О существовании и единственности решений некоторых классов гиперболических уравнений

Таразский Инновационно Гуманитарный Университет О СУЩЕСТВОВАНИИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЙ некоторых классов ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ А. Дунбаева Г. Ахмедиева Б. Омарова А. Турганбекова г. Тараз

Формулировка результатов Известно, что в случае неограниченной области свойства решений эллиптических уравнений исследованы достаточно полно. Для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа этим вопросам посвящено гораздо меньше работ [1−4].

Рассмотрим дифференциальное уравнение

(1)

В дальнейшем предположим, что коэффициенты удовлетворяют условию:

i) — непрерывные функции в .

Теорема 1. Пусть выполнено условие i). Тогда для уравнения (1) при любой существует единственное решение .

Теорема 2. Пусть выполнено условие i). Тогда для любого решения уравнения справедлива оценка

где с>0 — постоянное число.

На положим Нетрудно проверит, что оператор допускает замыкание и его обозначим через .

Вспомогательные леммы и утверждения Лемма 2.1. Пусть выполнено условие i). Тогда для всех выполняется неравенство Доказательство. Лемма доказывается точно также как лемма 1. работы Далее, в этом пункте доказывается существования резольвенты дифференциального оператора в

Для этого, сперва, рассмотрим оператор

определенный на множестве функции и удовлетворяющих следующим требованиям:

Здесь иправые и левые концы интервалов .

Лемма 2.2. Пусть выполнено условие i). Тогда при существует непрерывный обратный, определенный в пространстве и справедливы следующие оценки гиепрболический уравнение эллиптический дифференциальный

а), б) ,

в) а при ;

г)

где — постоянное число не зависящее от и .

Доказательство. Повторяя выкладки и рассуждения использованные в работах [1−4], получаем доказательство леммы 2.2.

Возьмем набор неотрицательных функции из таких, что

supp

Через К обозначим оператор, определенный равенством

Лемма 2.3. Пусть, выполнено условие i). Тогда для любой функции справедливо следующее равенство

(2.1)

где

(суммы без указания пределов берутся по всем целым j)

Доказательство. Пусть и рассмотрим действия оператора K на f

(2.2)

Так как, то сумма (2.7) конечна. Поэтому следующее вычисления законны:

Здесь учитывалось, что. Лемма 2.3 доказана.

Лемма 2.4. Пусть выполнено условие i). Тогда найдется такое, что .

Доказательство. Проведем оценку нормы оператора :

Здесь мы возпользовались тем что на только. Отсюда и в силу неравенства Гельдера получаем, что где, из последнего неравенства, пользуясь леммой 2.2. имеем:

(2.3)

Последнее неравенство при достаточно больших положительных доказывает лемму.

Лемма 2.5. Пусть выполнено условие i). Тогда оператор при достаточно больших непрерывно обратим и справедливо неравенство.

(2.4)

Доказательство. Оператор ограничен со своим обратным. Поэтому множество плотно в. Из равенства (2.11) при получаем, что и. Отсюда имеем что является решением уравнения. Единственность следует из леммы 2.2 лемма 2.5 доказана.

Лемма 2.6. Пусть выполнены условия леммы 2.5. и пусть такое, что. Тогда справедлива оценка:

(2.5)

где непрерывная функция в .

Доказательство. Из представления (2.5) видно, что оператор ограничен (или неограничен) вместе с оператором .

Поэтому будем заниматься оценкой нормы последнего оператора. Для любого имеем:

Не трудно проверить, что на только. Учитывая это в силу неравенства Гельдера имеем:

Лемма 2.6 доказана.

Лемма 2.7. Пусть выполнены условия леммы 2.6. Тогда справедливы следующие оценки:

а); б) ;

в) .

Доказательство. Согласно леммы 2.6.

Отсюда и из леммы 2.2 получаем, что

Далее, в силу леммы 2.4 имеем:

Точно также, пользуясь леммой 2.3. находим Лемма 2.7 доказана.

Доказательство теорем 1−2

Применяя преобразования Фурье по х к уравнению (1) получаем:

(3.1)

где Отсюда нетрудно заметить, что задача о решении уравнения (1) перейдет в задачу о решении уравнения (3.1). Следовательно, по лемме 2.5.:

(3.2)

дает решение уравнения (3.1).

Теперь, используя обратный оператор, имеем:

(3.3)

Из (3.3) используя свойствами преобразования Фурье, получаем, что Отсюда, в силу леммы, находим:

(3.4)

— постоянное число.

Найдем

Далее, мы имеем Откуда, в силу леммы 2.4

(3.5)

— постоянное число.

Аналогично найдем :

Тогда можно записать, что Отсюда и из леммы 2.7. имеем:

(3.6)

где — постоянное число не зависящее от u и f.

Находим также :

Так как преобразование Фурье не зависит от у, то справедливо равенство:

Таким образом, учитывая лемму 2.4 имеем:

(3.7)

Теорема 2 полностью доказана.

1. Муратбеков М. Б. // Дифференциальные уравнения, 1991, т.27, № 16 С. 2127−2137.

2. Кальменов Т. Ш., Муратбеков М. Б. //Спектральные свойства оператора смешанного типа. Издательство «?ылым» Алматы, 1997.

3. Муратбеков М. Б., Ахмеджанов М. А. // Математический журнал, 2005, т.5. № 2(16), С. 57−65.

4. Муратбеков М. Б., Отелбаев М. О. // Известия вузов сер. матем. 1989, № 3, С. 44−47.