Исследование свойств модельных гамильтонианов в теории конденсированных сред

Актуальной задачей современной теоретической физики является исследование свойств квантовых упорядоченных систем большого числа частиц. Одной из важнейших характеристик таких систем, проявляющихся во всех взаимодействиях, являются спиновые флуктуации или неравновесные спиновые волны, в спектре которых обнаруживаются особенности взаимодействия других мод — фононов, электронов. Таким образом, спектр спиновых флукгуаций дает возможность находить особенности коллективных, сильно коррелированных взаимодействующих мод и определять свойства микроскопических параметров веществ.

Отдельным непреходящим интересом для исследования конденсированного состояния вещества является развитие и применение методов квантовой теории поля, ренорм-группового разложения, а также контурного функционального интегрирования.

Особенно актуальным является обобщение метода компенсаций опасных диаграмм Н. Н. Боголюбова для квазичастиц, представляющих собой кванты связанных колебаний ионов решетки со спиновыми флуктуациями, а также развитие и применение метода канонического «и-v» преобразования Боголюбова в случае спин-электрон-фононного взаимодействия.

Широко известный метод компенсации «опасных» диаграмм, созданный Н. Н. Боголюбовым в 1957 г., позволил дать строгое математическое обоснование феноменологических предпосылок предшествующих теорий сверхпроводимости, а также привел к появлению важной концепции коллективных электронных возбуждений, описываемых посредством канонического преобразования электронных операторов. Каноническое преобразование в данном случае определяет коллективное фермионное возбуждение как квазичастицу.

Для получения характерных результатов теории сверхпроводимости оказалось достаточным компенсировать «опасные» диаграммы, соответствующие рождению из вакуума двух электронных возбуждений с противоположными импульсами и спинами, т. е. «опасные» электронные бивершины. При этом использовался модельный гамильтониан Фрёлиха, содержащий электрон-фононное взаимодействие второго порядка по фермионным операторам. Таюке Н. Н. Боголюбовым было показано, что представление о коллективных электронных возбуждениях как куперовских парах является концептуально важным первым приближением, но оно не может быть абсолютизировано, и, вообще говоря, мы имеем дело с коллективными возбуждениями всего электронного конденсата как целостной системы.

С математической точки зрения этот вывод приводит нас к обобщению канонического преобразования электронных операторов. А именно, обобщенное каноническое преобразование должно обеспечивать возможность совместной компенсации «опасных» электронных диаграмм, соответствующих рождению из вакуума не только двух (бивершины), но таюке и четырех (тетравершины), шести (гексавершины) и т. д. фермионных возбуждений с попарно противоположными спинами и нулевым суммарным импульсом.

Дальнейшие исследования показывают наличие эффективного усиления входящей в гамильтониан Фрёлиха константы электрон-фоношгой связи и указывают на особую роль четырехфермионных процессов в магнитных системах.

Результаты диссертации имеют фундаментальный характер и дают ответ на ряд важных теоретических и экспериментальных проблем. Особенно актуальным является исследование гамильтониана Фрёлиха, дополненного электрон-бозонным взаимодействием четвертого порядка по фермионным операторам. Обусловленная четырехфермионными взаимодействиями модификация уравнения компенсации бивершин свидетельствует о потеницальной возможности эффективного усиления входящий в гамильтониан Фрёлиха константы электрон-бозонной связи и увеличения энергетической щели. На основе выполненного численного исследования полученной системы уравнений обнаружено значительное увеличение энергетической щели по сравнению с аналогичным результатом в модели Фрёлиха.

В диссертации с помощью математического аппарата нелинейных дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и топологии, ренормализационной группы и s — разложения математически строго исследована спин-волновая динамика коллективных взаимодействий магнитных систем. Целью диссертации является:

• Обобщение метода компенсации опасных диаграмм Н. Н. Боголюбова для квазичастиц, представляющих собой кванты связанных колебаний ионов решетки со спиновыми флукгуациями.

• Исследование возможности магнитоупругого, эффективного электрон-фононного взаимодействий в бозонных системах.

