О сверхразрешимости некоторых классов факторизуемых групп

Министерство образования Республики Беларусь Учреждение образования

«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»

Математический факультет Кафедра алгебры и геометрии О сверхразрешимости некоторых классов факторизуемых групп Курсовая работа Исполнитель:

Студентка группы М-31

____________ Леванюк А.Ю.

Научный руководитель:

Канд. физ-мат. наук, доцент

____________ Скиба М.Т.

Гомель 2005

Перечень условных обозначений

Введение

1 Факторизуемые группы с -перестановочными подгруппами

2 Факторизуемые группы с -перестановочными силовскими подгруппами

Заключение

Литература

Перечень условных обозначений

В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются обозначения, принятые в книгах. Буквами обозначаются простые числа.

Будем различать знак включения множеств и знак строгого включения ;

и —- соответственно знаки пересечения и объединения множеств;

—- пустое множество;

—- множество всех для которых выполняется условие ;

—- множество всех натуральных чисел;

—- множество всех простых чисел;

—- некоторое множество простых чисел, т. е. ;

—- дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности, ;

примарное число —- любое число вида ;

Пусть —- группа. Тогда:

—- порядок группы ;

—- порядок элемента группы ;

—- единичный элемент и единичная подгруппа группы ;

—- множество всех простых делителей порядка группы ;

—- множество всех различных простых делителей натурального числа ;

—группа —- группа, для которой ;

—группа —- группа, для которой ;

—- подгруппа Фраттини группы, т. е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;

—- подгруппа Фиттинга группы, т. е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;

—- наибольшая нормальнаянильпотентная подгруппа группы ;

—- коммутант группы, т. е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;

—- -ый коммутант группы ;

—- наибольшая нормальнаяподгруппа группы ;

—- —холловская подгруппа группы ;

—- силовская —подгруппа группы ;

—- дополнение к силовской —подгруппе в группе, т. е. —холловская подгруппа группы ;

—- группа всех автоморфизмов группы ;

—- является подгруппой группы ;

—- является собственной подгруппой группы ;

—- является максимальной подгруппой группы ;

нетривиальная подгруппа —- неединичная собственная подгруппа;

—- является нормальной подгруппой группы ;

—- подгруппа характеристична в группе, т. е. для любого автоморфизма ;

—- индекс подгруппы в группе ;

;

—- централизатор подгруппы в группе ;

—- нормализатор подгруппы в группе ;

—- центр группы ;

—- циклическая группа порядка ;

—- ядро подгруппы в группе, т. е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с в .

Если и —- подгруппы группы, то:

—- прямое произведение подгрупп и ;

—- полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы ;

—- и изоморфны.

Группа называется:

примарной, если ;

бипримарной, если .

Скобки применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.

—- подгруппа, порожденная всеми, для которых выполняется .

где .

Группу называют:

— замкнутой, если силовскаяподгруппа группы нормальна в ;

— нильпотентной, еслихолловская подгруппа группы нормальна в ;

— разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либогруппы, либогруппы;

— сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либогруппой, либо циклической группой;

нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;

метанильпотентной, если существует нормальная нильпотентная подгруппа группы такая, что нильпотентна.

разрешимой, если существует номер такой, что ;

сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.

Группа Шмидта —- это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.

Добавлением к подгруппе группы называется такая подгруппа из, что .

Минимальная нормальная подгруппа группы —- неединичная нормальная подгруппа группы, не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы .

Цоколь группы —- произведение всех минимальных нормальных подгрупп группы .

—- цоколь группы .

Экспонента группы —- это наименьшее общее кратное порядков всех ее элементов.

Цепь —- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп —- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.

Ряд подгрупп называется:

субнормальным, если для любого ;

нормальным, если для любого ;

главным, если является минимальной нормальной подгруппой в для всех .

Классы групп, т. е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т. е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:

—- класс всех групп;

—- класс всех абелевых групп;

—- класс всех нильпотентных групп;

—- класс всех разрешимых групп;

—- класс всех —групп;

—- класс всех сверхразрешимых групп;

—- класс всех абелевых групп экспоненты, делящей .

Формации —- это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.

Пусть —- некоторый класс групп и —- группа, тогда:

—- —корадикал группы, т. е. пересечение всех тех нормальных подгрупп из, для которых. Если —- формация, то является наименьшей нормальной подгруппой группы, факторгруппа по которой принадлежит. Если —- формация всех сверхразрешимых групп, то называется сверхразрешимым корадикалом группы .

Формация называется насыщенной, если всегда из следует, что и .

Класс групп называется наследственным или замкнутым относительно подгрупп, если из того, что следует, что и каждая подгруппа группы также принадлежит .

Произведение формаций и состоит из всех групп, для которых .

