Положительные решения нелинейных уравнений в F-пространствах

Одним из важных разделов современного анализа является теория нелинейных операторных уравнений в банаховых пространствах [26, 33, 41, 51] с конусами [18, 19, 24, 25, 34], созданная М. А. Красносельским [34−38] и его учениками [2, 3, 4−16, 28, 39, 47−50].

Ценность этой теории обуславливается, в частности, её многочисленными приложениями различных задачах естествознания: в задаче о критическом режиме ядерного реактора [8, 9], в теории волн на поверхности тяжёлой жидкости, в задачах о формах потери устойчивости упругих систем [35], в задачах геометрии в целом [34], в теории устойчивости [36], в теории нелинейных краевых задач [34], в математической экономике и т. д.

Естественно возникает вопрос о её распространении на более широкие классы пространств чем банаховы и, в частности, на F-пространства (пространства Фреше). Этот класс пространств, кроме банаховых, включает в себя такие важные пространства как счётно-нормированные и пространства Lp (0.

<�р<1).

Развитию теории нелинейных операторных уравнений в F-пространствах и посвящается данная диссертационная работа. Тема диссертации актуальна и представляет реальных научный интерес.

Основными целями диссертационной работы является разработка следующих вопросов:

1) доказательство новых теорем существования неподвижных точек вполне непрерывных операторов, действующих в F-пространствах;

2) доказательство в F-пространствах признаков существования неподвижных точек у операторов, представимых в виде суммы сжимающего и вполне непрерывного операторов;

3) доказательство в F-пространствах теорем существования неподвижных точек уплотняющих операторов;

4) получение признаков существования неподвижных точек монотонно компактных операторов, действующих в F-пространствах с конусом, без предположения непрерывности исследуемых операторов;

5) выделение специального класса уплотняющих операторов в F-пространствах с конусом и доказательство существования у них неподвижных точек, без предположения их непрерывности;

6) приложение полученных результатов в теории нелинейных интегральных и дифференциальных уравнений в конкретных функциональных F-пространствах.

В диссертации основные теоремы о неподвижных точках нелинейных операторов распространяются с банаховых пространств на F-пространства.

При естественных ограничениях на F-пространства, которые автоматически выполняются для банаховых пространств, доказаны теоремы существования неподвижных точек вполне непрерывных операторов, операторов, представимых в виде суммы сжимающего и вполне непрерывного операторов, уплотняющих операторов.

Эти теоремы являются развитиями известных принципа Шаудера [30, 33, 42] и теорем М. А. Красносельского [34, 36−38], P.JI. Фрум-Кеткова и Б. Н. Садовского [47−50].

На F-пространства с конусом распространены известные теоремы И. А. Бахтина о неподвижных точках монотонно компактных и монотонных уплотняющих операторов [6, 9, 10, 13−21], вообще говоря, не обладающих свойством непрерывности.

Полученные результаты применяются к исследованиям в конкретных функциональных F-пространствах некоторых классов интегральных, интегро-функциональных и бесконечных систем дифференциальных уравнений.

Приведём обзор содержания диссертации по шести параграфам, на которые она разбита.

Нумерация приводимых ниже утверждений и формул совпадает с их нумерацией в диссертации.

В первом параграфе работы получены теоремы существования неподвижных точек вполне непрерывных операторов, действующих в F-пространстве X. В частности доказаны следующие теоремы.

Теорема 1.1. Пусть.

1) в F-пространстве X для каждого относительно компактного множества М, а X множество соМ также относительно компактно;

2) сопряжённое пространство X* достаточно в^{-пространстве} X;

3)вполне непрерывный оператор, А преобразует непустое замкнутое ограниченное по рнорме ||х|| выпуклое множество FcIb себя: AV, а V.

Тогда существует элемент х* е V, такой, что Ах* = х*.

Отметим, что теорема 1.1 является обобщением известного принципа Шаудера с банаховых пространств на F-пространства при дополнительных условиях 1), 2), которые в банаховых пространствах автоматически выполняются.

Теорема 1.3. Пусть.

1) в F-пространстве X конус К псевдонормален;

2) для любого относительно компактного множества Мс! множество соМ также относительно компактно;

3) сопряжённое пространство X* достаточно вХ;

4) вполне непрерывный оператор, А преобразует конусной отрезок (w, v), где и < v — фиксированные элементы в X, в себя.

Тогда существует элемент х* е (и, v), такой, что Ах, = х*.

Во втором параграфе диссертации приводятся теоремы существования неподвижных точек у операторов, действующих в^{-пространстве,} которые представляются в виде суммы сжимающего и вполне непрерывного операторов. Эти теоремы являются развитием соответствующих теорем М.А.

Красносельского, P.JI. Фрум-Кеткова в банаховых пространствах. Основными здесь являются следующие результаты. Лемма 2.1. Пусть.

1)в .Р-пространстве X оператор, А преобразует непустое замкнутое ограниченное по р-норме ||л| выпуклое множество Fcl в себя: AV, а V;

2)оператор, А представляется в виде А-В+С, где Всжимающий, а С-вполне непрерывный на множестве Vоператоры.

Тогда существует замкнутое выпуклое множество F0 с: V, такое, что coAVq — К.

Теорема 2.1. Пусть.