• Обобщение метода канонического «и-v» преобразования Боголюбова в случае спин-электрон-фононного взаимодействия.

• Исследование эффективного параметра электрон-фононного взаимодействия на основе обобщенного преобразования Н. Н. Боголюбова.

• Исследование усиления электрон-фононного, электрон-магнонного взаимодействий параметром обменного взаимодействия в магнитных системах с кристаллической структурой перовскита.

• Определение коэффициентов магнон-фононной связи и спектра нормальных мод магнонов.

• Исследование нелинейных явлений в ядерных системах во внешних магнитных полях.

В первой главе диссертации исследуется обменное взаимодействие полей электронной намагниченности, т. е. магнитных моментов электронов проводимости. По своей природе такое взаимодействие является диполь-дипольным и существенно дополняет подробно изученное в моделях сверхпроводимости взаимодействие типа монополь-монополь, например, между электронами проводимости и ионами кристаллической решетки, последнее учитывает, в частности, модель Фрслиха.

Плотность магнитных диполей — электронная намагниченность — пропорциональна плотности электронов с фиксированным равновесным направлением спина, поэтому обменное взаимодействие между полями электронной намагниченности в сочетании со спин-фононными (бозонными) возбуждениями порождает в сверхпроводящей системе электрон-бозонную связь четвертого порядка по фермионным операторам. Бозонный спектр системы составляют при этом нормальные моды связанных фонон-магнонных колебаний.

Таким образом, в первой главе обобщенный метод компенсации «опасных» диаграмм применяется для определения характеристик сверхпроводящей системы, описываемой гамильтонианом, содержащим как гамильтониан Фрёлиха, так и вышеу помянутое электрон-бозонное взаимодействие четвертого порядка по фермионным операторам. Это задача совместной компенсации «опасных» электронных диаграмм, соответствующих рождению из вакуума двух (бивершины) и четырех (тетравершины) фермионных возбуждений. В дальнейшем изложении будем для краткости говорить о совместной компенсации бивершин и тетравершин, подразумевая, что это «опасные» — приводящие к расходимостям в теории возмущений — квазичастичные электронные вершины.

Условие совместной компенсации «опасных» электронных бивершин и тетравершин представляет собой систему связанных нелинейных интегральных уравнений. Условие компенсации «опасных» тетравершин показывает, что поведение фермионной пары может быть описано как квазибозон, то есть пара фермионов с согласованными спинами оказывается не эквивалентна настоящему бозону.

Линеаризация условия компенсации «опасных» тетравершин приводит к неоднородному уравнению Фредгольма 2-ого рода, для которого может не выполняться условие теоремы о существовании непрерывного спектра.

Последнее обстоятельство приводит в действие теоремы Фредгольма о неоднородных интегральных уравнениях, что с физической точки зрения указывает на возможность резонансных явлений в исследуемой системе.

Возможность резонанса очень важна, так как увеличение амплитуды решения уравнения компенсации тетравершин непосредственно связано с эффективным усилением в гамильтониане Фрёлиха константы электрон-бозонной связи.

Постановка задачи совместной компенсации «опасных» электронных бивершин и тетравершин приводит к возникновению нового класса нелинейных интегральных уравнений и конкретной реализации обобщенного канонического преобразования Боголюбова. Решение полученной системы уравнений позволяет сделать вывод о значимости обменных диполь-дипольных взаимодействий для магнитных сверхпроводящих систем.

Выбранная модель на основе метода Н. Н. Боголюбова раскрывает не только известное разрушительное, но и возможное созидательное влияние магнонов (спиновых волн) на сверхпроводящее состояние.

Проведенное же численное исследование полученной системы уравнений показывает, что учет тетравершин приводит к повышению точности асимптотического решения уравнения компенсации бивершин и вызывает эффективное усиление входящей в гамильтониан Фрёлиха константы электрон-бозонной связи. При этом возрастает энергетическая (сверхпроводящая) щель, а, следовательно, и критическая температура Тс.