Понятиеперестановочной подгруппы оказалось полезным инструментом в вопросах классификации непростых конечных групп. Отметим, в частности, что классическая теорема Холла о разрешимых группах на языкеперестановочных подгрупп может быть сформулирована так: Группа разрешима тогда и только тогда, когда любые ее две силовские подгруппы -перестановочны. Согласно теореме 3.8 из группа является сверхразрешимой тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппыперестановочны со всеми другими подгруппами этой группы. Новые характеризации в терминахперестановочных подгрупп для класов разрешимых, сверхразрешимых и нильпотентных групп можно найти в работах. Целью данной главы является нахождение новых признаков сверхразрешимости группы на основе условийперестановочности некоторых ее подгрупп.

1. Факторизуемые группы с -перестановочными подгруппами

В данном разделе, развивая основные наблюдения работы, мы дадим новые критерии сверхразрешимости групп.

Пусть —- группа и —- ее подгруппа Фиттинга. Тогда является сверхразрешимой в том и только том случае, когда , где и —- такие сверхразрешимые подгруппы группы , что каждая подгруппа группы -перестановочна с каждой подгруппой группы .

Доказательство. Необходимость. Пусть —- сверхразрешимая группа. Пусть —- минимальная нормальная подгруппа группы. Тогда для некоторого простого числа. Пусть —- такая максимальная подгруппа группы, что. Тогда, и сверхразрешимы и каждая подгруппа группы перестановочна с каждой подгруппой группы .

Достаточность. Предположим, что —- произведение сверхразрешимых подгрупп и, —- подгруппа Фиттинга группы и каждая подгруппа группыперестановочна с каждой подгруппой группы, но не является сверхразрешимой группой. Допустим, что —- контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.

(1) Если —- максимальная подгруппа группы такая, что и либо, либо, то сверхразрешима.

Предположим, что. Тогда по тождеству Дедекинда имеем

.

Так как

то каждая подгруппа группыперестановочна с каждой подгруппой группы. Поскольку, то по выбору группы мы заключаем, что сверхразрешима.

(2) Для любой неединичной нормальной в подгруппы факторгруппа сверхразрешима.

Ясно, что. Пусть и. Так как по условию для некоторого ,

то мы имеем

где. Это показывает, что каждая подгруппа группыперестановочна с каждой подгруппой группы. Но поскольку —- произведение сверхразрешимых подгрупп и, то по выбору группы мы заключаем, что сверхразрешима.

(3) Группа имеет абелеву минимальную нормальную погруппу.

Допустим, что. Тогда ввиду (2), —- сверхразрешимая группа и поэтому разрешима. Следовательно, имеет абелеву минимальную нормальную погруппу.

Предположим теперь, что. Пусть —- минимальная нормальная подгруппа группы. Тогда по условию. Предположим, что. Ввиду леммы мы видим, что. Но сверхразрешима, и поэтому минимальная нормальная подгруппа группы, содержащаяся в, абелева. Пусть теперь. Предположим, что и пусть —- такая максимальная подгруппа группы, что. Согласно (1), сверхразрешима, но, и поэтому ввиду леммы,. Это показывает, что минимальная нормальная подгруппа группы, которая содержится в, абелева. Пусть теперь. Так как, то каждая подгруппа группы перестановочна с каждой погруппой группы. Пусть —- минимальная нормальная подгруппа группы. Тогда. Предположим, что. Ввиду леммы мы видим, что. Но сверхразрешима, и поэтому минимальная нормальная подгруппа группы, содержащаяся в, абелева. Пусть теперь. Предположим, что и пусть —- такая максимальная подгруппа группы, что. Согласно (1), сверхразрешима, но, и поэтому ввиду леммы,. Это показывает, что минимальная нормальная подгруппа группы, которая содержится в, абелева. Следовательно,. Поскольку и абелевы группы, то группа имеет абелеву минимальную нормальную подгруппу.

(4) Группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и, где и —- такая максимальная в подгруппа, что

и .

Пусть —- произвольная минимальная нормальная подгруппа группы. Так как класс всех сверхразрешимых групп образует насыщенную формацию, то —- единственная минимальная нормальная подгруппа в, причем. Пусть —- максимальная подгруппа в такая, что и пусть. Тогда по тождеству Дедекинда мы имеем. Так как ввиду (3), абелева, то и. Это показывает, что. Следовательно, —- сверхразрешимая группа и ввиду леммы. Согласно (2) и выбора группы, мы имеем

(5) —- наибольший простой делитель порядка группы .

