Простейшие ГМТ пространства. 
Следующие девять ГМТ пространства являются простейшими (в определенном смысле первоначальными)

I. Множество точек пространства, удаленных от данной точки O на заданное расстояние R, есть по определению сфера (O, R) с центром O радиуса R. Ее можно рассматривать и как ГМТ пространства, из которых данный отрезок виден под прямым углом.

II. Множество точек пространства, каждая из которых равноудалена от двух данных точек A и B, есть плоскость, проходящая через середину O отрезка AB перпендикулярно этому отрезку (плоскость симметрии точек A и B). Действительно, проведем через прямую AB произвольную плоскость б. Множество точек плоскости б, каждая из которых равноудалена от точек A и B, есть серединный перпендикулярк отрезку AB. Объединение всех таких перпендикуляров, получаемых во всех плоскостях б, и есть указанная плоскость .

III. Геометрическое место точек пространства, удаленных от данной плоскости б на данное расстояние h, есть пара плоскостей, параллельных данной плоскости a. Эти же две плоскости можно рассматривать как объединение прямых, каждая из которых параллельна плоскости a и удалена от нее на расстояние h.

IV. ГМТ пространства, равноудаленных от двух данных параллельных плоскостей, есть параллельная им плоскость, делящая пополам любой отрезок с концами на данных плоскостях.

V. ГМТ пространства, удаленных от данной прямой l на данное расстояние r, есть круговая цилиндрическая поверхность с осью l радиуса r. Ее можно рассматривать как объединение всех прямых, каждая из которых параллельна l и удалена от нее на расстояние r, а также как объединение всех окружностей радиуса r с центрами на l в плоскостях, перпендикулярных прямой l.

VI. ГМТ пространства, каждая из которых равноудалена от двух.

данных параллельных прямых a и b, есть плоскость г, перпендикулярная плоскости этих прямых и содержащая среднюю линию m полосы между этими прямыми (рис. 2).

Рис. 2 Рис. 3

VII. ГМТ пространства, каждая из которых равноудалена от двух данных пересекающихся прямых a и b, есть пара взаимно перпендикулярных плоскостей, перпендикулярных плоскости данных прямых и содержащих биссектрисы углов между ними (рис. 3).

VIII. Геометрическое место точек, каждая из которых равноудалена от двух данных пересекающихся плоскостей, состоит из двух перпендикулярных плоскостей — биссекторных плоскостей двугранных углов между данными плоскостями.

IX. ГМТ пространства, каждая из которых равноудалена от трех неколлинеарных точек A, B, C есть пересечение двух геометрических мест II: плоскости г симметрии точек A и B и плоскости б симметрии точек B и C, т. е. прямая l = г? б (рис.). Точка O = l? (ABC) является центром окружности, описанной около треугольника ABC.

По этой причине прямая l называется осью окружности ABC. Она принадлежит также и плоскости b симметрии точек C и A.

Рис. 4.