Свободные колебания тонких упругих оболочек

Настоящая работа посвящена математическому анализу краевой задачи, к которой сводится изучение линейных свободных колебаний тонкой упругой оболочки.

Под оболочкой понимается твердое тело, ограниченное двумя поверхностями, которое обладает малой по сравнению с другими характерными размерами толщиной. Всюду толщина^ оболочки считается постоянной. Поверхность S, точки которой равноотстоят от поверхностей, ограничивающих оболочку, называется срединной поверхностью оболочки. На поверхности 6 выбирается некоторая криволинейная система координат Л, р так, что координатными линиями являются линии кривизны. Область изменения параметров X, JZ обозначается через Q .

Далее, предполагается, что материал оболочки однороден и изотропен и что оболочка не имеет подкреплений.

Систему уравнений, описывающую свободные колебания оболочек указанного типа, можно записать в виде (см. Г 1,2,3,4]).

Здесь р)= [Uit Uzt UiJ — координаты вектора перемещения точки срединной поверхности S — X и V — дифференциальные операторы, содержащие дифференцирования по X и Р, причем X содержит не более двух дифференцирований, а л/ - не более четырех. Коэффициенты, входящие в выражения для операторов X и V, зависят от • геометрических характеристик поверхности S .

Далее, X — спектральный параметр, пропорциональный квадрату частоты колебания оболочки.

Уравнения системы (I) основаны на линейной теории упругости и используют классическую гипотезу Кирхгофа — Лява, согласно которой всякое нормальное к 3 волокно (отрезок прямой, перпендикулярной к срединной поверхности) сохраняет после деформации свою прямолинейность, длину и нормальное положение к срединной поверхности.

Система (I) является эллиптической в смысле Дуглиса — Нирен-берга ([5]) и формально самосопряженной. Однако, существенно, что вырожденный оператор X, а также оператор //, стоящий при малом параметре, не являются эллиптическими.

Система (I) рассматривается при четырех граничных условиях, которые зависят от характера закрепления краев оболочки (fl, 4,6, 7]). Соответствующая задача оказывается самосопряженной и имеет дискретный неотрицательный спектр:. 4 п. (2) с предельной точкой в + о*".

В первой главе настоящей работы изучается структура множества собственных частот свободных колебаний оболочки произвольного очертанияполучена асимптотическая формула распределения частот и найдены оценки остаточного члена в различных зонах изменения спектрального параметра.

Во второй главе изучается проблема вырождения задачи при 0 и полностью исследована структура спектра вырожденной задачи. Найдены также условия существования у оболочки сверхнизких частот.

Третья глава посвящена колебаниям оболочек вращения. Здесь получены точные «одномерные» асимптотические формулы распределения частот оболочки вращения при фиксированном числе т волн по параллели. С точки зрения приложений эти формулы наиболее существенны. Найденные формулы сопоставляются с численными расчетами.

В главе 1У рассматриваются свободные колебания оболочки, взаимодействующей с невязкой, сжимаемой жидкостью. Найдена асимптотическая формула распределения частот. При некоторых условиях выделен второй член асимптотики.

Анализ системы дифференциальных уравнений (I) и вывод асимптотических формул распределения частот потребовал привлечения разнообразных математических средств (спектральная теория линейных дифференциальных операторов, вариационные методы, методы асимптотического интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений).

Как отмечалось выше, система (I) не является однородной эллиптической. Это затрудняет привлечение к ее исследованию развитых в последние годы методик [8,9]. Для вывода основной «двухмерной» асимптотической формулы распределения частот в диссертации усовершенствован вариационный метод Гильберта — Куранта (flOj).

Перейдем к более подробному изложению результатов.

1. Гольденвейзер А. Л. Теория упругих тонких оболочек. — М.: Наука, 1976, 512 с.

2. Товстик П. Е. Свободные колебания и устойчивость оболочек вращения. Дисс. на соискание ученой степени докт. физико-матем. наук. Л.: Л1У, 1968.

3. Товстик П. Е. Интегралы уравнений осесимметричных колебаний оболочки вращения. «Исследования по упругости и пластичности», сб. 4, изд. Ленинградского ун-та, 1965.