Предположим, что не является наибольшим простым делителем порядка группы, и пусть —- наибольший простой делитель. Пусть и —- такие максимальные подгруппы группы, что,. Тогда. По лемме, и не сопряжены в. Так как ввиду леммы все максимальные подгруппы группы, которые не содержат, сопряжены в, то либо содержит, либо содержит. Пусть, например, и пусть —- силовскаяподгруппа группы. Предположим, что. Согласно (2), сверхразрешима и поскольку максимальная подгруппа группы, то по лемме —- простое число. Значит, содержит неединичную силовскуюподгруппу. Согласно лемме, , и поэтому. Это противоречие показывает, что. Ясно, что. Тогда. Предположим, что и пусть —- максимальная подгруппа группы, содержащая. Ввиду (1), сверхразрешима. Без ограничения общности, мы можем предположить, что. Так как группа сверхразрешима, то, и поэтому, что невозможно в силу (4). Значит,. Следовательно, по тождеству Дедекинда мы имеем

и поэтому. Пусть, где. Предположим, что. Тогда, и очевидно. Это влечет. Следовательно,. Ясно, что, и поэтому. Пусть —- максимальная подгруппа группы. Тогда для некоторого, мы имеем. Так как не является сверхразрешимой группой, то ввиду (4) мы видим, что. Но поскольку, то приходим к противоречию. Следовательно,. Пусть —- силовскаяподгруппа группы и для некоторого,. Предположим, что. Пусть —- максимальная подгруппа группы, содержащая. Согласно (1), сверхразрешима. Это влечет, противоречие. Следовательно,. Предположим теперь, что. В этом случае, и поэтому каждая силовскаяподгруппа группы является силовскойподгруппой группы. Следовательно,. Это противоречие показывает, что, и поэтому —- максимальная подгруппа группы. Согласно лемме, мы имеем, для некоторого. Это противоречие показывает, что —- наибольший простой делитель порядка группы .

(6) —- силовскаяподгруппа группы .

Предположим, что это не верно. Тогда. Отсюда следует, что, и поэтому ввиду (5) и леммы, , что невозможно в силу (4). Значит, —- силовскаяподгруппа группы .

(7) Заключительное противоречие.

Без ограничения общности мы можем предположить, что. Так как сверхразрешима, то ввиду (5), имеет нормальную подгруппу порядка. Согласно (6), Пусть —- холловаподгруппа группы и для некоторого,. Поскольку

то. Согласно (6), силовскаяподгруппа группы содержится в Тогда и поэтому что невозможно в силу (4). Это противоречие завершает доказательство теоремы.

Пусть —- группа и —- ее подгруппа Фиттинга. Тогда является сверхразрешимой в том и только том случае, когда , где и —- нильпотентные подгруппы группы и имеет такой главный ряд

что каждаяперестановочна с каждой подгруппой группы, для всех .

Доказательство. Необходимость. Предположим, что —- сверхразрешимая группа. Тогда согласно лемме,. Пусть и —- такая подгруппа группы, что и для каждой собственной подгруппы группы. Тогда. Так как подгруппы и нильпотентны, то —- нильпотентная подгруппа. Рассмотрим главный ряд группы, проходящий через

Поскольку —- простое число для каждого, то этот ряд является главным рядом группы и каждая подгруппа перестановочна со всеми подгруппами группы для каждого .

Достаточность. Предположим теперь, что, где —- нильпотентные подгруппы группы и группа имеет такой главный ряд

что каждый член этого рядаперестановочен с каждой подгруппой группы. Покажем, что сверхразрешима. Предположим, что не является сверхразрешимой группой, и пусть —- контрпример минимального порядка. Без ограничения общности мы может предположить, что и для каждой собственной подгруппы группы. Для начала заметим, что поскольку группа является произведением двух нильпотентных подгрупп, то по известной теореме Кегеля, группа разрешима. Доказательство разобьем на следующие этапы.

(1) Для любой неединичной нормальной в подгруппы факторгруппа сверхразрешима.

Ясно, что где и нильпотентны. Рассмотрим в ряд

Без ограничения общности, мы можем предположить, что все члены этого ряда различны.

Пусть. Так как по условию для некоторого ,

то мы имеем

где и. Это показывает, что каждый член ряда (2) -перестановочен со всеми подгруппами группы .

Поскольку то Так как —- простое число, то также является простым числом. Следовательно, ряд (2) является главным рядом группы. Поскольку, то по выбору группы мы заключаем, что сверхразрешима.

(2) Группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и , где и —- такая максимальная в подгруппа, что и .

Пусть —- произвольная минимальная нормальная подгруппа группы. Так как класс всех сверхразрешимых групп образует насыщенную формацию, то —- единственная минимальная нормальная подгруппа в, причем. Пусть —- максимальная подгруппа в такая, что и пусть. Тогда по тождеству Дедекинда мы имеем. Так как разрешима, то —- элементарная абелевагруппа для некоторого простого и поэтому и. Это показывает, что. Следовательно, —- сверхразрешимая группа и ввиду леммы. Согласно (1) и выбора группы, мы имеем .

(3) и имеют не простые порядки.

