Обработка статистической информации о надежности линии привода 3-го формирующего ролика 1-й моталки

Обработка статистической информации о надежности исследуемого объекта

Первое, что необходимо иметь — это документ, в котором зарегистрированы моменты отказов оборудования. Виды таких документов рассмотрены в первой главе пособия.

Такой документ будем называть первичной статистической совокупностью. Рассмотрение и осмысление такого документа затруднительно с целью представить себе характер распределения.

Первый шаг к осмыслению материала — это его упорядочение, расположение в порядке возрастания значений наработок. Полученный ряд будем называть упорядоченной статистической совокупностью. По упорядоченной статистической совокупности уже можно построить статистическую функцию распределения.

Характерной особенностью работ при проведении испытаний на надежность в процессе эксплуатации изделий является повышенная опасность грубых ошибок. Для статистической информации о надежности сравнительна высока вероятность попадания в выборку аномальных реализаций либо как результат ошибки, например в фиксации момента отказа, либо как результат ошибки при классификации отказов.

Исходные данные:

Вариант № 4

Линия привода 3-го формирующего ролика 1-й моталки.

Наработки, сут.: 14,8,8,7,9,36,75,41,70,48,22,15,18,8,23,57.

1. Упорядочение исходной выборки наработок до отказа

Упорядочим исходную выборку:

7,8,8,8,9,14,15,18,22,23,36,41,48,57,70,75

N=16 шт.

Проверка принадлежности необычайно малой или большой наработки к исходной выборке может быть осуществлена с помощью F-распределения для заданного уровня значимости и фактического числа наработок (табл. 1 прил.) [1]

Если выполняется равенство

(1.1)

то наработка необычно малая и не должна приниматься во внимание.

Если выполняется равенство

(1.2)

то наработка необычно большая и ее следует отбросить, где r — число наработок до отказа;

t_min — минимальное значение наработки;

t_max — максимальное значение наработки.

Процентили F-распределения находятся из табл. 1 прил. [1]

В соответствии с формулой (1.1) находим:

выборка статистический экспоненциальный распределение Из табл. 1 прил. для =0,05

Следовательно, наработка до отказа t₁ = 7 сут. не является необычно малой и ее нельзя исключать из выборки.

По формуле (1.2) находим:

По табл. 1 прил. для =0,05 [1]

Вывод — наработка t = 75 сут. не является необычно большой и ее нельзя исключать из выборки.

2. Проверка статистических гипотез

2.1 Проверка статистической гипотезы о соответствии экспоненциальному распределению

Для проверки статистической гипотезы наиболее мощным является критерий Бартлетта:

(2.1)

где — оценка средней наработки до отказа;

r — число наработок до отказа;

t_i — значение i-той наработки.

Все вычисления сведем в таблицу:

Таблица 1

Выполняется условие:

;

где для заданного уровня значимости, числа отказов r находится из табл. 5 прил., следовательно гипотеза о принадлежности выборки к экспоненциальному распределению не отвергается.

Проверку можно осуществить и с помошью критерия Пирсона:

(2.2)

где — теоретическая частота, — число интервалов.

Все вычисления сведем в таблицу:

Таблица 2

Число интервалов — .

Протяженность интервалов — .

Теоретическая частота ;

Для и к-2=6−2=4 по табл. 5 прил. находим ;

Так как соблюдается неравенство:

то гипотеза о принадлежности выборки к генеральной совокупности, описываемой экспоненциальным распределением, не отвергается.

2.2 Проверка статистической гипотезы о ее соответствии распределению Вейбулла

Возможность принадлежности исходной выборки к распределению Вейбулла проверяем по критерию «S-статистика»:

, (2.3)

где — весовой коэффициент, значения которого берутся из табл. 4 прил. [1]

— означает, что берется целая часть числа.

Вычисления сведем в таблицу:

Таблица 3

Из табл. 5 прил. для q=0.9 и r=16 находим:

Следовательно гипотеза о принадлежности выборки к распределению Вейбулла не отвергается.

2.3 Проверка статистической гипотезы о соответствии выборки нормальному или логарифмически нормальному распределению

Проверка осуществляется с использованием критерия Пирсона:

(2.4)

Осуществим разбиение на интервалы:

.

.

Вычисление теоретических частот сведем в таблицу:

Таблица 4

из табл. 5 прил.

Определим критерий согласия Пирсона:

Следовательно, гипотеза о принадлежности исходной выборки к нормальному распределению отвергается.

3. Оценивание параметров распределений

3.1 Аналитические методы получения точечных оценок

Экспоненциальное распределение

Для получения точечной оценки параметра экспоненциального распределения используют статистику:

— при плане [NUN]

. (3.1)

Распределение Вейбулла

Для получения точечных оценок параметров «а» и «b» распределения Вейбулла используются статистики при плане [NUN]:

;; (3.2)

Вычисление параметров «а» и «b» по формулам (3.2) сведем в таблицу:

Таблица 5

; .

Нормальное распределение

Для получения точечных оценок параметров нормального распределения и используют статистики:

— при плане [NUN]

;, (3.3)

Получим:

;

.

3.2 Графическое оценивание параметров распределений

Графическое оценивание параметра экспоненциального распределения.

Значения эмпирической функции распределения для экспоненциального распределения рассчитываются по зависимости:

(3.4)

Получим:

;;; ;

;;; ;

;;; ;

;;; .