Во второй главе диссертации рассматривается калибровочная модель в теории сверхпроводимости. Данная модель описывает динамическую систему многих частиц, находящуюся во внешнем постоянном поле векторного (электромагнитного) потенциала. Гамильтониан исследуемой динамической системы моделирует сверхпроводящий антиферромагнетик и содержит электрон-бозонные взаимодействия второго (гамильтониан Фрёлиха) и четвертого (обменное взаимодействие) порядков по электронным операторам. Предложенный гамильтониан учитывает взаимодействие магнитных моментов электронов проводимости. Бозонный спектр системы составляют нормальные моды связанных фонон-магнонных колебаний.

Неоднократно проводились исследования с целью выявления каких-либо возможностей того, что влияние магнонов способствует образованию сверхпроводимости. Интерес к проблеме усиливался в связи с открытием широкого класса кристаллических соединений, обладающих магнитной подсистемой.

Для того чтобы выяснить, какова действительная роль магнонного спектра в образовании конденсата и при каких условиях эта роль будет положительна, в пятой главе на основе метода Боголюбова в теории сверхпроводимости исследуется фермион-бозонная система многих частиц.

Модельный гамильтониан Фрёлиха, лежащий в основе предложенного подхода, содержит электрон-фононное взаимодействие второго порядка по фермионным операторам. Если в исследуемой фермион-бозонной системе преобладает магнонный спектр, то в гамильтониане Фрёлиха мы будем иметь не сумму, как это имело место для фононного спектра, а разность электронных плотностей с различными равновесными направлениями спинов.

Гамильтониан Фрёлиха учитывает только взаимодействие бозонных возбуждений с суммарной плотностью электронов проводимости. Таким образом, из двух фундаментальных свойств электрона (заряда и связанного со спином магнитного момента) модель Фрёлиха учитывает только одно свойство — наличие заряда. Магнитная система при этом из рассмотрения исключается.

Для того чтобы учесть магнитный момент электрона, необходимо дополнить модель Фрёлиха электрон-бозонным взаимодействием четвертого порядка по фермионным операторам, что будет соответствовать взаимодействию полей электронной намагниченности. Плотность магнитных моментов — электронная намагниченность — пропорциональна плотности электронов с фиксированным равновесным направлением спина. Поэтому обменное взаимодействие между полями электронной намагниченности в сочетании с фонон-магнонными (бозонными) возбуждениями порождает в сверхпроводящей системе электрон-бозонную связь четвертого порядка по фермионным операторам. Бозонный спектр системы составляют нормальные моды связанных фонон-магнонных колебаний.

При этом необходимо компенсировать «опасные» диаграммы, описывающие рождение из вакуума не только двух, но также и четырех электронных квазичастиц. В результате мы будем иметь систему из двух уравнений. Второе уравнение системы — уравнение компенсации тетравершин — связано, с одной стороны, со взаимодействием магнитных моментов электронов проводимости, а с другой стороны, с наличием калибровочного поля вектор-потенциала.

В свое время Боголюбов указал на необходимость учета взаимодействия между электронными парами с рассогласованными импульсами и спинами, а таюке рассмотрения сверхпроводящей системы во внешнем постоянном поле вектор-потенциала А. Этот вывод подтверждается тем, что каноническое (н — v) — преобразование, обеспечивающее компенсацию опасных бивершин, в общем случае не может обеспечить необходимой положительной определенности энергии электронных квазичастиц при всех значениях импульса.

Далее во второй главе диссертации на основе обобщенных уравнений компенсации Боголюбова получена (с учетом спиновых флуктуаций обменной природы) константа спин-электрон-фононного взаимодействия и величина энергетической щели, которая увеличивается при учете спин-электрон-фононного взаимодействия, что в конечном счете ведет к последующему увеличению критической температуры Тс.

Таюке во второй главе на основе спин-фононного механизма спаривания электронов в куперовских парах с помощью (к-v) — унитарного преобразования Боголюбова строится ядро интегрального уравнения для энергетической щели. Решение этого интегрального уравнения ищется методом прямоугольных ям.