Действительно, если для некоторого простого, , то в группе каждая подгруппа группыперестановочна с каждой подгруппой группы и поэтому по теореме, сверхразрешима, что противоречит выбору группы. Следовательно, не является простым числом. Предположим теперь, что. Допустим, что. Тогда. Так как нильпотентна, то ввиду (2), —- -группа. Покажем теперь, что. Предположим, что. Так как сверхразрешима, то. Но поскольку, то согласно лемме,, и поэтому. Предположим теперь, что. В этом случае, для некоторого ,

Так как, Значит,. Покажем, что условия теоремы справедливы для подгруппы. Ясно, что, где и —- нильпотентные подгруппы и подгруппа имеет главный ряд где. Пусть. Тогда. По условию, для некоторого, мы имеем. Поскольку и, то. Это означает, что каждая подгруппаперестановочна с каждой подгруппой группы, для всех. Поскольку, то по выбору группы мы заключаем, что сверхразрешима. Значит,. Отсюда следует, что, противоречие. Таким образом,. Следовательно, —- силовскаяподгруппа группы и поэтому —- максимальная подгруппа группы. Поскольку для некоторого, и максимальная подгруппа группы, , то. Получили противоречие с нашим предположением о группе. Значит,. По условию,, для некоторого и поэтому. Согласно лемме,. Так как порядок группы является не простым числом, то. Отсюда следует, что, что невозможно в силу (2). Этим доказано (3).

(4) —- силовская -подгруппа группы .

Допустим, что наше предположение не верно. Пусть —- наибольший простой делитель порядка группы. Так как и согласно (2),. Пусть —- максимальная подгруппа группы. По условию для некоторых,, и. Согласно (3), и неединичные группы. Так как группы и нильпотентны, то и. Ввиду леммы, и. Отсюда следует, что. Ясно, что либо, либо. Допустим, что. Покажем, что —- сверхразрешимая группа. Подгруппы и нильпотентны и подгруппа имеет главный ряд где. Пусть. Тогда. По условию, для некоторого, мы имеем Поскольку и, то. Это означает, что каждая подгруппаперестановочна с каждой подгруппой группы, для всех. Поскольку, то по выбору группы мы заключаем, что сверхразрешима. Пусть —- силовскаяподгруппа группы. Тогда ввиду леммы, , и поэтому, противоречие. Пусть теперь,. Покажем, что группа сверхразрешима. Ясно, что и —- нильпотентные подгруппы и подгруппа имеет главный ряд где. Пусть. Тогда. По условию, для некоторого, мы имеем Поскольку и, то. Это означает, что каждаяперестановочна с каждой подгруппой группы, для всех. Поскольку, то по выбору группы мы заключаем, что сверхразрешима. Пусть —- силовскаяподгруппа группы. Тогда ввиду леммы, , и поэтому, противоречие. Следовательно, (4) справедливо.

(5) и .

Предположим, что. Поскольку нильпотента, тогруппа, и поэтому согласно (4), —- силовскаяподгруппа группы. Ясно, что и. Тогда. Пусть —- такой элемент из, что. Тогда. Так как, то и поэтому, противоречие. Значит, .

Пусть теперь,. Так как —- нильпотентная группа, то ввиду (4), —- силовскаяподгруппа группы. Поскольку и, то. Пусть —- максимальная подгруппа группы и, где. Согласно (3), и. Поскольку, то и поэтому. Следовательно,, противоречие. Значит, .

(6) Заключительное противоречие.

Пусть —- холловаподгруппа группы. Допустим, что. Тогда. Поскольку по условию,, для некоторого, и, то согласно лемме,. Так как и, то. Значит, и, противоречие с (2). Следовательно,. По условию,

где. Поскольку, то Тогда, и поэтому, что противоречит (5). Это противоречие завершает доказательство теоремы.

Пусть —- группа и —- ее подгруппа Фиттинга. Тогда является сверхразрешимой в том и только том случае, когда , где и —- такие сверхразрешимые подгруппы группы , что и -перестановочна с каждой подгруппой группы и -перестановочна с каждой подгруппой группы .

Доказательство. Необходимость. Пусть —- сверхразрешимая группа. Тогда ввиду леммы,. Пусть —- минимальная нормальная подгруппа группы. Тогда для некоторого простого числа. Пусть —- такая максимальная подгруппа группы, что. Тогда, и сверхразрешимы и каждая подгруппа группы перестановочна с каждой подгруппой группы .

Достаточность. Пусть, где и —- сверхразрешимые подгруппы, —- подгруппа Фиттинга группы, иперестановочна с каждой подгруппой группы иперестановочна с каждой подгруппой группы. Предположим, что не является сверхразрешимой группой, и пусть —- контрпример минимального порядка. Поскольку, то разрешима. Тогда:

(1) Для любой неединичной нормальной в подгруппы факторгруппа сверхразрешима.

