Резольвенты и спектры периодических операторов с разбегающимися возмущениями

Классическим примером оператора с разбегающимися возмущениями является дифференциальный оператор второго порядка с двойной потенциальной ямой + + в 12(К), (0.0.1) где V, У — вещественные финитные измеримые потенциалы, I — большой положительный параметр. При I —> оо носители потенциалов оператора находятся на большом расстоянии друг от друга (см. рис.1). Именно этим объясняется термин «разбегающиеся возмущения» .

Операторы с разбегающимися возмущениями рассматривались разными авторами (см., например, [19], [20], [22] - [25], [27], [28], [32], [33] -[36], [38] - [50]). Основное внимание уделялось изучению асимптотического поведения резольвенты, а также собственных значений и собственных функций как в случае простого, так и в случае кратного предельного собственного значения. При этом достаточно большое количество работ посвящено изучению собственных значений и собственных функций оператора Лапласа, возмущённого потенциалами в случае простого предельного собственного значения (см., например, [19], [20], [27], [35], [39], [41], [45], [48]). Исследования асимптотического поведения собственных значений и собственных функций оператора Лапласа с несколькими разбегающимися потенциалами в случае кратного предельного собственного значения проводились в работах [32], [33], [38]. Резольвента оператора Лапласа с несколькими разбегающими потенциалами исследовалась в работе [22], книге [28, Гл. 8, § 8.6] и статье [43]. Имеется также ряд ра4 Л.

Рис. 1: Пример разбегающихся возмущений бот, в которых возмущения задавались иным образом, то есть, не в виде потенциалов (см., например, [23] - [25], [42]). Остановимся подробнее на каждой из цитированных выше работ.

В [22] исследовалось поведение резольвенты оператора Лапласа в пространстве К3 с тремя разбегающимися потенциалами. Потенциалы удовлетворяли двум условиям, первое из которых обеспечивало относительную компактность, а второе описывало аналитические свойства потенциалов. Была доказана сходимость резольвенты возмущённого оператора к резольвенте невозмущённого оператора в смысле сильной резольвентной сходимости. Также было приведено разложение резольвенты возмущённого оператора в ряд Неймана, сходящийся в смысле сильной резольвентной сходимости. В книге [28, Гл. 8, § 8.6] изучались асимптотические свойства оператора Шрёдингера с двумя разбегающимися возмущениями в пространстве Е3. Возмущениями здесь являлись два вещественных убывающих на бесконечности потенциала. Доказана сходимость резольвенты унитарного преобразования некоторого матричного оператора, который строился на основе исходного оператора с разбегающимися возмущениями. При этом унитарное преобразование вводилось специальным образом и само зависело от расстояния между разбегающимися потенциалами. В [43] рассматривался оператор — — Д+У1+У2(- — €) в пространстве К3, где V]., Уг — вещественнозначные функции из класса Ролльника (Ко11шк с1аай). Класс Ролльника вводился как множество функций V = У (х), для которых т — у |2 dxdy < оо.

H3xR3.

Исследовалось поведение резольвенты возмущённого оператора Не при Е —> +00. Была доказана равномерная сходимость к нулю в норме Гильберта-Шмидта оператора.

Не — Л)" 1 — № - Л)" 1 — (П2 — А)" 1 + (По — Л)" 1, (0.0.2) где, Но = —A, 7ii = —А + Vi, = —А + V2, а число Л не принадлежит спектрам операторов Но, %2- Другими словами, возмущённый оператор в пределе «расщеплялся» на три предельных оператора*.

В статьях [19], [20], [27], [35], [39], [41], [45], [48], исследовалось асимптотическое поведение собственных значений и соответствующих им собственных функций оператора Шрёдингера в пространстве d > 1 с несколькими разбегающимися возмущениями. Рассматривался случай, когда возмущённое собственное значение сходится к простому предельному собственному значению. Возмущениями в [20], [27], [35], [41], [48] являлись потенциалы, удовлетворяющие различным условиям, обеспечивающим гладкость и убывание на бесконечности. Были построены^первые члены асимптотических разложений собственных значений и соответствующих им собственных функций в случае простого предельного собственного значения. В работах [19], [45] в качестве возмущений рассматривались кулоновские потенциалы. Были построены полные асимптотические разложения для собственных значений и соответствующих им собственных функций в случае простого предельного собственного значения. Отметим, что формулы для коэффициентов этих рядов выведены не были. В [39] разбегающимися возмущениями являлись финитные потенциалы, рассматриваемые в пространстве d = 1 или d = 3. В случае простого предельного собственного значения были получены представления для собственных значений и собственных функций возмущённого оператора в виде равномерно сходящихся рядов и выведены оценки на их коэффициенты. Данные ряды одновременно являлись асимптотическими. Формулы для коэффициентов этих рядов также выведены не были.

В статьях [32], [33], [38] рассматривался оператор Лапласа с несколькими разбегающимися потенциалами. Изучалось поведение собственных значений данного оператора, когда предельное собственное значения являлось простым собственным значением первого предельного оператора (оператор Лапласа с первым потенциалом) и простым собственным значением второго предельного оператора (оператор Лапласа со вторым потенциалом). Возмущениями в [33], [38] были два убывающие на бесконечности потенциала, а в [32] возмущениями являлись три кулоновские потенциала. В работах [33], [38] были построены первые члены асимптотических разложений собственных значений и соответствующих им собственных функций в случае двукратного предельного собственного значения. В [33] также было показано, что первые поправки собственных значений возмущённого оператора симметричны относительно нуля, то есть, равны по модулю, но противоположны по знаку. В статье [32] были построены представления для собственных значений и соответствующих им собственных функций в виде равномерно сходящихся рядов. Выведены оценки на их коэффициенты. Однако формулы для коэффициентов этих рядов не были получены.

В работах [36], [40], [44], [46], [49], [50], изучалось поведение собственных значений, возникающих из края существенного спектра предельного оператора. Исследованы различные случаи существования таких собственных значений. Получено описание первых членов асимптотических разложений данных собственных значений. В статьях [34], [47] изучалось поведение собственных значений оператора Дирака в трёхмерном пространстве в случае простого предельного собственного значения. В [34] возмущениями были убывающие на бесконечности потенциалы, а в [47] возмущениями являлись кулоновские потенциалы. Построены первые члены асимптотических разложений собственных значений и соответствующих им собственных функций возмущённого оператора в случае простого предельного собственного значения. В [42] изучались свойства спектральных лакун оператора Лапласа, возмущённого дельта-потенциалом. Были получены нижние оценки для первой спектральной лакуны оператора Лапласа. Данные оценки применимы и к разбегающемуся дельта-потенциалу. В работе [25] исследовалось асимптотическое поведение-собственных значений и соответствующих им собственных функций оператора Лапласа с несколькими разбегающимися возмущениями в случае простого предельного собственного значения. В качестве возмущений рассматривалась смена типа граничных условий. Участки границы, на которых менялся тип граничных условий, находились на большом расстоянии друг от друга. Были доказаны теоремы сходимости и построены первые члены асимптотических рядов для собственных значений и собственных функций в случае простого предельного собственного значения.