1)в^{-пространстве} X для любого относительно компактного множества.

М множество соМ также относительно компактно;

2) сопряжённое пространство X достаточно в X;

3)оператор, А преобразует непустое замкнутое ограниченное по р-норме И выпуклое множество VczX в себя: AVczV;

4)оператор, А представим в виде: А=В+С, где В — сжимающий, а С — вполне непрерывный на множестве V операторы;

5)если для замкнутого выпуклого множества V0 с V выполняется равенство со AV0=VQ, то множество V0 компактно.

Тогда существует элемент х* е V, такой, что Ах* - х*. Опираясь на лемму 2.1, теорему 2.1, а также на результаты § 1, были доказаны и некоторые другие теоремы.

В третьем параграфе работы в F-пространстве выделяется класс уплотняющих операторов, и приводятся для них признаки существования неподвижных точек.

Пусть М — множество всех ограниченных по р-норме ||х| множеств.

QczX /^-пространства X, a R0 — полуинтервал [0,+оо).

Определение. Функция j/: М -> R0, обладающая свойствами:

1) равенство j/(Q) = 0 выполняется тогда и только тогда, когда множество QcM относительно компактно;

2) выполняется равенство |/(п)= |/(п) (Q с М);

3) если с, то.

4) |/(niUQ2) = max{v|/(Q1), i/(n2)};

5) |/(f2,+П2)< |/(f2,)+]/(Q2), где Q,+Q2- алгебраическая сумма множеств Q, и Q2, называется мерой некомпактности в^{-пространстве} X.

Отметим, что наше определение меры некомпактности в F-пространстве X отличается от определения регулярной меры некомпактности, данного Б. Н. Садовским [3, 47, 48].

Определение. Непрерывный ограниченный оператор А'.Х^Х, действующий в F-пространстве X, называется \fуплотняющим, если для любого относительно некомпактного множества П cz X мера некомпактности vj/(co^q)< j/(Q).

Отметим, что приведённое определение j/ - уплотняемости оператора, А в F-пространстве X аналогично соответствующему определению, данному Б. Н. Садовским для банахова пространства [3, 47, 48]. Отметим здесь следующую теорему: Теорема 3.1. Пусть.

1)в F-пространстве X непрерывный, ограниченный, -уплотняющий оператор, А преобразует замкнутое ограниченное по рнорме ||х||р выпуклое множество Vb себя;

2) сопряжённое пространство X* достаточно в X;

3)для любого относительно компактного множества М, а X множество соМ так же относительно компактно.

Тогда существует элемент х+ е V, такой, что Ал =. В четвёртом параграфе доказаны теоремы существования неподвижных точек монотонно компактных операторов, действующих в F-пространстве с конусом. Непрерывность исследуемых операторов, вообще говоря, не предполагается. Основной здесь являются следующая теорема.

Теорема 4.1. Если в .F-пространстве X с конусом К си X /z-монотонно компактный на конусном отрезке (w, v) = {xeX|w< v — фиксированные элементы, оператор, А преобразует (и, v) в себя, то он имеет в (и, v) по крайней мере одну неподвижную точку.

Отметим, что если конус К, а X правилен, то монотонный на конусном отрезке (w, v) оператор, А является /z-монотонно компактным. Также здесь получены теоремы такого сорта и для бесконечных конусных отрезков (х0,со).

В пятом параграфе диссертации приводятся теоремы существования неподвижных точек монотонных уплотняющих операторов, действующих в .Р-пространстве с конусом. Непрерывность исследуемых операторов, вообще говоря, не предполагается.

Уплотняемость оператора, А здесь определяется так.

Определение. Ограниченный по рнорме ||л| оператор, А называется |/ уплотняющим в^{-пространстве} X, если для любого ограниченного относительно некомпактного множества Qc? мера некомпактности.

-|/(жУ)<]/(а).

Основной здесь является Теорема 5.1. Пусть.

1) в^{-пространстве} X с конусом К, а X монотонный 1|/ -уплотняющий на конусном отрезке (,'0j0)cl (х0<�у ()) оператор, А преобразует (х0,у0) в себя;

2) образ А (хй, у^) отрезка (х0,у0) ограничен по р-норме ||х|| .

Тогда оператор, А имеет в (х0,у0) по крайней мере одну неподвижную точку.

В шестом параграфе приведены некоторые приложения полученных результатов к исследованию неподвижных точек интегральных, интегро-функциональных и бесконечных систем дифференциальных уравнений в некоторых функциональных пространствах.

Доказана.

Теорема 6.3. Пусть дана бесконечная система дифференциальных уравнений с граничными условиями:

Х-(0) = х,.(1) = 0 (i е N), (12) где функции fi (t, xl, x2,., xJ,.) (ieN) обладают следующими свойствами:

1) функции ft определены и неотрицательны на множестве.

М = [ОД] х [О, Mj ]х [О, и2 ] х. х [О, иj Jx., где му > О (J е N) — некоторые фиксированные числаI I t / н it /г.

2) для любых точек t, xl, х2 ,., х, ,., t, x1, х2 ,., х, ,. еМ из t tt I II t If xl, x2 •>•" •' I — ft I t, X, x2 ,., Xj ,.1 (i? iV") ,.

3) выполняются неравенства: fi{t, ux, u2,., uJ,.).