Ясно, что —- произведение сверхразрешимых подгрупп и. Пусть и. Так как по условию для некоторых ,

и то мы имеем

и где и. Это показывает, что подгруппаперестановочна с каждой подгруппой группы и каждая подгруппа группыперестановочна с подгруппой. Но поскольку согласно лемме ,

то по выбору группы мы заключаем, что сверхразрешима.

(2) Группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и , где —- силовская -подгруппа группы и —- такая максимальная в подгруппа, что и .

Пусть —- произвольная минимальная нормальная подгруппа группы. Так как класс всех сверхразрешимых групп образует насыщенную формацию, то ввиду (1), —- единственная минимальная нормальная подгруппа в, причем. Пусть —- такая максимальная подгруппа в, что и пусть. Тогда по тождеству Дедекинда мы имеем. Так как разрешима, то —- элементарная абелевагруппа для некоторого простого и поэтому и. Значит,

.

Следовательно, —- сверхразрешимая группа и ввиду леммы .

Так как, то абелева. Поскольку —- неприводимая абелева группа автоморфизмов группы, то —- циклическая группа. Ввиду леммы, —- силовскаяподгруппа группы. Согласно (1) и выбора группы, мы имеем .

(3) или .

Допустим, что и. Пусть —- силовскаяподгруппа группы, где. Тогда —- циклическая группа. Ввиду леммы, , где и —- силовскиеподгруппы групп и соответственно и. Тогда либо, либо. Пусть, например,. Так как, то. Поскольку сверхразрешима, то ввиду леммы,. Тогда. Так как, то. Это показывает, что —- абелева группа экспоненты, делящей, и ввиду леммы, сверхразрешима, что противоречит выбору группы. Значит, либо, либо .

(4) Заключительное противоречие.

Пусть. Тогда. Так как сверхразрешима, то в группе содержится минимальная нормальная подгруппа простого порядка .

Предположим, что. Пусть —- холловаподгруппа группы. Тогда для некоторого,. Поскольку для некоторого, то. Пусть. Тогда и, что противоречие (2). Значит, Пусть и для некоторого. Поскольку и, то, что невозможно в силу (2). Этим завершается доказательство теоремы.

Пусть —- группа и —- ее подгруппа Фиттинга. Тогда является сверхразрешимой в том и только том случае, когда , где и —- такие сверхразрешимые подгруппы взаимно простых порядков, что и каждая подгруппа группы простого порядка или порядка 4 наследственно -перестановочна с каждой подгруппой группы , и каждая подгруппа группы простого порядка или порядка 4 наследственно -перестановочна с каждой подгруппой группы .

Доказательство. Необходимость. Пусть —- сверхразрешимая группа. Пусть —- минимальная нормальная подгруппа группы. Тогда для некоторого простого,. Пусть —- максимальная подгруппа группы такая, что. Тогда и перестановочна с каждой подгруппой группы .

Достаточность. Предположим, что —- произведение подгрупп и, где, —- сверхразрешимы подгруппы взаимно простых порядков, —- подгруппа Фиттинга группы, и каждая подгруппа группы простого порядка или порядка 4 наследственноперестановочна с каждой подгруппой группы, и каждая подгруппа группы простого порядка или порядка 4 наследственноперестановочна с каждой подгруппой группы. Предположим, что не является сверхразрешимой группой, и пусть —- контрпример минимального порядка. Доказательство разобьем на следующие этапы.

(1) В группе имеется несверхразрешимая максимальная подгруппа.

Предположим, что каждая максимальная подгруппа группы сверхразрешима. Тогда ввиду леммы, разрешима. Согласно леммы, для некоторого в группе имеется нормальная силовскаяподгруппа, удовлетворяющая следующим условиям:

(i) свехразрешима и —- наименьшая нормальная подгруппа группы, факторгруппа по которой сверхразрешима;

(ii) если то; если то экспонента подгруппы равна 2 или 4;

(iii) —- главный фактор группы .

Допустим, что. Тогда. Пусть и пусть —- такое простое число, что, —- силовскаяподгруппа группы. Пусть —- такая холловаподгруппа группы, что. Тогда. Поскольку, то содержится в некоторой максимальной подгруппе группы. Так как каждая максимальная подгруппа группы сверхразрешима, то сверхразрешима. Значит, в группе имеется такая нормальная подгруппа, что и поэтому, где. Следовательно, или. Для некоторого, мы имеем. Тогда по условию,. Поскольку субнормальна в и, то, и поэтому. Следовательно, —- циклическая группа. Так как —- сверхразрешимая группа, то сверхразрешима. Значит, —- сверхразрешимая группа. Это противоречие с выбором группы доказывает (1).

(2) Группа не является разрешимой.

