Введение. 
Квантовая физика и неколмогоровские теории вероятностей

Современная аксиоматика теории вероятностей была предложена Андреем Николаевичем Колмогоровым в 1933 году. Эта аксиоматика формализует подход к вероятности на основе теории меры. Основное преимущество колмогоровского вероятностного формализма это высокий уровень абстракции. Использование абстрактных вероятностных пространств дает возможность развить вероятностное исчисление, it котором структуры конкретных пространств элементарных событий нс играют никакой роли. Колмогоровский вероятностный формализм успешно развивался и развивается в различных направлениях. В настоящее время он является математической основой для многих вероятностных моделей в физике, технике, биологии, финансах. Всё замечательно в теории вероятностей Колмогорова, за исключением одного темного облака, скрывающего горизонт.

Этим облаком является вероятностная основа квантовой механики. Оно (облако) было замечено А. Эйнштейном, Б. Подольским и Н. Розеном (ЭПР) в 1935 году (через два года после создания аксиоматики теории вероятностей). А. Эйнштейн, Б. Подольский и Н. Розен начали дискуссию о полноте квантовой механики (возможности описания всей физической реальности с помощью формализма квантовой механики). На самом деле, задача о полноте имеет близкую связь с основами теории вероятностей. А. Эйнштейн, Б. Подольский, Н. Розен предложили несколько аргументов, которые могут быть интерпретированы как доказательства неполноты квантовой механики. Последующее обсуждение, основанное на вышеупомянутых аргументах, продемонстрировало, что квантовая механика имеет достаточно зыбкие основания. Часто аргументы Эйнштейна, Подольского, Розена (ЭПР) рассматривались даже как парадокс в основаниях квантовой механики. На первом этапе вероятностные корни ЭПР-парадокса были нс так очевидны. Никто нс пы тался связать парадокс в основаниях квантовой механики с основаниями теории вероятностей. Первая попытка найти вероятностное представление для ЭРП-аргументов была предпринята Дж. Беллом, который получил в 1964 году известное неравенство (Белла) для ковариаций физических наблюдаемых в ЭПР-экспсриментс. Темное квантовое облако стапо достаточно большим. Прекрасная идея о единственности и всеобщности теории вероятностей оказалась под угрозой. Однако в 1964 году ничего нс случилось. Болес того, ничего нс произошло в последующие тридцать лет. И кажется, ничего не случится с колмогоровской теорией вероятностей и в наше время.

Всемирное сообщество последователей Колмогорова по-прежнему работает в стандартном формализме теории меры. Математики не обращают внимания на квантовое облако. С другой стороны, большая часть физиков наблюдает за этим облаком. Однако, они не понимают скрытую вероятностную структуру этого облака. Некоторые из них поддерживают идею краха реализма. Они считают, что невозможно использовать реализм в квантовых рассуждениях. А если нет реальности вообще, то они и нс боятся нереального облака. Другие физики придерживаются идеи нелокалъности. Они полагают, что физическая реальность нелокальна. Таким образом, делая некоторые измерения для квантовой системы в Москве, мы изменяем квантовое состояние коррелированной квантовой системы, находящейся во Владивостоке. Сторонники нелокальности также не замечают черного облака: это облако рассеяно повсюду и, следовательно, такое облако не может вызвать грозу.

Эта довольно странная ситуация обусловлена рядом причин, научных и социальных. Одна из них — чисто психологическая. Математики не интересуются квантовой физикой (в основном потому, что они не знают оснований квантовой теории). Физики не интересуются основами теории вероятностей (в основном потому, что они знают нс так уж много даже о стандартном подходе Колмогорова). В принципе, даже Дж. Белл в 1964 году не обратил внимания на то, что неравенство Белла связано нс только с такими свойствами физических наблюдаемых, как реализм и локальность, но также и со способом их вероятностного описания. Неравенство Белла не рассматривалось и не рассматривается как сигнал к пересмотру оснований теории вероятностей. В противоположность геометрии, теория вероятностей нс трансформировалась в гибкий формализм, содержащий ряд вероятностных моделей, которые могли бы быть использованы для описаний различных физических явлений. Вероятностная теория все еще жесткая структура. Эту структуру можно сравнить с жестким евклидовым кубом. Попытки использовать единственную колмогоровскую модель для описания всех физических явлений можно сравнить с попытками представить все геометрические модели евклидовыми кубами. Однако, геометрическая действительность не ограничивается действительностью кубов, также как и теория вероятностей не ограничивается реальностью колмогоровских вероятностных пространств.