Из решения системы уравнений для энергетической щели получен эффективный параметр электрон-фононного взаимодействия, учитывающий фононный механизм спаривания, спин-фононное взаимодействие и кулоновское отталкивание электронов.

В третьей главе исходя из эффективного спин-фононного гамильтониана с учетом эффекта обменного усиления электрон-фононного взаимодействия анализируется спин-волновая динамика магнитных систем в случае двух и четырех магнитных подрепгеток. Эффект обменного усиления электронфононного взаимодействия является аналогом эффекта обменного усиления стшн-фононного взаимодействия в магнитоупорядоченных системах, обладающих определенным типом симметрии. Суть его состоит в том, что динамическая магнитоу пру гая связь, имеющая релятивистскую природу при определенном типе симметрии системы для некоторых спиновых и упругих колебательных мод может быть усилена за счет учета обменного взаимодействия между магнитными моментами подрешеток, что ведет к её увеличению на несколько порядков.

Общий вид гамильтониана системы, характеризующейся четырьмя магнитными подрешетками с учетом обменного взаимодействия между ними, имеет вид.

Н = Ни+Нп+Нш, где Ни +.

— гамильтониан магнитной подсистемы,.

— гамильтониан упругой подсистемы,.

HAIU=$d4{b%nM?M<-umn}.

— гамильтониан магнитоупругого взаимодействия. Греческие индексы обозначают номер подрешетки и принимают значения от 1 до 4. Тензор jap pap +Qap содерЖИТ тензор обменного взаимодействия и тензор релятивистского взаимодействия Q" f, которое обусловлено спин-орбитальным определяющим магнитную анизотропию) и магнитоэлектрическим взаимодействиями. Для диагонализации гамильтониана необходимо сделать каноническое преобразование Боголюбова, причем коэффициенты этого преобразования, в силу значительного преобладания энергии обменного взаимодействия над энергией релятивистских взаимодействий, окажутся достаточно большими, что приведет к существенному увеличению коэффициентов связи между магнонными и фононными возбуждениями, т. е. к усилению магнитоупругого взаимодействия. Таким образом, в данной системе существуют магноны, сильно связанные с фононами. Большая величина этой связи обусловлена именно нерелятивистским обменным взаимодействием между магнитными подрешетками.

Магнитную структуру системы в случае четырех подрешеток также можно описать с помощью векторов: in — М1 + М2 + М3 +М4, =МХ-М2 +М3-М4,.

72=М,+М2-М3-М4, 73 =м,-м2-м,+м4. где Ма — плотности магнитных моментов подрешеток. Если затем записать эффективный гамильтониан системы в представлении данных векторов и использовать уравнения движения, то можно показать, что в полученном спектре имеют место две двукратно вырожденные ветви. Их спектр имеет следующий вид:

Ох = со: = гМ1л2 V) к V.

2 р — Р') {25 + 2сг + 2Р — Р'), (2Р — р') {23 — 2сг + 2Р — Р').

Так как частота колебаний ©, превосходит частоту to2, то динамическая линейная связь колебаний с частотой и фононных колебаний будет наиболее сильной, хотя и мода с частотой а>2 также оказывается обменно усиленной.

Наличие двух магнитных плоскостей приводит к усилению в >/2 раз эффективного параметра спин-фононной связи с, что является существенным для увеличения эффективного параметра электрон-фононного взаимодействия и, в конечном счете, для возрастания критической температуры Тс.

В четвертой главе в рамках модели обменного взаимодействия вычислены параметры квадрупольного обменного и электрон-фононного взаимодействий. Показано, что магнитная неупорядоченная подсистема играет определяющую роль в формировании эффективного обменного взаимодействия между электронами.