В [23], [24] исследовалось асимптотическое поведение собственных значений и собственных функций оператора Лапласа с конечным числом разбегающихся возмущений в многомерном пространстве и бесконечном цилиндре. Возмущающими операторами здесь были произвольные абстрактные локализованные операторы. Локализованность данных возмущений заключалась в том, что каждый из них был определён на некоторой ограниченной области. Была доказана сходимость собственных значений и собственных функций возмущённого оператора к соответствуюь щим им собственным значениям и собственным функциям предельного оператора при произвольной кратности предельного собственного значения. Были получены первые члены асимптотических разложений собственных значений и соответствующих им собственных функций.

Достаточно близкими к задачам с разбегающимися возмущениями являются задачи об операторах с малым параметром перед старшей производной и заданным фиксированным потенциалом. Подобного рода операторы давно являются объектом многочисленных исследований различных авторов. Например, в работах [9], [10], [29] рассматривался оператор

Лапласа с малым параметром перед старшей производной и несколькими потенциалами. Исследовалось поведение собственных значений возмущённого оператора как в случае простого, так и в случае двукратного предельного собственного значения. Были получены экспоненциальные оценки для первых спектральных лакун. Операторы с малым параметром перед старшей производной и несколькими потенциалами с помощью замены переменной можно свести к описанным выше операторам с разбегающимися потенциалами. Однако, носители последних будут расширяться одновременно с разбеганием. В нашем случае разбегающиеся возмущения предполагаются фиксированными и именно в этом заключается отличие операторов с разбегающимися возмущениями от операторов с малым параметром перед старшей производной.

В диссертации рассматривается эллиптический оператор с конечным числом разбегающихся возмущений в многомерном пространстве. Невозмущённый оператор — это многомерный матричный периодический дифференциальный оператор произвольного чётного порядка достаточно общего вида. Возмущениями являются произвольные абстрактные операторы, основным свойством которых является локализованность. Локализация возмущений описывается весовыми функциями, входящими в определение возмущающих операторов. На весовые функции накладываемся определённый набор требований, которые фактически обеспечивают гладкость весовых функций и их убывание на бесконечности вместе с фиксированным набором производных. Если возмущающими операторами являются потенциалы, то наше условие локализованности превращается в условие убывания этих потенциалов. При этом практически отсутствуют ограничения на скорость убывания. Возмущения всех предыдущих работ (за исключением работы [25]) являются частным случаем возмущений, описанных в диссертации. Даже абстрактные возмущения, описанные в [23], [24], получаются из наших, если весовые функции выбрать финитными. Фактически, рассмотренные в диссертации возмущения являются обобщением всех вышеупомянутых. Отметим, что возмущения, аналогичные нашим, были рассмотрены в [2], но для другого типа задач. В качестве возмущающих операторов можно выбрать дифференциальный оператор высокого порядка, не превосходящего порядок невозмущённого оператора, интегральный оператор, конечномерный оператор, псевдодифференциальный оператор. В работе [23, п. 8, пример 5] описано преобразование, с помощью которого дельта-потенциал можно свести к дифференциальному оператору второго порядка. Если воспользоваться этим преобразованием, то в качестве возмущающего оператора можно взять и дельта-потенциал.

В диссертации исследуются резольвента и спектр возмущённого оператора при стремлении к бесконечности расстояний между областями, в которых локализованы возмущения. Во второй главе диссертации выводится явное представление для резольвенты возмущённого оператора, на основе которого доказывается равномерная резольвентная сходимость возмущённого оператора к некоторому предельному. Приводится разложение резольвенты возмущённого оператора в полный асимптотический ряд, сходящийся в равномерной операторной норме. Данный результат получен без различного рода ограничений, накладываемых на невозмущённый оператор. А именно, невозмущённый оператор не обязательно является симметричным и, следовательно, самосопряжённым. Более того, он не предполагается даже секториальным. Единственное условие, которое накладывается на невозмущённый оператор в данном случаезамкнутость (см. лемму 2.2). Для получения данного представления разработана новая достаточно простая оригинальная схема (см. доказательство теоремы 0.1). Её суть заключается в том, что с помощью определённых алгебраических преобразований задача о нахождении резольвенты возмущённого оператора сводится к обращению почти единичного оператора.

В предположении, что невозмущённый и возмущённый операторы самосопряжены, а возмущающие операторы симметричны, во второй главе диссертации доказывается устойчивость существенного спектра возмущённого оператора относительно возмущений и сходимость собственных значений возмущённого оператора к собственным значениям предельного оператора в случае произвольной кратности предельного собственного значения. Существование и сходимость собственного значения возмущённого оператора доказывается на основе результатов о равномерной резольвентной сходимости.

В третьей и четвёртой главах диссертации при аналогичных предположениях о самосопряжённости и симметричности, строятся представления в виде равномерно сходящихся рядов для собственных значений возмущённого оператора, когда предельное собственное значение является простым или двукратным. Выводятся явные формулы и степенные оценки для их членов. Для построения этих рядов также разработана новая довольно простая методика (см. доказательства теорем 0.5, 0.6, 0.7). Суть сё состоит в том, что уравнение на собственные значения возмущённого оператора сводится к некоторому регулярно возмущённому уравнению в специальном гильбертовом пространстве. При этом малость возмущения удаётся описать двумя характерными малыми параметрами. Применение затем адаптированной версии метода Бирмана-Швингера, описанной в работах [5], [3], позволяет свести задачу к анализу операторного уравнения и поиску нулей некоторой голоморфной функции. Анализ данной функции позволяет получить представления для собственных значений и соответствующих им собственных функций возмущённого оператора в виде равномерно сходящихся рядов. Для поиска членов построенных рядов предложен достаточно простой и изящный метод (см. четвёртую главу диссертации, параграф 4.2). Методика, с помощью которой строятся ряды для собственных значений и собственных функций возмущённого оператора применима и в общем случае, то есть, при произвольной кратности предельного собственного значения. Вместе с тем, в общем случае процесс построения рядов для собственных значений и собственных функций возмущённого оператора является довольно громоздким. Это объясняется тем, что возникают многочисленные частные случаи,^свяв занные с возможными расщеплениями возмущённых собственных значений. Поэтому случай предельного собственного значения произвольной кратности мы не рассматриваем. Лишь в четвёртой главе диссертации показано, что для двух различных разбегающихся возмущений в случае произвольной кратности предельного собственного значения первые поправки возмущённых собственных значений симметричны относительно нуля.