Допустим, что разрешима и пусть —- произвольная максимальная подгруппа группы. Тогда для некоторого простого. Без ограничения общности мы можем предположить, что. Согласно теоремы, для некоторого. Покажем, что сверхразрешима. Используя тождество Дедекинда, получаем, где и —- сверхразрешимые подгруппы группы взаимно простых порядков. Пусть —- произвольная подгруппа группы простого порядка или порядка 4. И пусть —- подгруппа группы. Тогда по условию для некоторого. Поскольку, то. Значит, теорема справедлива для и ее подгрупп и. Так как, то по выбору группы, заключаем, что подгруппа сверхразрешима, и поэтому тоже сверхразрешима. Следовательно, каждая максимальная подгруппа группы сверхразрешима, что невозможно в силу (1). Этим доказано (2).

(3) Группа имеет нормальную силовскую подгруппу.

Пусть —- наибольший простой делитель. Без ограничения общности, мы можем предположить, что. Пусть —- силовскаяподгруппа группы. Так как по условию, сверхразрешима, то ввиду леммы,. Пусть —- силовскаяподгруппа группы, где. Тогда для некоторого,. Предположим, что. Согласно леммы, и поэтому. Тогда для некоторого,. Если, то по теореме Бернсайда, разрешима, что невозможно в силу (2). Значит,. Так как теорема справедлива для группы, то по выбору группы, мы заключаем, что группа сверхразрешима. Это влечет. Следовательно, .

(4) Заключительное противоречие.

Пусть —- нормальная силовская подгруппа группы. Тогда для некоторых и. Без ограничения общности, мы можем предположить, что. Покажем, что теорема справедлива для

.

Подгруппы и являются сверхразрешимыми подгруппами группы взаимно простых порядков. Предположим, что. Пусть —- произвольная подгруппа группы простого порядка (порядка 2 или 4, в случае, когда). Тогда по теореме Шура-Цассенхауза, группа имеет такую подгруппу, что и. Пусть —- подгруппа группы. Используя тождество Дедекинда, мы имеем. По условию для некоторого, и поэтому Поскольку, то. Значит, теорема справедлива для группы, и поэтому разрешима. Следовательно, —- разрешимая группа, что невозможно в силу (2). Этим противоречием завершается доказательство теоремы.

2. Факторизуемые группы с -перестановочными силовскими подгруппами

Строение конечной группы тесно связано с условиями, налагаемыми на силовские подгруппы некоторых выделенных подгрупп этой группы. Отметим, в частности, что в работе Хупперта, было доказано, что разрешимая группа является свехразрешимой, если все максимальные подгруппы всех силовских подгрупп из перестановочны со всеми членами некоторой силовской системы группы. Целью данного раздела является дальнейшее изучение строения факторизуемых групп, у которых силовские подгруппы некоторой выделенной подгруппы группы перестановочны илиперестановочны с некоторой системой ее подгрупп.

Пусть —- разрешимая группа и —- произведение -сверхразрешимых подгрупп и взаимно простого порядка. Предположим, что делит порядок подгруппы и

(1) если, то и каждая ее подгруппа простого порядка перестановочна с каждой силовской подгруппой группы ;

(2) если, то и каждая ее подгруппа порядка 2 и 4 перестановочна с каждой силовской подгруппой группы .

Тогда —- -сверхразрешимая группа.

Доказательство. Предположим, что теорема неверна и пусть —- контрпример наименьшего порядка. Пусть —- класс всехсверхразрешимых групп.

Пусть —- -абнормальная максимальная в подгруппа. Тогда для некоторого или для некоторого и. Предположим сначала, что. Поскольку делит и согласно теоремы Холла, имеет такой элемент, что, то без ограничения общности мы можем предположить, что. Покажем, что —- -сверхразрешимая группа. Используя тождество Дедекинда, мы имеем, где исверхразрешимые подгруппы группы взаимно простых порядков. Если являетсяподгруппой, тогруппа и поэтомусверхразрешима. Предположим теперь, что. Пусть —- произвольная подгруппа группы простого порядка (или 4, в случае, если). И пусть —- силовскаяподгруппа группы. Тогда по условию, и поскольку, то. Итак, теорема справедлива для группы и ее подгрупп и. Но и поэтому согласно выбора группы, мы заключаема, что группасверхразрешима. Пусть теперь,, где. Рассуждая как выше, мы можем показать, чтосверхразрешима. Следовательно, каждаяабнормальная максимальная в подгруппасверхразрешима.

Так как разрешима, то ввиду леммы, имеет нормальнуюподгруппу, удовлетворяющую следующим условиям:

(i) -сверхразрешима и наименьшая нормальная подгруппа группы, факторгруппа по которойсверхразрешима;

(ii) если то экспонента подгруппы равна; если то экспонента подгруппы равна 2 или 4;

(iii) —- главный фактор группы .