В этой главе рассматривается магнитная система, в которой магнитные моменты не являются локализованными и распределены в пространстве хаотично. Такая магнитная система формируется спинами нормальных электронов, находящихся в делокализованных (d, /) состояниях и взаимодействует с электронами, находящимися в s — состояниях, которые определяют высокочастотные и кинетические свойства упорядоченной системы. Таким образом, мы будем рассматривать модель, в которой взаимодействующие л-электроны обтекают кристаллическую решетку и неупорядоченную систему спинов. Также мы рассмотрим всевозможные виды взаимодействия электронов с коллективными возбуждениями в таком кристалле.

Для описания взаимодействий в приближении сильной связи мы воспользуемся контурным представлением операторов, то есть будем рассматривать нашу систему как систему «взаимодействующих» контуров, на л л л которых определены операторы Ау, фа {xUQ^.

На основе такого представления далее в четвертой главе найден потенциал обменного взаимодействия, показано, что эффективное обменное взаимодействие уже не определяется только парными корреляциями, а формируется более сложным образом с учетом четырехчастичного взаимодействия, при котором электроны взаимодействуют внутри ячеек и между ячейками.

Наряду с обменным взаимодействием в магнетиках существует еще и квадрупольное обменное взаимодействие, которое необходимо учитывать для объяснения свойств магнитных систем, например, для расчета магнитной анизотропии. Далее в четвертой главе в рамках рассматриваемой модели рассчитан средний потенциал такого взаимодействия. Показано, что квадрупольное обменное взаимодействие может быть усилено параметром обменного взаимодействия. Это оказывается возможным из-за того, что наличие неупорядоченной спиновой подсистемы приводит к возникновению в системе эффективного электромагнитного поля, которое способствует преобразованию нормальных sэлектронов в связанные пары, взаимодействующие между собой с помощью обмена виртуальной квазичастицей. Также в четвертой главе на основе контурного представления операторов показано, что электрон-фононное взаимодействие может быть усилено обменным взаимодействием между электронами, что в конечном счете приводит к повышению критической температуры Тс.

Таким образом, в четвертой главе для неупорядоченной магнитной системы вычислены параметры квадрупольного обменного и электрон-фононного взаимодействий, показано, что магнитная неупорядоченная подсистема играет определяющую роль в формировании эффективного обменного взаимодействия между электронами, которое способно усиливать взаимодействия релятивистской природы.

В пятой главе рассматривается обменная спин-волновая динамика магнитных систем. Экспериментально было найдено, что в таких системах спиновые возбуждения при 'Г > TN высокоэнергетичны, а также скорость спиновых возбуждений оказалась на порядок выше скорости звука в этом веществе. Таким образом, можно допустить, что высокоэнергетичные спиновые флуктуации обменной природы могли бы активно участвовать в механизмах, объясняющих высокие критические температуры. Следовательно, представляет определенный интерес рассмотреть их взаимодействие с фононной системой для анализа возможных способов повышения критической температуры.

Чтобы рассмотреть спин-волновую динамику, необходимо записать уравнения движения для векторов fn, Av, Cl, pv, iiv, которые в общем случае имеют вид = {Hs^m}, Av ~ {Hs-Pk, A)> uv = {Hsphjiv}.

Чтобы записать эти уравнения в явном виде, необходимо вычислить скобки Пуассона, стоящие в правой части. Сделать это можно, если определены скобки Пуассона для векторов in, Av,?l.

Анализ спиновых волн, то есть анализ на основе только спиновой части гамильтониана, показывает, что в спектре спиновых волн имеется три моды колебаний: одна продольная и две поперечные — ®pk,(oUsk, co2Uk. Уравнения для поперечных мод удается решить только в случае к «кс или же в случае малых градиентов спектральной плотности поперечных компонент парамагнитного момента (kVkSmf/y) 1. В результате спектр спиновых волн (спиновых флуктуаций) без учета наличия внешнего магнитного поля выглядит следующим образом:

2±sk.

Частоты спектра спиновых волн реальны только в области значений волнового вектора для продольной моды (к/кс)> 1 и для поперечных к/кс)>±-^(п, пк) + ^(п, пкУ +1. При всех остальных значениях? частоты мнимые, то есть имеют диффузионную природу, что является следствием отсутствия равновесного дальнего магнитного порядка. Спектр спиновых флуктуаций интересен, к примеру, с точки зрения их вклада в низкотемпературную электронную теплоемкость.