В первой главе диссертации приводятся примеры невозмущённых, возмущающих операторов и весовых функций, для которых справедливы все полученные результаты. Невозмущёнными и возмущающими операторами могут быть практически все основные операторы математической физики, например, дифференциальный оператор второго порядка, матричный и магнитный операторы Шрёдингера, оператор теории упругости, оператор Паули, интегральный оператор, 6 — потенциал, псевдодифференциальный оператор, бигармонический оператор и другие. Класс весовых функций также достаточно широк, так как требованием, которому они должны удовлетворять — это убывание на бесконечности вместе с конечным набором их производных, причём без каких-либо условий на скорость убывания. Именно поэтому весовыми функциями могут быть финитные функции, экспоненциально убывающие функции, степенные функции, а также логарифмически убывающие функции. В первой главе диссертации также в качестве демонстрации все основные результаты сформулированы для классического примера оператора с разбегающимися возмущениями (0.0.1).

Опишем постановку задачи, рассматриваемую в диссертации, и основные результаты.

Пусть х = (#1, — декартовы координаты в В/*, й ^ 1, Г — произвольная периодическая решётка в К/* размерности <1 В пространстве.

1,2 (К/*- Сп) рассмотрим оператор

10|=М=т |Ж2т-1 с областью определения ?$т (Е^С"), где т € М, а^ € Ст (Е^), Ьр € С2т~1(1Xе1) — матричнозначные, зависящие от х функции, периодические относительно решетки Г. Здесь и далее в диссертации под пространствами и И7!" 1^'*- Сте) будем понимать соболевские пространства вектор-функций со значениями в С Будем предполагать, что опер’атор, Но эллиптичен: ив2т < det Ч^х)^1 > (°-0−3).

Р=Ы=т 1 где 0 = {Ох,., 6^)? К, V — некоторая положительная константа, не зависящая от х и в. Данное условие эквивалентно условию сильной эллиптичности (1.7) в статье [18]. Отметим, что это условие не обеспечивает полуограниченности снизу оператора 7 т? о.

Пусть, а = а (г) — функция из С2т~1[0, +оо), обращающаяся в нуль в некоторой окрестности нуля. Будем предполагать, что все производные функции а (г) до порядка (2т — 1) равномерно ограничены и выполнено равенство.

J а{г)м = + 00. (0.0.4) о.

Будем говорить, что функция? = с (г) удовлетворяет условию (А1), если.

А1). Функция? € С2тп (К+) неотрицательна, в некоторой окрестности нуля равна единице и выполнена оценка 7.

— /а (?)сЙ я (г) <Се ", г = 1,., к, где С — некоторая константа.

Из (0.0.4) и условия (А1) следует, что с (г) 0 при г +оо. (0.0.5).

Будем говорить, что функция т] — г)(г) удовлетворяет условию (А2), если.

А2). Функция г € С2т (11+) неотрицательна, в некоторой окрестности нуля равна единице и стремится к нулю на бесконечности вместе со всеми своими производными вплоть до порядка 2гп .

Рассмотрим в пространстве ½(1^- С") семейство произвольных операторов г = 1, с областями определения И7!^!^- Сп). Предполагается, что данные операторы ограничены как операторы из пространства Сп) в Ь2{Ша] Сп), но вообще говоря, неограничсны как операторы в ½Сп). Обозначим через г = 1,., к, операторы в пространстве ½(Е1сг-Сп) с областью определения И/22т (НсгСп), действующие по правилу.

С1и)(х):=я (х)(СЫ-)г1)(х) с областями определения И/22т (^- С"). Здесь функции я удовлетворяют условию (А1), а функции щ — условию (А2), г — 1,., к.

В диссертации рассматриваются разбегающиеся возмущения вида к.

— Х^Сгв (Хг). г=1.

Здесь Хг Е Г — дискретные параметры, ?(•) — оператор сдвига, дейзтву-ющий следующим образом: с5(У)и)(х) := и (х + У), У е Г.

Обозначим через X вектор вида X — {Х,. и положим т (Х) := шт Хг — Будем предполагать, что т (Х) —> +оо. Ясно, что любые гфз две различные точки Хг переводятся друг в друга с помощью конечного числа сдвигов вдоль решётки Г. Если £г- = - вещественные ограниченные финитные измеримые потенциалы, то в этом случае разбегающиеся возмущения имеют вид к к £уг (- - ад. г=1 г=1.

Схематически поведение такой суммы потенциалов показано на рис. 2. При т (Х) —>¦ +оо области, в которых локализовано каждое из возмущений, находятся на большом расстоянии друг от друга, то есть «разбега-ютея» .

Основными объектами изучения в диссертации являются резольвента и спектр возмущённого оператора, который вводится равенством к.

Пх := По + X) 1 и понимается как оператор в пространстве ½ (Н^С11) с областью определения Ж^ОЕ^- Сга). Основной целью является изучение поведения резольвенты и спектра такого оператора при т{Х) +оо.

Для формулировки основных результатов диссертационной работы нам понадобятся дополнительные обозначения. Пусть а{-) — спектр оператора, I — тождественный оператор, || • ~ норма линейного оператора, действующего из нормированного пространства У1 в нормированное пространство У2, Т>{-) — область определения оператора. Рассмотрим в пространстве ½(НсгСп) семейство операторов := «Но + г = 1,., с областями определения И^^К^- Сп).

Сформулируем первый результат первой главы диссертации. к.

Теорема 0.1. Пусть множество К := С У сг{%1) непусто. Тогда для г=0 достаточно больших т (Х) оператор Их замкнут. Для любого, А € К и достаточно больших т (Х) верно представление хА)" 1 :=[^5(-Х0(К-Л)" 15(Х4).

0.0.6) {к — 1)(%о ~ А)-^ (I 4- Рх), к.

ТХ :=? Ш-Х^Нз — А)-ВД г, 3=1 гф].

0.0.7).

— (По ~ А)" 1″ .

0 пРи Т (Х) к.

Предположение о непустоте множества К := С У &{%%) в формулиг=0 ровке основного результата является достаточно естественным и весьма слабым. Это предположение справедливо для довольно широкого класса операторов. Например, множество К непусто, если невозмущённый оператор Ко и операторы г = 1,., к, являются самосопряжёнными. Для самосопряжённости невозмущённого оператора «Но достаточно, например, чтобы матрицы а/?7, были бесконечно дифференцируемы и эрмитовы и матрицы Ър были все равны нулю кроме ЬоДальнейшие примеры невозмущённого оператора, Но приводятся в следующем разделе магнитный и матричный оператор Шрёдингера, оператор теории упругости, оператор Паули и другие). Если же операторы i = 1 симметричны и нормы данных операторов как операторов из пространства И^^К^- С») в пространство ¿-^(К^ С") достаточно малы, то по теореме Като-Реллиха (см., например, [15, Гл. 10, §-Х.2]) операторы г = 1 также будут самосопряжены.