4. Асланян А. Г., Лидский В. Б. Распределение собственных частот тонких упругих оболочек. М.: Наука, 1974, 156 с.

5. S. Agmon, A"Douglis, L. Nirenberg" Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions. II, Comm.Pure.Appl.Math., 1964, v.17, НИ, 35−92.

6. Прочность, устойчивость, колебания, т. 3. Под ред. Биргера И. А., Пановко Я. Г. М.: Машиностроение, 1968.

7. Гольденвейзер А. Л., Лидский В. Б., Товстик П. Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М.: Наука, 1979, 383 с.*.

8. S.Agmon. Asymptotic Formulas with Remainder Estimates for Eigenvalues of Elliptic Operators. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1968, v.28, N 3″ p.165−183.

9. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Спектральная асимптотика негладких эллиптических операторов. Труды Моск. матем. об-ват. 27, 1972.

10. Курант Р., Гильберт Д. Метода математической физики, т. I. -М.: Гостехиздат, 1951.

11. Власов В. З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. хМ.-Л.: Гостехиздат, 1949.

12. Новожилов В. В. Теория тонких оболочек. Л.: Судпромгиз, 1962.

13. Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. М.: Гостехиздат, 1956.

14. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Квантовая механика, ч. I. М.: Гостехиздат, 1948.

15. Бирман М. Ш., Борзов В. В. Об асимптотике дискретного спектра некоторых сингулярных дифференциальных операторов. Сб. «Проблемы математической физики», вып. 5, ЛГУ, 1971.

16. Болотин В. В. О плотности частот собственных колебаний тонких упругих оболочек. ПММ, т. 27, Л 2, 1963, с. 362−364.г «.

17. Болотин В. В. Теория распределения собственных частот упругих тел и ее применение к задачам случайных колебаний. Прикл. механика, 1972, т. 8, вып. 4, с. 3−29.

18. Bolotin V.V. The density of eigenvalues in vibration problems of elastic plates and shells, Proc. Vibration Problems, 1965, vol.6, Ж. 4, p.341−351.

19. Болотин Б. В., Москаленко В. Н. Колебания оболочек. Б кн.: Прочность, устойчивость, колебания. Справочник, т. 3. М.: «Машиностроение», 1968.

20. Товстик П. Е. О плотности частот колебаний тонких оболочек вращения. IMM, 1972, т. 36, № 2, с. 291−300.

21. Гольденвейзер А. Л. 0 плотности частот колебаний тонкой упругой оболочки. ПММ, 1970, т. 34, № 5.

22. Асланян А. Г., Лидский В. Б. Асимптотика функции распределения собственных частот оболочки вращения. Изв. АН Арм. ССР, серия матем., 1972, т. 7, № 4, с. 236−249.

23. Асланян А. Г., Туловский В. Н. Асимптотическое распределение собственных частот упругих оболочек. Докл. АН СССР, 1973, т. 208, № 4, с. 801−804.у,.

24. Асланян А. Г., Кузина З. Н., Лидский В. Б., Туловский В. Н. Распределение собственных частот тонкой упругой оболочки произвольного очертания. ПММ, 1973, т. 37, № 4.

25. Асланян А. Г. Об остаточных членах в формулах распределений частот колебаний оболочек. ПММ, 1983, т. 47, вып. 4.

26. Хермандер Л. Спектральная функция эллиптического оператора. Сб. Математика, 13:6, 1969, с. II4-I37.

27. Duistermaat I.I., Guillemin V.W. The spectrum of positiv elliptic operators and periodic bicharacteristics. Invent. Math., 1975, v. 29, p.39−79″.

28. Agmon S. On the asymptotic distribution of eigenvalues of differential problems. Seminari del^Instituto Uazionale di Alta Matematica 1962;63* Roma: Edizioni Gremonese, 1964, P.556−573.

29. Metivier Guy. Valeurs propres de probl&nes aux limites elliptiques irrequlieres. Bull, Soс"math. Prance, 1977* 51−52, p.-125−219.

30. Boutet de Monvel. Boundary Problems fo pseudodifferential operators. Acta Math., 1971, v.126, N 1−2, p.11−51.

31. Grubb G. Spectral asymptotics for Douglis-Uirenberg ellipticrand pseudodifferential boundary problems. Comm.Part.Differ. Equat., 1977, v.2, U11, p.1079−1150.

