Циклоида. 
Свойства замечательных кривых

Приложим к нижнему краю классной доски линейку и будем катить по ней обруч или круг (картонный или деревянный), прижимая его к линейке и к доске. Если прикрепить к обручу или кругу кусок мела (в точке соприкосновения его с линейкой), то мел будет вычерчивать кривую (рис. 37), называемую циклоидой (что по-гречески значит «кругообразная»). Одному обороту обруча соответствует одна «арка» циклоиды MM’M''N', если обруч будет катиться дальше, то будут получаться еще и еще арки той же циклоиды.

Чтобы построить на бумаге приближенно одну арку циклоиды, описанную при качении обруча диаметром, равным, например, трем сантиметрам, отложим на прямой отрезок, равный 3×3,14 = 9,42 см.

.Получим отрезок, длина которого равна длине обода обруча, т. е. длине окружности диаметром в три сантиметра. Разделим далее этот отрезок на некоторое число равных частей, например на 6, и для каждой точки деления изобразим наш обруч в том его положении, когда он опирается именно на данную точку (рис. 38), занумеровав эти положения цифрами:

О, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Чтобы перейти из одного положения в соседнее, обруч должен повернуться на одну шестую полного оборота так как расстояние между соседними точками деления равно шестой части окружности). Поэтому если в положении 0 мел будет находиться в точке М₀, то в положении 1 он будет лежать в точке M₁ — на одной шестой окружности от точки касания, в положении 2 — в точке М₂ — на две шестых от точки касания и т. д. Чтобы получить точки M₁, M₂, М₃ и т. д., нужно лишь производить засечки соответствующей окружности, начиная от точки касания, радиусом, равным.

1,5 см, причем в положении 1 нужна одна засечка, в положении 2 — две засечки, выполненные одна за другой, в положении 3 — три засечки и т. д. Теперь для вычерчивания циклоиды остается соединить точки.

М0, M1, М2, М3, M4, M5, M6 плавной кривой (на глаз). Циклоида Циклоида (от греч. кхклпейдЮт — круглый) — плоская трансцендентная кривая. Циклоида определяется кинематической как траектория фиксированной точки производящей окружности радиуса r, катящейся без скольжения по прямой.

Свойства:

• · Циклоида — периодическая функция по оси абсцисс, с периодом 2рr. За границы периода удобно принять особые точки (точки возврата) вида t = 2рk, где k — произвольное целое число.
• · Для проведения касательной к циклоиде в произвольной её точке A достаточно соединить эту точку с верхней точкой производящей окружности. Соединив A с нижней точкой производящей окружности, мы получим нормаль.
• · Длина арки циклоиды равна 8r. Это свойство открыл Кристофер Рен (1658).
• · Площадь под каждой аркой циклоиды втрое больше, чем площадь порождающего круга. Торричелли уверяет, что этот факт был открыт Галилеем.
• · Радиус кривизны у первой арки циклоиды равен

.

• · «Перевёрнутая» циклоида является кривой скорейшего спуска (брахистохроной). Более того, она имеет также свойство таутохронности: тяжёлое тело, помещённое в любую точку арки циклоиды, достигает горизонтали за одно и то же время.
• · Период колебаний материальной точки, скользящей по перевёрнутой циклоиде, не зависит от амплитуды, этот факт был использован Гюйгенсом для создания точных механических часов.
• · Эволюта циклоиды является циклоидой, конгруэнтной исходной, а именно — параллельно сдвинутой так, что вершины переходят в «острия».