Для формулировки дальнейших достаточных условий непустоты множества К напомним некоторые понятия из [11, Гл. V, § 3, п.10]. Оператор А, действующий из пространства Ух в пространство У2, будем называть квази-т-аккретивным, если найдётся некоторое число, А Е С такое, что для всех, А Е С, 11еА > 0 оператор {А + А — А)-1 существует, ограничен и выполнена оценка ||(Л+ А — А)-1||у У1 < Оператор А, действующий из пространства Ух в пространство У>2, является секториальным, если числовая область его значений {(Ли, и) у2: и Е Т>{А)} является подмножеством некоторого сектора {А Е С: | arg (A — ¡-л) < 9 < где 9 -нолуугол секториального оператора, а ¡-л — вершина. Оператор, А называется ш-секториальным, если он секториален и квази^т-аккретивен. Форма I называется секториальной, если числовая область её значений и), и Е является подмножеством некоторого сектора | arg (A — /?)| < 9, где 0 ^ 9 < | - полуугол секториальной формы, а [л — вершина.

Множество К заведомо непусто, если предположить, что операторы либо операторы —Нг, г — 0,., к, т-секториальны. Если, например, матрицы Ь^ - бесконечно дифференцируемы и форма, соответствующая невозмущённому оператору Но, является секториальной, то «оператор, Но будет га-секториальным. Выписать явные условия на возмущающие операторы для случая ш-секториальности операторов Нг, г = 1,., к, достаточно сложно, так как теорема, аналогичная теореме Като-Реллиха (см., например, [15, Гл. 10, §-Х.2]), нам не известна. Наиболее близким и известным нам результатом является теорема 3.4 из [11, Гл. 6, § 3, п.2] для секториальных форм, воспользовавшись которой можно показать, что формам, построенным по операторам Нг, г = 1,. А-, соответствуют некоторые т-секториальные операторы. При таком подходе, основной трудностью является доказательство того, что полученные т-секториальные операторы совпадают с операторами г = 1,. к.

Обсудим теперь результат теоремы 0.1. Оператор (I + Тх)~1 можно представить в виде ряда Неймана оо 5=0 так как Ц^хЦ^^^^^^сг-с") ->¦ 0 при т (Х) -> +оо. Следовательно, резольвента оператора (Нх — А) имеет вид оо к.

Нх — А)-1 — А)~15(Хг-).

5=0 г=1 V.

Хч.

— (к — 1){По — Х)~1 где оператор «Рх определён равенством (0.0.7). Данный ряд, являясь асимптотическим для резольвенты оператора И. х-> сходится в равномерной резольвентной Норме || •.

Для того, чтобы воспользоваться представлением (0.0.6), достаточно знать всего лишь оператор Т>х, так как остальные выражения в (0.0.6) достаточно явные. В свою очередь, согласно (0.0.7), оператор «Рх вводится в терминах возмущающих операторов и резольвент операторов И^ и фактически описывает взаимодействие этих операторов. Кроме тогб, если одно из возмущений г = 1,., равно нулю, то часть слагаемых в приведённой выше формуле для резольвенты возмущённого оператора и в формуле (0.0.7) обращаются в нуль, а сами формулы остаются верными. Если все возмущения, кроме, например, С, равны нулю, то оператор Тх равен нулю, операторы И11 2 — 2,. .. к) равны оператору «Н0> а формула для резольвенты возмущённого оператора имеет вид.

Но + - А)-1 = + А — А)" 1^!) и фактически показывает унитарную эквивалентность операторов и %х• В данном случае формула (0.0.6) перестаёт быть информативной и все утверждения о сходимости или асимптотическом поведении резольвенты теряют смысл.

Следующий результат первой главы описывает положение существенного спектра возмущённого оператора. Мы придерживаемся стандартного определения существенного спектра самосопряжённого оператора (см. [1, Гл. IX, § 1]), как объединение непрерывного спектра и множества собственных значений бесконечной кратности.

Теорема 0.2. Пусть операторы Но, И{, г — Их, самосопряжены. Тогда существенные спектры операторов Их, Н (, ъ = 1,. ¦ ¦, к совпадают с существенным спектром оператора Но- «.

Последняя теорема означает устойчивость существенного спектра относительно возмущений, то есть, при добавлении к невозмущённому оператору, Но конечного числа разбегающихся возмущений его существенный спектр остаётся неизменным.

В следующей теореме описывается сходимость спектра возмущённого оператора Их в случае самосопряжённых операторов Их, Но, Нг-, г = 1.

Теорема 0.3. Пусть операторы Но, Иг, г = 1 Их, самосопряк жены и его := У, а (Иг). Тогда спектр возмущённого оператора, а (Их) г=о сходится к предельному спектру ао. А именно, для любого 7 > 0 найдётся константа К (7) такая, что сЦб^А^о) < 7 для всех Л € а (Их) при т (Х) > А" (7).

Наш следующий результат касается сходимости собственных значений возмущённого оператора.

Теорема 0.4. Пусть операторы Но, Иг, ъ — 1,., к, Их, самосопряжены, а Ао — изолированное собственное значение конечной кратности Рг каждого из операторов Иг, г = 1,., к, причём Ао не попадает в спектр оператора Но. Тогда существует ровно р — р 4-. .+рь (с учётом кратности) изолированных собственных значений 3 = 1,., р, возмущённого оператора %х> сходящихся к Ло при т (Х) —> +оо.

Замечание 0.1. Если Ло не является собственным значением какого-то оператора Нг, то в теореме 0.4 соответствующее р* полагаем равным нулю.

Другими словами, в последней теореме говорится о том, что числс-собственных значений х возмущённого оператора Их может быть различным (впрочем как и кратность каждого из них), но это число (и их кратность) не превышает кратности предельного собственного значения Ло-Например, если Ло — простое изолированное собственное значение одного из операторов % — 1,., к, например, оператора не принадлежащее спектрам остальных операторов г = 2,., к, то собственное значение Хх возмущённого оператора Их также является простым. Если Ло — двукратное собственное значение одного из операторов г = 1,., к, например, оператора, не принадлежащее спектрам остальных операторов % = 2,., к, то у возмущённого оператора Их может быть либо два простых собственных значения, либо одно собственное значение, но кратности два. Такая же ситуация наблюдается и в том случае, когда Ло является простым изолированным собственным значением любых двух операторов г = 1,., к, например, операторов и «Нг, не принадлежащее спектрам остальных операторов г = 3,., к, и т. д.

