Модели и методы оптимального управления запасами

Управление материальными запасами представляет собой совокупность мероприятий по обеспечению рационального (а в идеале — оптимального) их уровня в производственно-коммерческих системах, неотъемлемой составной частью которых являются логистические системы или модели. Разнообразие реальных условий реализации логистических процессов в производственно-коммерческих структурах, наличие внешних возмущений создает множество возможных вариантов решения задач управлениями запасами. В настоящее время теория запасов предлагает для практического использования разнообразные экономико-математические модели, что требует их классификации.

Таблица 1.1 — Классификация моделей управления запасами:

Среди огромного разнообразия методов и моделей управления запасами на практике применяется достаточно ограниченное их количество, в основном те модели, которые позволяют получить относительно простые способы регулирования параметров заказа, поставок и уровней запасов на складе, а также не требуют больших объемов исходной информации и сложных методов контроля. Любая модель управления запасами, в конечном счете, должна дать ответ на два вопроса:

• 1. Какое количество продукции заказывать?
• 2. Когда заказывать?

Ответ на первый вопрос выражается через размер заказа, определяющего оптимальное количество ресурсов, которое необходимо поставлять каждый раз, когда происходит размещение заказа.

В зависимости от рассматриваемой ситуации размер заказа может меняться во времени. Ответ на второй вопрос зависит от типа системы управления запасами. Если система предусматривает периодический контроль состояния запаса через равные промежутки времени (например, еженедельно или ежемесячно), момент поступления нового заказа обычно совпадает с началом каждого интервала времени. Если же в системе предусмотрен непрерывный контроль за состоянием запаса, точка заказа обычно определяется уровнем запаса, при котором необходимо размещать новый заказ.

В таком случае необходимо рассмотреть модели оптимального управления запасами и отметить те главные задачи, которые направлены на решение основных проблем в управлении запасами.

Классическая модель управления запасами предназначена для оптимизации размера текущей части запаса и справедлива как для производственных, так и товарных запасов торговых организаций.

Оптимизировать размер заказа (партии поставки) означает, что необходимо найти такое его количественное значение, которое потребует минимальных затрат на формирование и содержание текущего запаса при заданных условиях.

Оптимальный размер партии поставляемых товаров и, соответственно, оптимальная частота завоза зависят от следующих факторов:

Объем спроса (оборота);

Расходы на транспортно-заготовительные;

Расходы по хранению запаса В качестве критерия оптимальности выбирают минимум суммы транспортно-заготовительных расходов и расходов на хранение.

И транспортно-заготовительные расходы, и расходы по хранению зависят от размера заказа, но характер зависимости каждой из этих статей расходов от объема заказа разный. Транспортно-заготовительные расходы при увеличении размера заказа уменьшаются, т.к. закупки и перевозки товаров осуществляются более крупными партиями, и, следовательно, реже. Расходы по хранению растут прямо пропорционально размеру заказа.

Графическое представление зависимости суммы транспортно-заготовительных расходов и расходов на хранение от размера заказываемой партии характеризует следующий график:

Рисунок 1.3 Зависимость суммы транспортно-заготовительных расходов и расходов на хранение от размера заказа:

Оптимальный размер заказа — S_опт.

Задача определения оптимального размера заказа наряду с графическим методом может быть решена и аналитически. Для этого необходимо минимизировать функцию, представляющую сумму транспортно-заготовительных расходов и расходов на хранение от размера заказа, т. е. определить условия, при которых:

С_общ=С_хран+С_трансп>min.

Где С_общ — общие затраты на транспортировку и хранение запаса;

С_{хран —} затраты на хранение запаса;

С_{трансп —} транспортно-заготовительные расходы.

Предположим, что за определенный период времени величина оборота составляет Q. Размер одной заказываемой и доставляемой партии S. Допустим, что новая партия завозится после того, как предыдущая полностью закончилась. Тогда средняя величина запаса составит S/2.