Ясно, что. Пусть и пусть —- такое простое число, что, —- силовскаяподгруппа группы. Пусть —- некоторая такая холловаподгруппа группы, что. Тогда. Рассуждая как выше, видим, чтосверхразрешима. Тогда в группе имеется такая нормальная подгруппа, что и поэтому, где. Ясно, что или. Согласно лемме, для некоторого, мы имеем. Тогда по условию,. Так как субнормальна в и, то, и поэтому. Следовательно, —- циклическая группа. Ясно, чтосверхразрешима и поэтомусверхразрешима, противоречие. Теорема доказана.

Прежде, чем дать доказательство следующего основного результата этого раздела, нам необходимо установить справедливость следующей леммы.

Пусть —- простое число, , где , —- разрешимая группа, -перестановочна с каждой силовской подгруппой группы , где —- подгруппа Фиттинга группы . Тогда разрешима.

Доказательство. Предположим, что эта лемма не верна и пусть группа —- контрпример минимального порядка. Тогда:

(1) не простая группа.

Предположим, что —- простая группа. Тогда. Пусть —- силовскаяподгруппа группы. Тогда по условию. Действительно, поскольку для каждого мы имеем

где и. Тогда ввиду леммы, непроста.

(2) —- разрешимая группа для каждой неединичной нормальной подгруппы группы .

Пусть —- неединичная нормальная подгруппа группы. Если, то разрешима.

Пусть. Тогда —- произведение подгруппы простого порядка и разрешимой группы. Пусть —- силовскаяподгруппа группы. Тогда для некоторой силовскойподгруппы группы, и поэтому по условию,

для некоторого. Итак, теорема справедлива для факторгруппы. Но, и поэтому ввиду выбора группы, факторгруппа разрешима.

(3) Заключительное противоречие.

Если, то ввиду (2), разрешима и поэтому —- разрешимая группа, противоречие. Значит,. Путсь —- минимальная нормальная подгруппа группы. Тогда ввиду (1),. Допустим, что. Тогда. Так как по условию, разрешима, то разрешима и поэтому согласно (2), —- разрешимая группа, противоречие. Следовательно,. Поскольку —- холловаподгруппа группы, то —- холловаподгруппа группы. Ясно, что, и по тождеству Дедекинда,. Путсь —- силовскаяподгруппа группы, —- силовскаяподгруппа группы такая, что. Тогда по условию,, и поэтому. Следовательно, теорема справедлива для группы и поэтому разрешима. Следовательно, —- разрешимая группа, противоречие с выбором группы. Лемма доказана.

Пусть —- группа и —- ее подгруппа Фиттинга. Если , где и —- сверхразрешимые подгруппы группы , каждай примарная циклическая погруппа группы -перестановочна с каждой силовской подгруппой группы и каждай примарная циклическая погруппа группы -перестановочна с каждой силовской подгруппой группы , то сверхразрешима.

Доказательство. Предположим, что теорема неверна и пусть —- минимальный контрпример. Тогда:

(1) Для каждой нормальной неединичной подгруппы в фактогруппа сверхразрешима.

Пусть —- неединичная нормальная подгруппа в. Заметим, что —- произведение сверхразрешимых подгрупп и. Пусть —- примарная циклическая подгруппа группы. Ясно, что для некоторой примарной циклической подгруппы группы,. Поскольку, то для некоторого, имеющего примарный порядок и для некоторого, и поэтому. Пусть —- силовскаяподгруппа группы. Тогда для некоторой силовскойподгруппы группы. Так как по условию, для некоторого, и поэтому

Ясно, что. Итак, теорема справедлива для. Но, и ввиду выбора группы, мы имеем (1).

(2) разрешима.

Допустим, что не является разрешимой группой.

Если, то ввиду (1), сверхразрешима и поэтому разрешима, противоречие с выбором группы. Следовательно,. Пусть —- наибольший простой делитель. Без ограничения общности, мы можем предположить, что. Пусть —- -подгруппа группы. Тогда по условию, сверхразрешима. Ввиду леммы,. Следовательно, имеет такую минимальную нормальную подгруппу, скажем, что. Если, то ввиду леммы,. Поскольку теорема справедлива для, то сверхразрешима и поэтому минимальная нормальная подгруппа группы, которая содержится в, абелева. Ввиду (1), разрешима, противоречие. Пусть и пусть, где —- силовские подгруппы группы. Тогда по условию, перестановочна со всеми,. Допустим, что. Поскольку теорема справедлива для и, то мы заключаем, что сверхразрешима. Но, и поэтому ввиду леммы и (1), мы снова приходим к противоречию. Допустим теперь, что. Ввиду леммы, мы можем предположить, что. Пусть —- силовскаяподгруппа группы. Тогда, и. Поскольку, то, и поэтому ввиду (1), разрешима, противоречие. Это доказывает (2).

(3) имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и , где для некоторого простого числа , сверхразрешимая максимальная подгруппа группы и .