Как уже было сказано выше, одним из главных результатов диссертации являются представления для собственных значений и соответствующих им собственных функций возмущённого оператора в виде равномерно сходящихся рядов в случае простого предельного собственного значения и в двух наиболее типичных частных случаях кратности предельного собственного значения ЛоРассмотрим сначала случай простого предельного собственного значения. Пусть Ло — простое и изолированное собственное значение оператора Иг, не принадлежащее спектрам оператошах IIIах ров Но, % = 2,., к, а фо — нормированная в пространстве &11) собственная функция, соответствующая собственному значению Ао. Через 11 будем обозначать малую фиксированную окрестность точки Ао, замыкание которой не содержит никаких других точек спектров операторов %о, Н-г, г = 1,., к, кроме самой точки АоСимволом ^(А) будем обозначать приведённую резольвенту оператора Н в окрестности и и (А) = (Иг — А)-1, где % ^ 2, а, А? и. Под приведённой резольвентой ^(А) понимается (ср. [11, Гл. I, § 5, п. 3]) голоморфная часть ряда Лорана оператора — А)-1 в точке АоПоложим е (Х) = тах{ тах^ \С]щ{ ¦ - ^1)^0 Ц^^"",.

О*. 0.8).

Сформулируем теорему о поведении собственных значений возмущённого оператора в случае простого предельного собственного значения.

Теорема 0.5. Пусть операторы Но, Н-г, г = 1,., к, Нх, самосопряжены. Тогда при достаточно больших т{Х) в окрестности и существует единственное собственное значение Хх оператора Их, которое сходится к Ао при т (Х) —> +оо. Собственное значение Хх простое и изолированное и представимо в виде сходящегося для достаточно больших т (Х) ряда.

Ах = А&bdquo-+ (0.0.9).

3=2.

Соответствующую собственную функцию фх можно выбрать так, что она будет представляться в виде сходящегося в И7!" ^®-^- Сп) для достаточно больших т (Х) ряда к оо.

Фх (х) = Фо (х — ^1) + Е Е — ХУ (°-0−10) д=1 7=1 ч.

Ряды (0.0.9), (0.0.10) сходятся равномерно по X для достаточно больших г (Х). Члены данных рядов определяются равенствами.

Л, =? (А5(Х, — ъф0) ь, (0.0.11) д=2 2 ' л (0.0.12).

— СдЗ (Хд — Х^Ф^-1), д = 1,., г=1.

1,0 := -00, Фд, о -= 0, 9 = ., к. (0.0.13) Верны оценки.

Л,-(Х)| < СЩХ), < (0.0.14) где С — некоторая константа, не зависящая от X. Выполнено г{Х) 0 при т{Х) +оо. (0.0.15).

В качестве двух наиболее типичных случаев кратности нределшо1 о собственного значения выберем следующие. В первом случае Ао — простое изолированное собственное значение операторов Н и 7², не принадлежащее спектрам остальных операторов г = 3,., к, а ф^, ] — 1, 2 -соответствующие нормированные в ½ (К/*- Сп) собственные функции операторов % и %2- В этом случае будем говорить, что собственное значение Ао имеет кратность 1 + 1. Во втором случае Ао — двукратное собственное значение оператора, не принадлежащее спектрам остальных операторов % — 2,., к, а фо^, ] — 1,2- соответствующие нормированные в пространстве Сп) собственные функции. В этом случае будем говорить, что Ао имеет кратность 2 + 0.

Как и в случае простого предельного собственного значения, символом V обозначаем малую фиксированную окрестность точки Ао, замыкание которой не содержит никаких других точек спектра операторов «Нг, кроме Ао. Символом ^(Л) будем обозначать приведённые резольвенты операторов Ня в окрестности ?7, где д ^ 3 в случае кратности 1 + 1 и д ^ 2 в случае кратности 2 + 0. Положим = ('Нд — А)-1, где д ^ 3,.

А € Т/, и тахтах тах \С°дт)д (•.

3 ' ей" тах тах.

Ле<7 .к.

0.0.16).

Напомним, что под приведёнными резольвентами Лд (А), где д = 1,2 мы понимаем голоморфные части ряда Лорана каждого из операторов ('Нд — А)-1 в точке Ао.

Теорема 0.6. Пусть операторы Но, Н (, Нх, — 1 >••¦"&> самосопряжены, а Ао — собственное значение кратности 1 + 1 и выполнено неравенство.

26(Х2-Х1}фо, ъ'фо, 2) Ыжа. Сп) > Се (Х), С > 0, (0.0.17) где С — некоторая константа, не зависящая от X. Тогда при достаточно больших т{Х) в окрестности и существует ровно два (с учётом кратности) собственных значения А^, з = 1,2, возмущённого оператора Нх, которые сходятся к собственному значению Ао при т (Х) -+ +оо. Данные собственные значения j = 1,2 представимы в виде сходящихся при достаточно больших т (Х) рядов оо.

А^Ао + ^Л^Х). (0.0.18) 1.

Соответствующие собственные функции ф^), ] = 1,2, можно выбрать так, что они будут представляться в виде сходящихся в Сп) г—1 г-1 о-) да з=1 ?=1.

00 (7.

Сд8(Хд — Хъ-Ч) фъ к.

1,2, О 2 р=з /.

ОЗ, О 2.

0.0.20) для достаточно больших т (Х) рядов ф$(х) =г$(Х)фол (х — XI) + г$(Х)фог{х — Х2) т, ч (0.0.19).

Ряды (0.0.18), (0.0.19) сходятся равномерно по X для достаточно больших т (Х). Члены данных рядов определяются равенствами.

А?Х) =.

Фьг-Щ+г^*, 9=1,2, «> 1, (0.0.21) ~ («д ~ Ао)» 1 (¿-^(Х, — Х^од Л? О 2, (0.0.24).

0.0.22).

0.0.23).

0.0.25).

0.0.26).

ОТ.

Здесь Рг- = () — вектор с компонентами,.

Х^В^С") гС? {^(Х, — ХМЧи Фол), 9 = 1,2,.

Р=1 «' г°Л го = ((])) собственный вектор матрицы.

Г0,2,.

О Ь12 с компонентами.

С) I гиГ, а ц — (| вектора, удовлетворяющие уравнению.

Г1.2.

0.0.27).

В := (- 2 I, Ь12 = (с2в{Х2 — Х^од, -0о, 2), (0.0.28).

Г (Л = ГСЛ = (0.0.29) /2|М 0,2 >/2 ' ^ - в — л^е)^ = 2 гСЯдЮ + 7#>Л?> - (0.0.30).