Введем размер тарифа (М) за хранение запаса. М измеряется долей, которую составляет издержки по хранению за период Т в стоимости среднего запаса за этот же период. Например, если М=0,1, то это означает, что издержки по хранению запаса за период составили 10% от стоимости среднего запаса за этот же период.

Теперь можно рассчитать, во что обойдется хранение товаров за период Т:

С_хран = М*S/2.

Размер транспортно-заготовительных расходов за период Т определится умножением количества заказов за этот период на величину расходов, связанных с размещением и доставкой одного заказа.

С_трансп = К*Q/S.

Здесь К — транспортно-заготовительные расходы, связанные с размещением и доставкой одного заказа; Q/S — количество завозов за период времени. Выполнив ряд преобразований, найдем оптимальный размер единовременно доставляемой партии (S_опт.), при котором величина суммарных затрат на хранение и завоз будет минимальной:

С_{общ =} М*S/2+ К*Q/S.

Минимум С_общ имеет в точке, в которой ее первая производная по S равна нулю, а вторая производная больше нуля.

Совершив данные преобразования, получаем:

S_{опт =} (2*К*Q)/M.

Полученная формула, позволяющая рассчитать оптимальный размер заказа, в теории управления запасами известна как формула Уилсона:

Экономически разумный размер заказа.

Классическая модель управления запасами (модель EOQ) предполагает соблюдение ряда условий:

Величина спроса постоянная или приблизительно постоянная. Если коэффициент использования запасов является постоянным, то уровень запасов также будет уменьшаться с постоянным коэффициентом;

Интервал отставания поставки (цикл заказа) известен как постоянная величина. Это означает, что заказ можно сделать в точке с определенными значениями временного параметра и размера запаса (уровень повторного заказа), которые обеспечат получение заказа (поступление поставки) в тот момент, когда уровень запасов будет равен нулю;

Отсутствие запасов (дефицит) недопустимо;

Размер заказа, период заказа и интервал поставки являются постоянными величинами.

Приведенные допущения упрощают модель логистического процесса, т.к. такие идеальные условия в реальных системах не встречаются. Поэтому модель EOQ имеет большое теоретическое значение, а ее практическое применение ограничено.

Однако на ее основе построено достаточно много модификаций, которые учитывают те или иные дополнительные условия.

Модель планирования дефицита.

Классическая модель определения оптимального размера заказа (формула Уилсона) не допускает возникновения дефицита товарно-материального ресурса, т. е. изначально в идеальных условиях формирования расхода запаса подразумевается безусловное удовлетворение спроса. Потери вследствие дефицитной ситуации в этих условиях не сопоставимы с издержками по содержанию запасов, что достаточно часто встречается в закупочной логистике производственных структур. Кроме того, на многих видах производств простои просто исключены по технологическим требованиям вне зависимости от причин их возникновения, в том числе и из-за дефицита материально-технических ресурсов. Однако в определенных условиях производства значительных потерь в условиях дефицитной ситуации можно избежать более эффективными способами. К таким способам, в частности, можно отнести временное изменение (корректировку) производственной программы, временную замену недостающих материальных ресурсов другими из имеющихся в наличии, временное изменение поставщика и др. Однако любые мероприятия по ликвидации дефицитных ситуаций требуют определенного времени и дополнительных финансовых затрат, зачастую весьма значительных. Поэтому лучше не допускать возникновение таких дефицитных ситуаций, а возможные отклонения от нормального хода логистических и прочих бизнес-процессов компенсировать наличием достаточных страховых запасов.

В определенных ситуациях дефицит все же может быть запланирован, т. е. его величиной и продолжительностью дефицитной ситуации можно управлять.

Методика определения оптимального размера заказа в таких условиях принципиально не отличается от вывода формулы Уилсона, но в ней необходимо учесть дополнительные затраты, связанные с дефицитом запаса (или с ликвидацией дефицитной ситуации).