32. Бирман М. Ш., Соломяк M.S. Количественный анализ в теоремах вложения Соболева и приложения к спектральной теории. «Десятая матем. школа», Киев, 1974, с. 5−189.

33. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Асимптотика спектра дифференциальных уравнений. Сб. «Математический анализ», вып. 14, серия «Итоги науки», 1977.

34. Шубин М. А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М.: Наука, 1978, 279 с.

35. Туловский Б. Н. Распределение собственных значений для дифференциальных операторов. Диссерт. на соискание ученой степени канд. физ.-мат. наук, ГЛ., 1970, 86 с.

36. Туловский В. Н. Асимптотическое распределение собственных значений дифференциальных уравнений. Матем. сб., 1972, 89, № 2, с. 191−206.

37. Туловский В. Н., Шубин М. А. Об асимптотическом распределении собственных значений псевдодифференциальных уравнений вМатем. сб., 1973, 92, с. 571−588.

38. Фейгин В. И. Асимптотическое распределение собственных чисели формула типа Бора Зоммерфельда. — Матем. сб., 1979, т. ПО,? I, с. 66−87.

39. Фейгин В. И. О спектральной асимптотике краевых задач и асимптотике отрицательного спектра. Докл. АН СССР, 1977, т. 232, № 6, с. 1269−1272.

40. Кожевников А. Н. Спектральные задачи для псевдодифференциальных систем, эллиптических по Дуглису Ниренбергу, и их приложения. — Матем. сб., 1973, т. 92, № I, с. 60−88.

41. Кожевников А. Н. Оценка остатка в асимптотике спектра и комплексные степени систем, эллиптических по Дуглису Ниренбергу. — Докл. АН СССР, 1980, т. 254,? I, с. 32−35.

42. Костюченко А. Г. Асимптотическое распределение собственных значений эллиптических операторов. Докл. АН СССР, 1964, т. 158, lb I, с. 41−44.

43. Козлов В. А. Оценки остатка в формулах асимптотики спектра для линейных операторных пучков. Функц. анализ и его приложения, 1983, т. 17, вып. 2.

44. Левендорский С. З. Асимптотическое распределение собственных значений I. Ростов-на-Дону, 1980, 32 стр. Рукопись представлена Ростов, ун-том. Деп. в ВИНИТИ 14 авг. 1980,3624 80 ДЕП.

45. Левендорский С. З. Асимптотика спектра П. Задачи вида Аи =Ыш. Ростов-на-Дону, 1981, 43 стр. Рукопись представлена Ростов, ун-том. Деп. в ВИНИТИ 2I. I2.I98I, № 50 830 — 81 ДЕЛ.

46. Левендорский С. З. Метод приближенного спектрального проектора как общий метод обоснования классической формулы асимптотики спектра. Функц. анализ и его приложения, 1983, т. 17, вып. 2.

47. Балабух Л. И. Изгиб и кручение конических оболочек. Труды ЦАГИ, 1946, № 577.

48. Лурье А. И. Общая теория упругих тонких оболочек. ПММ, 1940, т. 4, вып. 2.

49. Черных К. Ф. Линейная теория оболочек, ч. I. Л.: Изд-во Л1У, 1962.

50. Рисс Ф., Секефальви-Надь. Лекции по функциональному анализу. М.: Изд-во иностр. лит., 1954.

51. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. -М.: Гостехиздат, 1957.

52. Лопатинский Я. Б. Об одном способе приведения граничных задач для системы дифференциальных уравнений эллиптического типак регулярным интегральным уравнениям. Украинский матем. журн., 1953, т. 5, № 2, с. I23-I5I.

53. Глазман М. А. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. М.: Физматгиз, 1963.

54. Асланян А. Г., Лидский В. Б. Спектр системы, описывающей колебания оболочки вращения. ПММ, 197I, т. 35, № 4, с. 701−717.

55. Гулгазарян Г. Р., Лидский В. Б., Эскин Г. й. Спектр безмоментной системы в случае тонкой оболочки произвольного очертания. -Сибирский матем. ж., 1973, т. 4, № 5.