5=1 и ортогональные векторам j — 1,2, г > 1. Верны оценки лР (Х)| < С’У (Х), < &е*(Х), (0.0.31) гс? е С — некоторые константы, не зависящие от г, э, ц, X. Выполнено е{Х) 0 при т (Х) +оо. (0.0.32).

Замечание 0.2. Заметим, что в формулах (0.0/29) знаменатель в нуль не обращается, так как коэффициент Ь2, определяемый равенством (0.0.28), равномерно отделён от нуля в силу условия (0.0.17).

Замечание 0.3. Отметим, что решения задачи (0.0.30), ортогональные а) векторам Гр, .7 = 1,2 при всех г ^ 1, существуют и единственны. Данный факт доказывается в главе 4 в процессе доказательства теоремы 0.6.

В случае кратности 2 + 0 положим ^¿-(Л) = («% — Л)» 1, где г ^ 2, Лес/, и.

Х) = тах { гпах тах Ц^О • - Х^о,.? тах тах.

Хеи.

1ТЧ.

0.0.33).

Теорема 0.7. Пусть операторы 7~1о, Их> ъ — 1″ • • ¦" к, самосопряжены, а Xо — собственное значение кратности 2 + 0 и выполнено неравенство к (С^Хг ~ Хг)(Щ — Ло)-1А<5(Х, — Хг) фоЛ, фо, 1) ы^Сп) г=2 к ^ 2 —? (?х5(Х! — Х^Пг — ЛоГЗДХ, — х2) ф0,2, Фол) щж,<�€п) 1=2 к 4|? — Хг)(П> - ЛоГ^-ЗД- - Х2УФо.2^, 1) г=2 СеХ),.

0.0.34) где С > 0 — некоторая константа, не зависящая от X. Тогда при достаточно больших т (Х) в окрестности II существуют ровно два (с учетом кратности) собственных значения ^ = 1,2, возмущенного оператора %х, которые сходятся к собственному значению Ло при т (Х) —> +оо. Собственные значения Х^, j = 1,2, представимы в виде сходящихся для достаточно больших т{Х) рядов оо.

А^Ао + ^Л^Х). (0.0.35) 1.

Соответствующие собственные функции > 3 — 2- можно выбрать так, что они представимы в виде сходящихся в ?2т (11а-, Сп) для достаточно больших т (Х) рядов.

Фх (х) =г$(Х)<�ф0Л (х — ХО + г$МХ)(х — Хг).

Л^., (0.0.36).

7=1 г=1.

Ряды (0.0.35), (0.0.36) сходятся равномерно по X для достаточно больших т (Х). Члены данных рядов определяются равенствами.

Л^ = Л®- = о, (0.0.37).

А? = ~ + Ъ22 + (-1)^(Ьп — Ь22)2 + ф122^, 7 = 1,2, к.

Ьа = Е —, г, 3 = 1,2,.

Ч—ь.

1 ?=1 (0.0.ЗУ) 0, = -{'Ндо)~1?я${Хя — Хг) фо^, Я ^ 2, ?=1 «7=2 / к -{НдАо)» 1 — ХЯ) Ф% д > 2,.

0.9.38).

4=2.

0.0.41).

Ф[й = Ш+ гя-1.1™яЛ + ^-1.2², д > 2, г > 2, Я г>3,.

0.0.42).

7=2 г—1 к.

—хя)Фм-1 ь ^ 3>

2 д=2 / $ 8 — Ао) -1 (? — 2 — Х*)^.

4=2.

— ХОЙ!: 1, О 2, 1³. г л /У^ Здесь г?> =.

Г0,2, собственные вектора матрицы.

В := I Ь-П ь12 с компонентами.

М).

4,1 =.

Лз) 0,2.

Ь2 &22, Ь2.

Ьц — ь22 + (—1 л / (&11 — Ъ22у + 41 М².

ЪП — Ь22 + (-1)У (Ьп-Ь22)2 + 4|&12|2) / 4,1.

6?2 + | 6п — Ь22 + (-1)У (611 — 622)2 + 4|612|2 вектора, удовлетворяющие уравнению.

В — Л"Е)г" =? г"Л" + г">Л<�Л — *?>,.

5=2 г > 3,.

0.0.43).

0.0.44).

0.0.45).

0.0.46).

0.0.47) р) и ортогональные векторам ц, р = 1, 2. Верны оценки.

Л?>рО| < < (0.0.48) где С — некоторые константы, не зависящие от г, э, ц, X. Выполнено е (Х) -> 0 при т (Х) -ч- +оо. (0.0.49).

Замечание 0.4. Решения задачи (0.0.47), ортогональные векторам р — 1,2 при всех г > 1 существуют и единственны. Данный факт доказывается в главе 4 в процессе доказательства теоремы 0.7.

Замечание 0.5. Отметим также, что ни один знаменатель в формуле (0.0.46) не обращается в нуль, так как выражение у (бц — 622)2 + 4|&12|2, имеет порядок ¿-г, а коэффициенты 6ц и 622 — порядок е2. Кроме того, выполнено условие (0.0.34), обеспечивающее равномерную отделённость от нуля внутренного корня.

Наиболее значимый результат второй главы диссертации — это ряды (0.0.9), (0.0.10), (0.0.18), (0.0.19), (0.0.35), (0.0.36), а также формулы и оценки для членов этих рядов. Ценность данного результата заключается в сходимости рядов к А^ и Для Достаточно больших т (Х). Более того, сходимость равномерна по X. Оценки (0.0.14), (0.0.31), (0.0.48) означают, что эти ряды сходятся как степенные. Эти оценки также означают, что ряды (0.0.9), (0.0.10), (0.0.18), (0.0.19), (0.0.35), (0.0.36) в определённом смысле можно трактовать и как асимптотические — порядок малости остатка увеличивается с увеличением номера остатка. Таким образом, эти ряды являются способом точного вычисления собственных значений а).

Ах и соответствующих им собственных функций фх ¦ Члены данных ргдов задаются формулами (0.0.11) — (0.0.13), (0.0.20) — (0.0.30), (0.0.37).

0.0.47).

Отметим, что метод, с помощью которого были построены ряды (0.0.9), (0.0.10), (0.0.18), (0.0.19), (0.0.35), (0.0.36), применим и в общем случае, то есть, при произвольной кратности предельного собственного значения. Вместе с тем, как уже было отмечено выше, процесс построения.

Л" Л<+>

— ы-?-м-о.