Математические расчеты позволяют сделать вывод о том, что все параметры модели управления запасами в условиях, допускающих дефицит, могут быть сведены к классической модели EOQ с учетом соответствующих поправочных коэффициентов. Оптимальный размер заказа в условиях планируемого дефицита во многом будет определяться соотношением удельных затрат на хранение материального ресурса и удельных потерь от планируемого дефицита.

Обобщенная детерминированная модель оптимального размера заказа предусматривает периодическое поступление материального ресурса в запас и допущение дефицита в логистической системе.

Интервал поставки при заданных условиях распадается на четыре периода времени:

T=t₁ +t₂ +t₃ +t_4, t₁

Это — период накопления запаса, когда материальный ресурс поступает с интенсивностью p и одновременно расходуется с интенсивностью b; t₂ — период наличия запаса, когда происходит его потребление (расход) с интенсивностью b; t₃ — период нарастания дефицита с интенсивностью b; t₄ — период восполнения дефицита (время ликвидации дефицитной ситуации), когда наличный запас по-прежнему отсутствует, но материальный ресурс начинает в нее поступать с интенсивностью p при наличии спроса b.

Период наличия запаса на складе или время хранения будет включать в себя два отрезка времени — период нарастания запаса и период его расхода:

t_{xp =} t₁ +t₂ = S^max/(p-b) + S^max/b= S^max/b • p/(p-b).

Где S — размер текущего запаса (максимальный).

Время дефицитной ситуации также будет складываться из двух периодов — времени нарастания (увеличения) размера дефицита и времени его ликвидации.

tдеф = t3 +t4 = Dmax/b + Dmax /(p-b) = Dmax/b • p/(p-b).

Где D — размер дефицита (максимальный).

Для организации работы логистической системы в данной хозяйственной ситуации необходимо определить три основные количественных параметра: размер заказа (Q), максимальный уровень запаса (S^max) и максимальный размер допустимого дефицита (D^max). Математически связь этих величин выглядит следующим образом:

Q = S^max + ?S + D^max + ?D.

Где ?S и? D — некоторые условные приращения уровня запаса и размера дефицита, корректирующие параметры системы, исходя из периодического поступления материального ресурса, т. е. в силу накопления запаса за определенный период времени на каждом цикле поставок.

Методика определения оптимального размера заказа, максимального уровня запаса и дефицита является общей (характерна и для других случаев). Необходимо построить функцию общих затрат на формирование и содержание запаса с учетом потерь от дефицита. Затем необходимо перейти к удельным затратам на единицу запасаемого материального ресурса и определить точку, в которой она будет достигать своего минимума. Выполнив необходимые действия, получим формулы для определения оптимального размера заказа:

Q* = EOQ • v (p/(p-b)) • v ((h+g)/g).

Максимального уровня запаса:

S^max = EOQ • v ((p-b)/p) • v (g/(h+g)).

Максимального уровня дефицита:

D^max = EOQ • v ((p-b)/p) • v (g/(h+g)) • v (h/g).

И оптимального интервала поставки:

T*=v (2k/(b•h)) • v (p/(p-b)) • v ((h+g)/g).

Где h — стоимость содержания единицы запаса в единицу времени, g — потери из-за дефицита единицы запаса в единицу времени.

Модель оптимизации запасов, описываемая данными формулами, является общим случаем однопродуктовой детерминированной математической модели управления запасами. В обобщенной детерминированной модели запасов и ее частных случаях основные факторы (издержки по хранению запасов, потери из-за дефицита материального ресурса, условно-переменная часть транспортно-заготовительных расходов и, главное, оптовая цена закупки) считаются постоянными.

Много продуктовая статическая модель с ограничениями складских помещений. Эта модель предназначена для систем управления запасами, включающие n (>1) видов продукции, которая хранится на одном складе ограниченной площади. Данное условие определяет взаимосвязь между различными видами продукции и может быть включено в модель как ограничение. Данная модель реализуется с помощью метода множителей Лагранжа (л).