В этой книге показано, что ‘патологическое поведение' квантовых вероятностей связано с использованием колмогоровского подхода. Высокий уровень абстракции не дает возможности контролировать связь между вероятностями и статистическими ансамблями или случайными последовательностями (коллективами). Формальные манипуляции с абстрактными колмогоровскими вероятностями порождают таких монстров, как неравенство Белла.

Первые попытки свести парадокс ЭПР к использованию одной конкретной вероятностной модели, а именно, колмогоровской модели, были предприняты в работах Л. Аккарди и И. Литовского. Л. Аккарди предлагал формальную неколмогоровскую модель, которая не содержит формулы Байеса. И. Литовский предлагал рассматривать события, которые описывались неизмеримыми множествами. Этот формализм был существенно улучшен С. Гуддером, который развил теорию вероятностных многообразий. Основной недостаток всех этих моделей это то, что они имеют ещё более высокий уровень абстракции, чем модель Колмогорова. Таким образом, они только обеспечивают новое математическое описание квантовых явлений. Они не могут выявить вероятностные корни квантового поведения. Тоже самое можно сказать о так называемых квантовых вероятностях. Безусловно, квантово-вероятностное исчисление дает полезное и убедительное описание квантовых явлений. Однако, квантовая вероятность не имеет прямой связи с вероятностью. Это скорее спекулятивное использование слова ‘вероятность' в некоторых формальных математических конструкциях.

В этой книге мы объясняем квантово-вероятностное поведение, используя два основных понятия теории вероятностей: ансамбль и частота. Мы покажем, что (несмотря на общее мнение) ансамбль-час го гныс вероятностные модели, вообще говоря, нс эквививалентны колмогоровской модели.

Частотная модель — эго теория фон Мизеса о коллективах (случай;

пых последовательностях, 1919 год). В этой модели вероятности определяются как пределы относительных частот, */^r = n/N, в коллективе х. Эта модель интенсивно изучалась в теории вероятностей с целью найти разумное определение случайной последовательности (алгоритмическая сложность по Колмогорову и теория статистических тестов МаргинЛёфа). Бытует мнение, что частотные вероятности можно свести к колмогоровским вероятностям. Мы объясним (используя оригинальные доводы Р. фон Мизсса), что такая точка зрения абсолютно не верна. В частности, закон больших чисел не описывает статистической стабилизации относительных частот, — n/N, в коллективе .г. Будет показано, что частотная вероятностная модель имеет много особенностей, резко отличающихся от колмогоровской модели. Наиболее важной чертой частотной вероятности является зависимость вероятностей от коллективов х. В частности, внимательный контроль за такой зависимостью даёт возможность исключить неравенство Белла из рассмотрений. Частотная модель также отличается от колмогоровской в подходе к условным вероятностям и независимости. Такое отличие также играет важную роль в квантовых рассмотрениях.

Ансамбль-модель, также как и частотная модель, одна из основных ‘доколмогоровских' моделей. Например, хороню известная теорема Бернулли является, на самом деле, теоремой для ансамбль-вероятностей. Общие предположения, что определение ансамбль-вероятности (как отношение на ансамбле) является только частным случаем колмогоровского теоретико-вероятностного определения не верны. Ансамбль-вероятностную модель нельзя свести к колмогоровской. Наиболее важная черта ансамбль-вероятностей — это зависимость от ансамбля. В частности, внимательный контроль за такой зависимостью даёт возможность исключить неравенство Белла из рассмотрений. Невозможно использовать колмогоровский подход на основе теории меры для описания ансамбльвероятностей бесконечных ансамблей. По сути, колмогоровские меры не являются пропорциональными распределениями свойств ансамблей физических систем. Для того, чтобы получить адекватное математическое описание ансамбль-вероятностей (пропорциональных вероятностей) для бесконечных ансамблей мы должны оставить область колмогоровской вероятностной модели и, более того, область действительного анализа. Мы должны использовать числовые системы, которые содержат актуальные бесконечности. В этой книге мы используем системы так называемых р- адических чисел Q_;> (где р — простое число) для описания некоторых бесконечных статистических ансамблей (Q, содержит актуальные бесконечности).