Кроме того, в пятой главе на основе анализа спин-волновой динамики магнитных систем, находящихся во внешнем магнитном поле Н, найдена новая спиновая ветвь колебаний с частотой ho = fjH{k!кс)2. Заметим, что данная ветвь спиновых колебаний (спиновых флуктуаций) существует только в отличном от нуля внешнем магнитном поле и по симметрии спектра аналогична геликонам в магнитоактивной плазме.

Основные результаты диссертации изложены в работах [17,38,43, 124, 176 195]. Всего по результатам диссертации опубликована 41 работа.

Заключение

.

• В диссертации впервые предложено и развито обобщение метода компенсации опасных диаграмм Н. Н. Боголюбова для случая квазичастиц, представляющих собой кванты связанных колебаний ионов решетки со спиновыми флуктуациямивпервые найдена константа спин-электрон-фононного взаимодействия и величина энергетической щели с учетом спиновых флуктуаций обменной природы на основе обобщенных уравнений компенсации Н. Н. Боголюбова, на основе обобщенного «и-v» преобразования Боголюбова найден спектр и новая мода связанных колебаний электронной и ядерной систем в антиферромагнетике типа «легкая плоскость», найден динамический сдвиг частоты ядерного магнитного резонанса, связанный с этой модой.

• В диссертации предложено новое направление в исследовании модельных гамильтонианов на основе концепции эффекта обменного усиления с учетом спиновых флуктуаций обменной природы. В частности, в диссертации впервые показано, что эффект обменного усиления существует не только в системах с антиферромагнитным дальним порядком, но и в системах, в которых антиферромагнитный дальний порядок подавлен или отсутствует.

• Впервые показано, что обменное взаимодействие между фермионами эффективно способствует их притяжению только в том случае, если спиновые флуктуации резонансным образом взаимодействуют с частицами, которые непосредственно обеспечивают притяжение фермионов, рассмотрен эффект обменного усиления эффективного электрон-фононного взаимодействия в магнитных системах и определена верхняя граница применимости квазилинейных уравнений, показано, что они применимы в случае, если резонансное значение волнового вектора kr ~ тъх (кг], кг2) pF / h (pFимпульс.

Ферми).

Описано взаимодействие электронов проводимости с магнитными подрешетками кристалла, вычислены коэффициенты обменного усиления этого взаимодействия, рассмотрено влияние дефектов кристаллической структуры на магнитное упорядочение, вычислено неоднородное магнитное упорядочение при наличии статического поля деформаций, на основе модифицированного гамильтониана Гейзенберга исследована возможность возникновения состояний двух магнонов, локализованных на дефекте, найдены параметры, при которых происходит разделение локальных и квазилокальных магнонных состояний, получено дисперсионное уравнение, определяющее энергии нормальных фонон-магнонов, сформулирована задача полной диагонализации бозонной части гамильтониана.

Впервые исследован эффект обменного усиления магнитоупругого взаимодействия в антиферромагнетике с четырьмя магнитными подрешетками, на основе модели с учетом квадрупольного взаимодействия найдены резонансные спектры, обусловленные обменным взаимодействием, для случая антиферромагнитных систем, состоящих из двух и четырех магнитных подрешеток. Впервые в системах типа перовскита, находящихся во внешнем магнитном поле найдена новая ветвь спиновых колебаний, показано, что для парамагнитной фазы систем типа перовскитов величина z-компоненты плотности тока намагниченности, связанного со спиновыми колебаниями, в линейном режиме возбуждения спиновых поперечных мод имеет резонансный характер;

В антиферромагнетиках типа «легкая плоскость» исследованы равновесные конфигурации электронных и ядерных намагаиченностей, найдена связь электронной и ядерной спиновых систем с упругими полями, создаваемыми дефектами в кристалле.