В этом случае оказывается, что если складские мощности фирмы недоиспользуются, то л=0 и ограниченность вместимости склада не имеет практического значения.

Если же складские площади загружены полностью, то л>0 и это воздействует на оптимальный размер заказа в том отношении, что удельные издержки хранения как бы возрастают на величину 2л. Таким образом, величина 2л выступает как оценка балансового ограничения, т. е. является экономической оценкой ограниченной вместимости склада.

Однопродуктовая N-этапная динамическая модель В статических моделях управления запасами параметры запасов принимаются постоянными на протяжении всего горизонта планирования. В динамических моделях эти параметры могут изменяться в отдельные периоды (интервалы времени), что должно учитываться при принятии управленческих решений. При этом целевая функция задачи считается аддитивной, т. е. оптимальное решение на определенном интервале принимается с учетом предыдущего решения, независимо от ранее принятых решений и начального состояния системы.

В этой модели предполагается, что, хотя спрос достоверно известен, он может изменяться от этапа к этапу. Уровень запаса контролируется периодически. Хотя запаздывание поставки (выраженное фиксированным числом периодов) допустимо, в модели предполагается, что пополнение запаса происходит мгновенно в начале этапа. Наконец, дефицит не допускается.

Построение динамической детерминированной модели сводится к конечному горизонту времени. Это объясняется тем, что для получения числового решения соответствующих задач требуется использование метода динамического программирования, который в данном случае можно практически применять только при конечном числе этапов (шагов). Однако это не является серьёзным препятствием, т.к. спрос в отдалённом будущем обычно не оказывает существенное влияние на решение, принимаемое для рассматриваемого конечного горизонта времени. Кроме того, как правило, не имеет смысла предполагать, что продукция будет храниться в запасе бесконечно. Пусть:

Где:

Функция c_i(z_i) представляет интерес только тогда, когда затраты на покупку единицы продукции изменяются во времени или существуют разрывы цены.

Так как дефицит не допускается, то требуется найти оптимальное значения z_i, минимизирующие общие затраты на оформление заказов, закупку и хранение по всем N этапам. Затраты на хранение предполагаются пропорциональными величине:

Которая представляет собой объем запаса, переходящего из этапа i в этап i+1. В результате затраты на хранение на этапе. Это предположение вводится исключительно с целью упрощения, т.к. модель легко можно обобщить на случай произвольной функции затрат:

Заменив:

Аналогично для оценивания затрат на хранение можно воспользоваться величинами x_i или:

(xi + xi +1) / 2.

Построение модели динамического программирования упрощается, если представить задачу схематически. Каждый этап соответствует одному шагу.

Используя обратное рекуррентное уравнение, определим состояние системы на шаге i как объем исходного запаса x_i. Пусть f_i(x_i) — минимальные общие затраты на этапах i, i+1, …, N. Рекуррентное уравнение имеет вид.

Прямое рекуррентное уравнение можно получить, определив состояние на шаге i как объем запаса на конец этапа i. Эти состояния заданы величинами x_i+1. На любом шаге на величины x_i+1 наложены следующие ограничения:

Таким образом, в предельном случае объем заказанной продукции z_i на этапе i может быть настолько велик, что запас x_i+1 удовлетворяет спрос на всех последующих этапов. Пусть f_i — минимальные общие затраты на этапах 1, 2, …, N при заданной величине запаса x_i+1 на конец этапа i. Тогда рекуррентное уравнение записывается в виде:

Прямая и обратная постановка задачи с вычислительной точки зрения эквивалентны. Однако прямой алгоритм наиболее эффективен при анализе важного частного случая рассмотренной выше модели.

Методы анализа в логистическом менеджменте: метод ABC и метод XYZ.