56. Асланян А. Г. Связь моментной задачи с безмоментной в теории колебаний тонких упругих оболочек. МТТ, 1977, 15, с. 118−124.

57. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

58. Rellich Storungstheorie der Spektralzerlegung" Matn.Ann., 1942, Bd.118,*N4, S.462−464.

59. Данфорд H., Шварц Дж. Линейные операторы. М.: Мир, 1966, т. 2.

60. Вишик М. И., Люстерник М. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. -Успехи матем. наук, 1957, т. 12, вып. 5 (77), с. 3−122.

61. Харькова Н. В. О нижней части спектра собственных осесиммет-ричных колебаний тонких упругих оболочек вращения. Прикл. матем. и механика, 1971, т. 35, вып. 3, с. 438−445.г *.

62. Волевич Л. Р. Разрешимость краевых задач для общих эллиптических систем. Матем. сб., т. 68 (ПО), $ 3, 1965.

63. Вальперт А. Н. Об индексе и нормальной разрешимости граничных задач для эллиптических систем дифференциальных уравнений на плоскости. Труды Моск. матем. об-ва, 1961, т. 10.

64. Гольденвейзер А. Л. Изгибания поверхностей и сверхнизкие частоты колебаний тонких оболочек. МТТ, 1977, № 5, с. 106−1Г7.

65. Товстик П. Е. Низкочастотные колебания выпуклой оболочки вращения. МТТ, 1975, № 6, с. II0-II6.

66. Товстик П. Е. Об определении наименьшей частоты свободных колебаний тонкой оболочки. Сб. Асимптотические методы в теории систем, вып. 8, Изд. Иркутск, ун-та, 1975.

67. Алумяе Н. А. О фундаментальной системе интегралов уравнения малых осе симметрических установившихся колебаний упругой конической оболочки вращения. Изв. АН ЭССР, I960, т. 9, № I.

68. Асланян А. Г., Лидский В. Б. Осцилляционная теорема в теории колебаний тонких оболочек вращения. Докл. АН СССР, 1971, т. 196, № 5, с. IQ40-I042.

69. Асланян А. Г., Лидский В. Б. Спектральные свойства системы, описывающей собственные колебания оболочки вращения. Докл. АН СССР, 1971, т. 201, № 2, с. 300−303.

70. Товстик П. Е. Свободные колебания тонкого сферического купола. Изв. АН СССР, Механика, 1965, № 6.

71. Лужин О. В. К определению частот колебаний безмоментного сферического купола. Сб. «Исследования по теории сооружений», вып. 10, М.: Гостехиздат, 1961.

72. Асланян А. Г., Лидский В. Б. Асимптотические формулы для частот нижней серии в теории оболочек вращения. Изв. АН Арм. ССР. Сер. матем., 1971, т. 6, Л 2−3, с. II3-I30.

73. Пшеничнов Г. И. Малые свободные колебания упругих оболочек вращения. Инж. ж., 1965, т. 5, вып. 4, с. 685−690.

74. Асланян А. Г., Лидский В. Б., Луковенко С. А., Харькова Н. В. Асимптотика функции распределения собственных частот колебаний оболочки вращения с фиксированным числом волн по параллели. Препринт № 38. Ин-т проблем механики АН СССР. — М.: 1974, с. 1−49.

75. Асланян А. Г., Лидский В. Б. Формула для числа частот осесим-метричных колебаний оболочки вращения. Докл. АН СССР, 1975, т. 222, Ш 4, с. 790−792.

76. Асланян А. Г., Лидский В. Б. Формула для числа частот осе симметричных колебаний оболочки вращения. Дифференциальные уравнения, 1977, т. 13, № 8, с. 1355−1365.

77. Асланян А. Г., Гольденвейзер А. Л., Лидский В. Б. Свободные колебания тонких упругих оболочек. Всес. конф. по уравнениям с частными производными, посвященная 75-летию со дня рождения И. Г. Петровского. — М.: Изд-во Ш, 1978, с. 33−35.

78. Товстик П. Е. Высокочастотные осесимметричные колебания оболочки вращения. Сб. «Прикл. механика», J6 I. — Л.: 1973, с. 100−109.

79. Асланян А. Г. Формула для числа частот колебаний оболочки вращения с небольшим числом волн по параллели. Функц. анализ.