Рис. 3: Первые поправки собственных значений (случай кратности 14−1) рядов, аналогичных (0.0.9), (0.0.10), (0.0.18), (0.0.19), (0.0.35), (0.0.36), в общем случае крайне громоздкий. Именно поэтому в диссертации мы ограничились лишь двумя наиболее типичными случаями кратности 1 + 1 и 2 + 0 предельного собственного значения. При этом условия (0.0.17), (0.0.34) обеспечивают расщепление возмущённых собственных значений на уровне первых ненулевых поправок.

Обсудим теперь вид первых поправок собственных значений возмущённого оператора Их из теорем 0.6, 0.7. Как следует из (0.0.20), в случае кратности 1 + 1 первые поправки возмущённых собственных значений равны по модулю, но противоположны по знаку, то есть, симметричны относительно нуля (см. рис. 3). Отметим, что при этом на возмущения не накладываются никакие существенных дополнительных условий, кроме условий (0.0.17), (0.0.34). Ранее подобный эффект был описан в работе [33] для оператора Шрёдингера с парой одинаковых разбегающихся потенциалов и в работах [23], [24] для оператора Лапласа с разбегающимися возмущениями, аналогичными нашим, если весовые функции считать финитными. Случай предельной кратности 2+0 не исследовался для’возмущений потенциалами. Согласно формуле (0.0.14), в этом случае первые поправки возмущённых собственных значений равны нулю и поэтому их также можно считать симметричными относительно нуля (см. рис. 4). Более того, симметричное расположение первых поправок возмущённых собственных значений относительно нуля является достаточно общим эффектом. А именно, предположим, что число разбегающихся возмущений равно двум (к = 2), а До — собственное значение оператора И кратности р и собственное значение оператора Нъ кратности д. Символами О.

Рис. 4: Первые поправки собственных значений (случай кратности 2 + 0) а) (1) ъ 3 — 1, ¦ • • и 3 = будем обозначать собственные функции операторов 7{ и Т~С2, соответствующие собственному значению Ло-Предполагаем, что р ^ д. Согласно теореме 0.4, существует ровно р + д а) возмущённых собственных значений Л^, з = 1,., р + д, сходящихся к Ло. В этом случае также применима описанная выше схема построения рядов (0.0.18), (0.0.19), (0.0.35), (0.0.36). Её применение приводит к, аналогичным рядам. Первые члены рядов для возмущённых собственных значений имеют вид где у = 1,., р 4- д. Из первых поправок А^ первые д-р равны нулю. Остальные 2р поправки имеют вид г = 1,. где цг — собственные значения матрицы ВВ*, а матрица В задаётся формулой.

— Х2)4% 4д}) • • ¦

В:=.

С^Х, — Х2) г/Ц 4д}) • • • (АОД — Х2) Ф1ЦФ{?)!

Здесь символ * означает эрмитово сопряжение, а под символом (•, •) понимается скалярное произведение в пространстве ½ (К, 6*- С").

Другими словами, если Ло — предельное собственное значение суммарной кратности р 4- д, то существует ровно р + д собственных значений возмущённого оператора ИхУ д — р таких собственных значений возмущённого оператора %х первые поправки равны нулю, а оставшиеся 2р собственных значений возмущённого оператора %х объединяются в р пар. В каждой такой паре собственных значений первые поправки равны по модулю, но противоположны по знаку (см. рис. 5). л<�ои лр+).

— М-5ИЕ-И-МгМу| 0 ^ ^ р Ч~Р р

Рис. 5: Первые поправки собственных значений (случай произвольной кратности).

Отметим, что результаты диссертационной работы можно обобщить. Во-первых, вместо пространства можно рассматривать произвольную периодическую область. Во-вторых, невозмущённым оператором может быть не только дифференциальный оператор произвольного порядка, но и некоторый абстрактный оператор, удовлетворяющий определённому набору требований. Этот оператор с конечным числом разбегающихся возмущений в произвольной периодической области многомерного пространства рассматривался нами в работах [4], [30]. Техника, результаты и все эффекты там в целом остаются без изменений и именно поэтому для наглядности в диссертации рассматривается только случай дифференциального оператора во всем пространстве. Более того, технику можно перенести и для анализа других спектральных характеристик операторов с разбегающимися возмущениями, например, резонансов. Примером такого применения техники служит статья [26].

Результаты первой главы диссертации опубликованы в работах [31], [6], [4]. В статье [4] Борисову Д. И. принадлежит постановка задачи. Результаты второй главы диссертации опубликованы в работах [7], [8], [30]. Из результатов совместной работы в диссертацию автором включены только результаты, полученные им лично.

Автор выражает благодарность научному руководителю Борисову Д. И. за постановку задачи и научное руководство в процессе работы над диссертацией.

1. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Спектральная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве. Санкт-Петербург: Издательство Ленинградского университета, 1980. — 264 с.

2. Борисов Д. И. О спектре двумерного периодического оператора с малым локализованным возмущением. // Известия РАН, Серия математическая. 2011. — Т. 75. — № 2. — С. 29−64.

3. Борисов Д. И. Дискретный спектр пары несимметричных волноводов, соединенных окном. // Математический сборник. 2006. — Т. 197. -№ 4. — С. 3−32.

4. Борисов Д. И., Головина A.M. О резольвентах периодических операторов с разбегающимися возмущениями. // Уфимский математический журнал. 2012. — Т. 4. — № 2. — С. 65−74.

5. Гадылыпин P.P. О локальных возмущениях оператора Шредингера на оси. // Теоретическая и математическая физика. 2002. — Т. 132. — № 1. — С. 97−104.

6. Головина A.M. Резольвенты операторов с разбегающимися возмущениями. // Математические заметки. 2012. — V. 91. — № 3. — С. 464 466.

7. Головина A.M. О дискретном спектре возмущённого периодического дифференциального оператора. // Доклады АН. 2013. — Т. 448. -№ 3. — С. 1−3.ill.

8. Головина A.M. О спектре периодических эллиптических операторов с разбегающимися возмущениями в пространстве. // Алгебра и анализ. 2013. — Т. 25. — № 5. — С. 32−60.

9. Доброхотов С. Ю., Колокольцов В. Н. Об амплитуде расщепления нижних энергетических уровней оператора Шрёдингера с двумя симметричными ямами. // Теоретическая и математическая физика. -1993. Т. 94. — № 3. — С. 426−434.

10. Доброхотов С. Ю., Колокольцов В. Н, Маслов В. П. Расщепление нижних энергетических уровней уравнения Шрёдингера и асимптотика фундаментального решения уравнения. // Теоретическая и математическая физика. 1991. — Т. 87. — № 3. — С. — 323−375.

11. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. Москва: Издательство Мир, 1972. 740 с.

12. Колмогоров А. Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. Москва: Издательство Физматлит, 2004. 572 с.