Наносим на вероятностную сетку (см. прил. 1) точки с координатами:

[7; 6], [8; 12], [8; 18], [8; 24], [9; 30], [14; 36], [15; 42], [18; 48], [22; 54], [23; 60], [36; 66], [41; 72], [48; 78], [57; 84], [70; 90], [75; 96] и проводим через них прямую. Абсцисса точки с ординатой 63.8 соответствует величине 28.7, тогда параметр:

.

Графическое оценивание параметров распределения Вейбулла.

Оценивание параметров распределения Вейбулла можно найти по вероятностной сетке (см. прил. 2), используя зависимость:

; (3.5)

где — накопленная интенсивность отказов.

Вычисление накопленной частоты отказов производят в следующей последовательности:

— наработки до отказа и до цензурирования выстраиваются в вариационный ряд;

— для каждого значения вычисляются соответствующие значения оценки накопленной интенсивности отказов:

; ,

где — инверсионный номер изделия, то есть ранг, отсчитанный с конца вариационного ряда.

Если точки с координатами [lni; lnti] на вероятностной сетке удовлетворительно апроксимируются прямой, то переходят к оценке точечных значений параметров a и b.

Пересечение полученной прямой с линией, проведенной параллельно оси абсцисс из точки с ординатой y=0, дает точку, абсцисса которой характеризует точечную оценку параметра а.

Точка пересечения прямой, проведенной из специальной точки, А параллельно построенной прямой, со шкалой b дает искомую оценку параметра b.

Оценка параметра, а равна абсциссе точки пересечения построенной прямой и линией, проведенной из точки с ординатой F (x)=0,623 или у=0.

Вычисления накопленной частоты сведем в таблицу 6.

Наносим на вероятностную сетку точки с координатами [x=t; y=lnЛ_i] и проводим через них прямую.

Пересечение прямой с линией, проведенной параллельно оси абсцисс из точки с ординатой y=0, дает оценку параметра а:

а=33.

Из точки, А проводим луч параллельно построенной прямой до пересечения со шкалой b. Точка пересечения дает оценку параметра b=1.35.

Таблица 6

Графическое оценивание параметров нормального распределения.

Значения эмпирической функции распределения для нормального распределения рассчитываются по зависимости:

. (3.6)

Получим:

;;; ;

;;; ;

;;; ;

;;; .

На вероятностную сетку (см. прил. 3) наносим точки с координатами:

[17; 4], [25; 10], [29; 16], [43; 22], [57; 28], [96; 35], [115; 41], [142; 47], [155; 53], [170; 59], [174; 65], [180; 72], [190; 78], [230; 84], [235; 90], [260; 96].

4. Оценивание показателей безотказности

Значения показателей безотказности, определяемые по результатам испытаний, являются оценками показателей надежности.

За значения показателей надежности принимают точечную оценку или границы доверительного интервала (нижнюю (НДГ) и верхнюю (ВДГ) границы).

Экспоненциальное распределение.

Средняя наработка:

сут. (4.1)

Нижняя доверительная граница средней наработки:

(4.2)

сут.

Значения критерия хи-квадрат приведены в табл. 5 прил [1]

Гамма-процентная наработка:

сут. (4.3)

Вероятность безотказной работы:

. (4.4)

Интенсивность отказов:

.

Распределение Вейбулла.

Средняя наработка:

сут. (4.5)

Значения гамма-функция Г (х) приведены в табл. 6 прил. [1]

Нижняя доверительная граница средней наработки:

сут. (4.6)

Значения квантили распределения статистики приведены в табл. 7 прил. [1]

Гамма-процентная наработка:

сут. (4.7)

Вероятность безотказной работы:

(4.8)

Интенсивность отказов:

(4.9)

5. Восстановление работоспособного состояния

Металлургическое оборудование является восстанавливаемой системой и поэтому, время ее функционирования во много раз больше средней наработки на отказ.

В этом случае среднее число отказов на интервале [0, t] приближенно равно:

отказа, (5.1)

Если система восстанавливается путем замены входящего в его состав отказавшего элемента и функционирует время, то необходимое число запасных элементов, необходимых для непрерывной работы системы до момента времени равно:

(5.2)

Распределение Вейбулла.

— для года шт.

— для месяца

шт.

Для определения гарантированного количества запасных частей, используется распределение Пуассона, которое позволяет подсчитать вероятность отказов менее или равных r:

(5.3)

Вероятность того, что в год 4 запасных частей достаточно составляет 70%.

И вероятность более 4 отказов за год составляет:

Вывод: выполнив данную курсовую работу, я провела анализ исходных данных с целью установления закона распределения отказов, дала точечную оценку параметров распределений, оценила показатели безотказности. Оценку параметров распределений провела двумя способами: аналитически и графическим методом. Так как графический метод наиболее точен, то установили, что совокупность наработок принадлежит к распределению Вейбулла с параметрами: а=33 и b=1.35.

1. Методические указания по выполнению практических занятий для студентов специальности 15.04.00. «Металлургические машины и оборудование», Магнитогорск: МГТУ, 2007. 46 с.;

2. Жиркин Ю. В. Надежность, эксплуатация и ремонт металлургических машин:

Учебник. — Магнитогорск: МГТУ, 2002. 330 с.