Пусть —- произвольная минимальная нормальная подгруппа группы. Так как класс всех сверхразрешимых групп образует насыщенную формацию, то ввиду (1), —- единственная минимальная нормальная подгруппа в, причем. Пусть —- максимальная подгруппа группы, не содержащая и. Тогда по тожеству Дедекинда, Так как ввиду (2), абелева, то и поэтому. Следовательно, и сверхразрешима и согласно леммы, .

(4) —- наибольший простой делитель порядка группы .

Пусть и —- такие максимальные подгруппы группы, что,. Так как, то ввиду леммы, для некоторого. Поскольку ввиду леммы, , то либо, либо. Пусть. И пусть —- наибольший простой делитель. Тогда силовскаяподгруппа группы нормальна в, и поэтому содержится в. Следовательлно, —- наибольший простой делитель. Если не является холловой подгруппой группы, то справедливо (4). Пусть —- холлова подгруппа группы и допустим, что, где наибольший простой делитель порядка группы. Тогда для некоторого. Так как, то ввиду (1), порядок силовскойподгруппы группы. Ясно, что. Пусть —- силовскаяподгруппа группы. По условию, для некоторого и ввиду леммы,. Согласно леммы,. Поскольку, то имеет нормальную подгруппу простого порядка такую, что и для некоторого. Согласно леммы, , и поэтому ввиду (2),, противоречие. Полученное противоречие доказывает (4).

(5) —- силовская -подгруппа группы .

Допустим, что это утверждение не верно. Тогда. Это влечет и поэтому ввиду (4), и леммы,, что противоречит (3). Итак, —- силовскаяподгруппа группы .

(6) Заключительное противоречие.

Поскольку и —- силовскаяподгруппа группы, то либо, либо. Допустим, что и пусть —- минимальная нормальная в подгруппа, содержащаяся в .

По условию, для некоторого, где —- некоторое простое число, и —- холловаподгруппа группы. Тогда

Значит, и поэтому. Таким образом,. Следовательно, —- сверхразрешимая группа, что противоречит выбору группы. Теорема доказана.

Заключение

В данной главе получены новые критерии сверхразрешимости факторизуемых групп на основе условияперестановочности некоторых подгрупп. Полученные здесь результаты показывают, что строение группы в существенной мере определяется наличием в ней факторизаций системами перестановочных иперестановочных подгрупп. Пальчик Э. М., Конторович Н. П. О группах, всемаксимальные подгруппы которых перестановочны с силовской подгруппой.

1.Подгорная В. В. Полунормальные подгруппы и сверхразрешимость конечных групп // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-матэм. навук. —- 2000. —- № 4. —- С. 22—-25.

2.Подгорная В. В. Факторизации конечных групп дисперсивными и сверхразрешимыми подгруппами // Веснiк Вiцебскага дзяржаунага Унiверсiтэта. —- 1999. —- № 4(14). —- С. 80—-82.

3.Поляков Л. Я. Конечные группы с перестановочными подгруппами // Конечные группы. —- Минск: Наука и техника, 1966. —- С.75—-88.

4.Самусенко (Подгорная) В.В. О конечных группах с заданными минимальными добавлениями к подгруппам // Вопросы алгебры. Выпуск 13. —- 1998. —- С. 177—-182.

5.Самусенко (Подгорная) В.В. О сверхразрешимости конечных групп с циклическими добавлениями к подгруппам // Вопросы алгебры. Выпуск 14. —- 1999. —- С. 141—-146.

6.Сергиенко В. И. Критерийразрешимости для конечных групп // Мат. заметки. —- 1971. —- Т. 9, № 4. —- С. 375—-383.

7.Сергиенко В. И. Некоторые свойства квазинормальных групп // Подгрупповое строение конечных групп: труды гомельского семинара / Под ред. В. С. Монахова. —- Мн.: Наука и техника, 1981. —- С.149—-152.

8.Скиба А. Н. -перестановочные подгруппы // Известия Гомельского государственного университета имени Ф.Скорины. —- 2003. —- № 4(19). —- C. 37—-39.

9.Черников Н. С. Группы, разложимые в произведение перестановочных подгрупп. —- Киев: Наук. думка, 1987. —-208с.

10.Черток В. Д. Порождение конечной группы системами недостижимых подгрупп // ИАН БССР. Сер. физ.-матем. наук. —- 1967. —- № 2. —- С. 80—-84.

11.Чунихин С. А. Об условиях теорем типа Силова // ДАН СССР. —- 1949. —- Т. 69, № 6. —- С. 735—-737.

12.Чунихин С. А. Подгруппы конечных групп. —- Минск: Наука и техника, 1964. —- 158 с.

13.Шеметков Л. А. Формации конечных групп. —- М.: Наука, 1978.—- 272 с.

14.Шмидт О. Ю. Группы, все подгруппы которых специальные // Мат. сб. —- 1924. —- Т. 31. —- С. 366—-372.