Происхождение р-адических ансамбль-вероятностей иллюстрируется следующим примером. Пусть S бесконечный ансамбль шаров. Каждый шар окрашен в некоторый цвет с € С = {0,1,2,…} (счётная система цветов). Ансамбль S имеет следующую цветовую структуру: имеются щ = 2^к шаров цвета к € С в S. ¹ Объём⁷ N = S ансамбля S может быть легко найден по формуле:

Естественно, этот ряд расходится в поле действительных чисел R. Но он сходится в поле 2-адических чисел Q2. Сумму этого ряда в Q2 можно найти, используя обыкновенную формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии (т.к. 2^к —> 0, к —" оо, в Q>) :

Теперь мы можем найти отношение числа шаров цвета к € С в ансамбле 5:

Заметим, что щ = 2^к — конечное число N = — 1 — бесконечное число, а вероятность P.s{k) — бесконечно малая вероятность. И такая вероятность представляется отрицательным числом. Этот подход порождает математическую теорию отрицательных вероятностей.

Фактически, отрицательные вероятности — другое облако на горизонте теории вероятностей Колмогорова. Отрицательные вероятности (которые не могут быть объяснены колмогоровской моделью) возникают со странным постоянством практически во всех квантовых моделях. Наиболее известные из них — это распределение Вигнера на фазовом пространстве и отрицательные вероятностные распределения Дирака в формализме релятивистского квантования. Такие ‘распределения вероятностей⁷ рассматриваются как монстры квантовой теории. Например, физики всегда подчёркивают, что распределение Вигнера не является действительно распределением вероятностей. В то же время они продолжают использовать его для описания вероятностных явлений. В настоящей книге отрицательные вероятности (в частности, распределение Вигнера) реализованы как вероятности по отношению к бесконечно большому статистическому ансамблю. В большом числе физических моделей эти вероятности интерпретируются как бесконечно малые вероятности. Отрицательные вероятности также могут быть получены в частотном подходе как пределы относительных частот, i/дг = n/N, в некоторой топологии на множестве рациональных чисел Q. которая отличается от стандартной топологии действительных чисел (а частоты i/дг = n/N всегда принадлежат Q). Например, в р-адичсской топологии вероятность Р = — 1 можно получить как предел частот:

В частотном подходе присутствие отрицательных вероятностей связано с нарушением принципа статистической стабилизации для относительных частот в топологии действительных чисел. Отрицательные частотные вероятности могут также возникнуть, благодаря р-адическому расщеплению колмогоровской вероятности Р = 0. В последнем случае отрицательные вероятности можно снова трактовать как бесконечно малые вероятности.

Последняя глава книги носит чисто математический характер. Там мы развиваем р-адический аналог теории статистических тестов Мартин-Лёфа (нахождение р-адического аналога случайной последовательности). р-адическая теория сильно отличается от вещественной. Не существует универсального статистического теста (по крайней мере для равномерного р-адического вероятностного распределения). В этом смысле р-адическая теория случайности похожа на теорию Шнорра для колмогоровских вероятностей. Мы также получили большой класс предельных теорем для р-адических вероятностей. В частности, эти предельные теоремы можно применять к отрицательным вероятностям. Заметим, что впервые предельная теорема для отрицательных вероятностей была доказана М. Барнеттом в 1944 году.

Основные выводы данной книги:

• 1. Колмогоровская теория вероятностей (подход на основе теории меры) — только одна из многих вероятностных моделей.
• 2. Две фундаментальные интерпретации вероятности, а именно, ансамбль и частотная интерпретации, могут быть использованы как основа для различных неколмогоровских моделей.
• 3. Чётко определены на строгом математическом уровне отрицательные вероятности.
• 4. Патологическое (или неклассическое) поведение ‘квантовых вероятностей' (а, точнее, неравенство Белла) является следствием формального использования колмогоровской вероятностной модели.
• 5. Неравенство Белла не может быть использовано как аргумент против локальности или реализма. В принципе, физическая реальность может быть нелокальна или необъективна. Однако, неравенство Белла не имеет ничего общего с этими проблемами. Нужны новые методы для проверки, например, квантовой нелокальности.
• 6. Корректно определено распределение Вигнера в рамках теории ансамблей и частотной теории.
• 7. С точки зрения частотной теории неколмогоровское вероятностное поведение связано с нарушением закона больших чисел.
• 8. С точки зрения теории ансамблей неколмогоровское вероятностное поведение есть следствие использования ансамблей бесконечно большого ‘объёма'. Не существует статистичекой воспроизводимости свойств для конечных приближений этих бесконечных ансамблей.

Пользуясь случаем, я хочу выразить мою глубокую благодарность Л. Аккарди, С. Альбеверио, X. Антманшпахеру, Л. Валентайну, В. дс Мюнку, X. Рауху, О. Смолянову, Дж. Сумхаммеру за плодотворные обсуждения.

Вэкшё—Клермонт-Ферранд Токио—Москва—Севастополь, 1998;2001.

This book was published under the financial support of «Internetional center for Mathematical Modeling», University of Vaxjo.