Критерий Байеса и математическая статистика

Для принятия того или иного инвестиционного решения необходимо умение соотнести предполагаемый риск по каждому из возможных вариантов инвестирования с ожидаемыми доходами. Для решения этой проблемы разработан ряд специальных математических моделей. Наиболее привлекательной для определения инвестиционного риска при инновациях является модель, объединяющая в себе критерий Байеса (метод платежной матрицы) и математическую статистику (вариация, стандартная девиация, коэффициент вариации).

При рассмотрении данной модели необходимо обратить внимание тот факт, что все рассматриваемые примеры и выводы предполагают существование так называемых классических «состояний экономики» (глубокий спад, небольшой спад, средний рост, небольшой подъем, мощный подъем).

Рассмотрим проблему определения способов измерения риска при инвестициях в два инновационных проекта:

• 1 вариант. 1 проект предполагает чистые издержки в размере 100 тыс. дол. и нулевые поступления в течение года и получение дохода в конце года, который будет зависеть от состояния экономики.
• 2 вариант. Стоимость Проекта 2 равна 100 тыс. дол. Доход также будет получен в конце года, но его размер отличается от дохода, ожидаемого по первому проекту.

Поскольку важно учесть прогнозируемые размеры дохода при всех возможных состояниях экономики, по каждому варианту инвестирования делается расчет ожидаемого дохода (при условия наличия информации по предполагаемой инновации). Распределение вероятностей может производиться тремя способами: экспертным (субъективным), статистическим (объективным), и комбинированным. Объективное определение базируется на анализе подобных ситуаций в прошлом, тогда как субъективное представляет собой мнение отдельного человека или экспертов. В тех случаях, когда проекты подобного типа повторяются достаточно часто, не так сложно дать объективную оценку сходному проекту или оценить распределение вероятностей по возможным финансовым перспективам крупных компаний. Однако статистический метод требует наличия значительного массива данных, которые далеко не всегда имеются в распоряжении финансового менеджера. При их отсутствии приходится прибегать к экспертному методу или комбинированному.

Таблица № 3. Оценка ожидаемого дохода по 2-м альтернативным инвестиционным проектам.

Анализ таблицы показывает, что каждый из возможных результатов в любом варианте имеет определенную вероятность. Если умножить каждый возможный результат на его вероятность, а затем суммировать эти величины, то получим средневзвешенную, называемую «ожидаемой нормой дохода» (результаты расчетов ожидаемых норм дохода по каждому варианту инвестирования приведены в нижней строке таблицы.

Для измерения риска при инвестировании используется ряд показателей из области математической статистики. Прежде всего, это показатель вариации, который измеряет дисперсию вокруг величины ожидаемой нормы дохода. Чем больше вариация, тем больше дисперсия или разбросанность по сравнению с ожидаемой нормой дохода. Вариация представляет собой сумму квадратных отклонений (девиаций) от средней величины — ожидаемой нормы дохода, взвешенных по вероятности каждой девиации. Так, по Проекту 2 вариация будет равна 27.0.

Поскольку вариация измеряется в тех же единицах, что и доход, что и доход, то есть в %, возведенных в квадрат, оценить экономический смысл вариации для инвесторов представляется несколько затруднительным. Поэтому в качестве альтернативного показателя риска обычно используют показатель стандартной девиации (или среднее квадратичное отклонение), который является квадратным корнем вариации.

Стандартная девиация показывает, на сколько в среднем каждый возможный вариант отличается от средней величины. Иными словами, стандартная девиация — это среднее квадратичное отклонение от ожидаемой нормы дохода. По проекту 2 стандартная девиация составляет 5.2%, то есть каждый вариант по проекту 2 в среднем отличается от ожидаемой нормы дохода по этому проекту на 5.2%. тогда в случае нормального распределения дохода по данному проекту по теории вероятностей в 68 из 100 случаев (точнее с вероятностью 68,26%) будущий доход окажется между 7,8 и 18,2%. Вероятность того, что доход по ному проекту окажется в пределах между 2,6 и 23,4% составит 95,46%.

Однако стандартная девиация характеризует абсолютную величину риска по инвестиции, что делает неудобным сравнение инвестиций с различными ожидаемыми доходами. Для сравнения удобнее использовать относительный показатель риска, который представляет собой риск на единицу ожидаемого дохода. Этот показатель получил название коэффициента вариации. Он рассчитывается как отношение стандартной девиации к ожидаемой норме дохода.

Так, для проекта 2, по которому стандартная девиация равна 5,2%, ожидаемая норма дохода — 13%,.

Коэффициент вариации (риск на единицу ожидаемого дохода) будет равен 0,4. Рассчитав все показатели (ожидаемая норма дохода, вариация, стандартная девиация, коэффициент вариации) для рассматриваемых вариантов инвестирования, для удобства сведем эти данные в таблицу.

Таблица № 4. Оценка ожидаемого дохода и риска для двух альтернативных инвестиционных проектов.

Содержание таблицы показывает, что определение рискованности варианта инвестирования связано с тем, каким образом производится учет фактора риска. При оценке по общей массе дохода, то есть абсолютного риска, который характеризуется показателем стандартной девиации, проект 2 кажется более рискованным, чем проект 1 (стандартная девиация по проекту 2 составляет 5,2%, а по проекту 1 — 4,43%). Однако если учитывать относительный риск на единицу ожидаемого дохода (через коэффициент вариации), то более рискованным окажется все-таки проект 1 (коэффициент вариации по проекту 1 равен 0,42%, а по проекту 2 — 0,40%).