13. Маркушевич А. И. Теория аналических функций. Москва: Издательство Наука, 1968. Т. 1. — 486 с.

14. Олейник O.A., Иосифьян Г. А., Шамаев A.C. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. Москва: Издательство МГУ, 1990. 311 с.

15. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. II: Гармонический анализ. Самосопряжённость. Москва: Издательство Мир, 1978. 394 с.

16. Цикон X., Фрёзе Р., Кирш В., Саймон Б. Операторы Шрёдингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии. Москва: Издательство Мир, 1990. 209 с.

17. Adams R.A. Sobolev Spaces. New York: Academic Press, 1975. 268 p.

18. Agmon S., Douglis A. and Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions, II. // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1964. — V. 17. — P. 35−92.

19. Ahlrichs R. Convergence properties of the intermolecular Force seriesexpansion). // Theoretica Chemica Acta. 1976. — V. 66. — № 1. — P. 7−15.

20. Aktosun T., Klaus M. and Cornelis van der Mee. On the number of bound states for the one-dimensional Srodinger equation. // Journal of Mathematical Physics. 1998. — V. 39. — № 9. — P. 4249−4259.

21. Albeverio S., Gesztesy S., H0egh-Krohn, H. Holden R. Solvable models in quantum mechanics. 2nd ed. AMS Chelsea Publishing. Providence, Rhode Island, 2005. 488 p.

22. Aventini P. and Seilcr R. On the electronic spectrum of the diatomic molecular ion. // Communications in Mathematical Physics. 1975. — V. 41. — № 2. — P. 119−134.

23. Borisov D.I. Asymtotic behaviour of the spectrum of a waveguide with distant perturbation. // Mathematical Physics, Analysis and Geometry.- 2007. V. 10. — № 2. — P. 155−196.

24. Borisov D.I. Distant perturbation of the Laplacian in a multi-dimensional space. // Annates Henri Poincare. 2007. — V. 8. — № 7. — P. 1371−1399.

25. Borisov D.I. and Exner P. Exponential splitting of bound in a waveguide with a pair of distant windows. // Journal of Physics A: Mathematics and General. 2004. — V. 37. — № 10. — P. 3411−3428.

26. Borisov D., Exner P., Golovina A. Tunneling resonances in system without a classical trapping. // Journal of Mathematical Physics. 2013. -V. 54. 1. -id. 12 102.

27. Davies E.B. The twisting trick for double well Hamiltonians. // Communications in Mathematical Physics. 1982. — V. 85. — № 3. -P. 471−479.

28. Davies E.B. Spectral theory and differential operators. New York: Cambridge University Press, 1995. 182 p.

29. Dobrohotov S.Yu., Kolokoltsov V. N, Maslov V.P. Quantization of the Bellman Equation, Exponential Asymptotics and Tunneling. // Adv^nc^s in Soviet mathematics. 1992. — V. 13. — P. 1−46.

30. Golovina A.M. Discrete eigenvalues of periodic operators with distant perturbations. // Journal of Mathematical sciences. 2013. — V. 189. -№ 3. — P. 342−364.

31. Golovina A.M. On the resolvent of elliptic operators with distant perturbations in the space. // Russian Journal of Mathematical Physics.- 2012. V. 19. — № 2. — P. 182−192.

32. Graffi V., Harrell II E. V and Silverstone H.J. The ^ expansion for Hp. analyticity, summability and asymptotics. // Annals of Physics. 1985. V. 165. № 2. — P. 441−483.

33. Harrell E.M. Double wells. // Communications in Mathematical Physics.- 1980. V. 75. — JV~ 3. — P. 239−261.

34. Harrell E.M. and Klaus M. On the double-well problem for Dirac operators. // Annales de l’lnstitut Henri Poincare. 1983. — V. 38. -№ 2. — P. 153−166.

35. H0egh-Krohn R. and Mebkhout M. The ^ Expansion for the Critical Multiple Well Problem. // Communications in Mathematical Physics. -1983. V. 91. — № 1. — P. 65−73.

36. Hunziker W. Cluster properties of multiparticle systems. // Journal of Mathematical Pysics. 1965. — V. 6. — № 1. — P. 6−10.

37. KaTo T. Boundedness of some pseudo-differential operators.// Osaka Journal of Mathematics. 1976. — V. 13. — № 1. — P. 1−9.

38. Klaus M. Some remarks on double-wells in one and three dimensions. // Annales de l’Institut Henri Poincare. 1981. — V. 34. — № 4. — P. 405−417.

39. Klaus M. On the bound state of Schrodinger operators in one dimension. // Annals of Physics. 1977. — V. 108. — № 2. — P. 288−300.

40. Klaus M. and Simon B. Binding of Schrodinger particles through conspiracy of potential wells. // Annales de l’Institut Henri Poincare, section A. 1979. — V. 30. — № 2. — P. 83−87.

41. Klaus M. and Simon B. Coupling constants threshold in nonrelativistic quantum mechanis. I. Short-range two-body case. // Annals of Physics.- 1980. V. 130. — № 2. — P. 251−281.

42. Kondej S. and Veselic I. Lower bound on the lowest spectral gap of singular potential Hamiltonians. // Annales Henri Poincare. 2007. -V. 8. — № 1. P. 109−134.

43. Kostrykin V. and Schrader R. Cluster properties of one particle Schrodinger operators, I. // Reviews in Mathematical Physics. 1994. V. 6. № 5. — P. 833−853.

44. Kostrykin V. and Schrader R. Scattering theory approach to random Schrodinger operators in one dimension. // Reviews in Mathematical Physics. 1999. — V. 11. — № 2. — P. 187−242.

45. Morgan J.D.(III) and Simon B. Behavior of molecular potential energy curves for large nuclear separations. J J International journal of quantum chemistry. 1980. — V. 17. — № 2. — P. 1143−1166.

46. Pinchover Y. On the localization of binding for Srodinger operators and its extension to elliptic operators. // Journal of mathematical analysis and its applications. 1995. — V. 41. — № 6. — P. 57−83.

47. Reity O.K. Asymptotic expansions of the potential curves of the relativistic quantum-mechanical two-Coulomb-center promlem. // Proceeding of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. 2002. -V. 43. — № 2. — P. 672−675.

48. Tamura H. Existense of bound states for double well potentials and the Efimov effect. // Lecture notes in Mathematics. 1990. — V. 1450. — P. 173−186.

49. Wang X. On the existence of the A^-body Efimov effect. // Journal of functional analysis. 2004. — V. 209. — № 1. — P. 137−161.

50. Wang X., Wang Y. Existence of two-cluster threshold resonanse and the AT-body efimov effect. // Journal of mathematical physics. 2005. — V. 46. — № 11. — P. 156−182.