Задача о приближении функции

Задачи замены заданной функции могут быть вызваны самыми различными причинами. В целом эти задачи решаются, как и все задачи аппроксимации, по единой схеме. Вместе с тем задачи приближения обладают по крайней мере двумя отличительными особенностями. Во-первых, исходная функция Дх) полностью известна. Во-вторых, достаточная близость аппроксимирующей функции g (x) к Дх) должна сохраняться на достаточно протяженной области изменения аргумента х.

На практике весьма широкое применение нашел метод интегрального среднеквадратичного приближения функций ортогональными многочленами.

Рассмотрим кратко этот метод. Пусть на отрезке [а; Ь] задана функция Дх), которая на этом отрезке интегрируется с квадратом, т. е. существует интеграл . На этом же отрезке определена система функций {tp_fc}, на которой можно построить многочлен

называемый обобщенным многочленом порядка п (именно такого рода многочлены часто используют для аппроксимации функций).

Сформулируем задачу: построить обобщенный полином степени п, который на отрезке [а; Ь] аппроксимирует заданную функцию Дх), т. е.

Поскольку общий вид аппроксимирующей функции задан (это полином степени п), сформируем критерий аппроксимации. В качестве такового выберем величину.

— среднее квадратичное отклонение аппроксимирующего многочлена Q"(x) на отрезке [а; b] от заданной функции Дх). Чем меньше величина ц (/, Q"), тем лучше Q"(x) аппроксимирует заданную функцию Дх).

Теперь для решения задачи аппроксимации необходимо найти коэффициенты обобщенного полинома с_ь с₂, с". Наиболее простое решение этого вопроса можно получить, если система функций на рассматриваемом отрезке ортогональна.

Система функций{фД называется ортогональной на отрезке [а; Ь], если любые две функции этой системы попарно ортогональны, т. е. интеграл от произведения любых двух различных функций из этой системы равен нулю:

Примером ортогональной на отрезке [-/; I] системы функций является следующая система тригонометрических функций:

Ортогональными на отрезке [-(; I] являются в отдельности и система синусов , и система косинусов

Выберем в качестве коэффициентов обобщенного аппроксимирующего многочлена коэффициенты Фурье, которые, как известно, строятся по правилу.

где стоящее в знаменателе число называется квадратом нормы функции фДх) на отрезке [а; Ь].

Использование коэффициентов Фурье в качестве коэффициентов аппроксимирующего полинома обеспечивает наилучшее приближение в смысле меры (2.1). Такое заключение вытекает из следующей теоремы [6]: для любой функции Дх), интегрируемой с квадратом на отрезке [а; ?>, обобщенный многочлен Q"(x) с коэффициентами Фурье для функции Дх), построенный на системе ортогональных функций {фД, является многочленом наилучшего среднеквадратичного приближения этой функции, причем квадрат наименьшего среднего квадратичного отклонения определяется соотношением.

где с_к — коэффициенты Фурье.

Пример 2.2 [13].

Задана функция.

Построить приближающую функцию с помощью тригонометрических обобщенных многочленов, сформированных на системе синусов.

Решение. Поскольку синус — нечетная функция, то доопределим Дх) на промежутке [-2; 0] нечетным образом. Получим нечетную функцию Д (х) на отрезке [-2; 2]. Аппроксимирующий ее многочлен имеет вид.

где.

Отсюда следуют первые три аппроксимирующих полинома:

Найдем погрешность среднеквадратичного приближения многочленом g₅(x). В данном случае согласно формуле (2.3).

Таким образом, среднее квадратичное отклонение g₅ от заданной функции равно 0,0269. Полученный результат иллюстрирует рис. 2.2.

Рис. 2.2. Пример среднеквадратичного приближения функции.

Представляется заманчивым построить механизм равномерной аппроксимации функции. Говорят, что обобщенный полином Q"(x) на отрезке [а; b] равномерно приближает функцию Дх) с точностью до е, если.

Попытки решения такой задачи были сделаны еще в работах П. Л. Чебышёва [7]. Однако до сих пор для задачи (2.4) не найдены эффективные вычислительные алгоритмы. Можно лишь отметить, что эта задача может быть решена в рамках методов нелинейного программирования (см. ч. 3 книги).