двумерный случайный вектор (,) равномерно распределен внутри треугольника. Найти условное распределение при условии =y и функцию регрессии _|(y).

Решение. Как было показано ранее (см. задачи 2 и 3),.

и.

Поделив первую плотность на вторую, получаем условную плотность:

Таким образом, речь идет о равномерном распределении на промежутке (0, 2-y). Функцию регрессии вычисляем как математическое ожидание равномерного распределения. Получаем _|(y)=(2-y)/2, 0.