Основная цель логистического анализа по методу ABC — классификация используемых (реализуемых) фирмой товарно-материальных ресурсов по ряду параметров для повышения точности планирования, организации, контроля, регулирования и сокращения логистических издержек.

Все системы пополнения запасов связаны с определенным порядком контроля их фактического уровня на складах, что требует затрат финансовых, трудовых и информационных, особенно для многономенклатурных запасов. Однако из общего числа наименований наибольшая стоимость запасов падает на относительно небольшое их количество. Эта закономерность связана с широко распространенным явлением, получившим отражение в законе выделения ведущего звена. В социально-экономической сфере данную закономерность открыл и теоретически обосновал в 1897 г. швейцарский экономист и социолог В. Парето. В самом общем виде закон Парето таков: в подавляющем большинстве случаев ограниченное число элементов, составляющих явление, обусловливает его возникновение.

На законе Парето и «правиле 20:80» основан метод контроля и управления многономенклатурными запасами — «метод ABC-анализа».

Алгоритм анализа состоит в том, что вся номенклатура материальных ресурсов (в процессе снабжения и производства) и готовой продукции (в процессе дистрибьюции) располагается в порядке убывания суммарной стоимости всех позиций на складах предприятия. При этом цену ресурса умножают на его количество, потребляемое в рассматриваемом периоде, после чего производится ранжирование в порядке убывания этих величин.

Результатом ABC-анализа является построение кривой Лоренца. Она характеризует кумулятивное возрастание величин двух взаимосвязанных признаков (в % к итогу), нанесенное на график и показывает степень концентрации отдельных элементов по группам.

Для исследуемых обычно соотношений количества и стоимости этот анализ приводит к следующим результатам: небольшое количество наименований деталей и материалов составляет большую часть стоимости, для большого количества наименований эта доля стоимости относительно мала.

Рисунок 1.4 — Взаимосвязь между количеством и стоимостью:

Таким образом, 15% деталей составляют 80% стоимости (группа А), 35% - 15% (группа В), 50% -5% (группа С).

Поэтому для деталей группы, А необходимо особенно точно рассчитывать потребность; оптимальную величину заказа; состояние запасов следует тщательно контролировать.

В случаях, если спрос на ресурс стохастичен (описывается вероятностными характеристиками), то метода ABC недостаточно. В этом случае требуется классификация ресурсов, исходя из характера и частоты спроса. В этом случае применятся метод XYZ-анализа, который позволяет произвести классификацию ресурсов фирмы в зависимости от характера их потребления и точности прогнозирования изменений в их потребности.

С помощью анализа XYZ ассортимент деталей, находящихся на складе распределяют в зависимости от частоты потребления.

Детали класса X характеризуются постоянной величиной их потребности.

Детали класса Y характеризуются заранее известными тенденциями определения потребности в них (например, сезонностью).

Детали класса Z потребляются нерегулярно, какие-либо тенденции потребления отсутствуют.

Иногда для распределения материалов на группы X, Y, Z используют коэффициенты вариации, определяемые по формуле:

Стохастические (вероятностные) модели управления запасами основаны на том, что главные параметры систем управления запасами являются случайными величинами.

Распределение этих параметров управления запасами подчинено, как правило, нормальному закону (распределение Гаусса) или экспоненциальному (показательному) закону.

В вероятностных моделях, так же, как и в детерминированных, норма текущего запаса, как правило, определяется половиной объема партии поставки (размера заказа).

В любой задаче управления запасами решается вопросы выбора размеров и сроков размещения заказов на запасаемую продукцию.

К сожалению, общее решение этой задачи нельзя получить на основе одной модели. Поэтому разработаны самые разнообразные модели, описывающие различные частные случаи.

Одним из решающих факторов при разработке модели управления запасами является характер спроса. Известные модели управления запасами редко точно описывают реальную систему. В ряде сложных случаев приходится прибегать к методам имитационного моделирования системы, чтобы получить надежное решение.