Разработка системы автоматического управления углом тангажа легкого самолета

дипломный проект разработкА системы автоматического управления углом тангажа легкого самолета

Динамические свойства летательных аппаратов (устойчивость, управляемость) не всегда удовлетворительны, а попытки улучшить их путем изменения конструкции приводят к ухудшению аэродинамических форм. Поэтому возникает задача улучшения устойчивости и управляемости летательных аппаратов средствами автоматики без ухудшения их аэродинамических характеристик.

Полет летательного аппарата сопровождается воздействием на него возмущающих сил и моментов [2,3], вызывающих перегрузки, тепловые напряжения и т. д. Поскольку прочность конструкции ограничена, то действующие на летательный аппарат возмущения также должны быть ограничены. Очевидно, этого можно добиться, если система управления будет эффективно противодействовать внешним возмущениям, не допуская в то же время резких перемещений управляющих поверхностей.

При управлении движением летательных аппаратов должны быть достигнуты: заданное качество переходного процесса, точность исполнения команд, слабая реакция на внешние возмущения, оптимальность движения в самом широком смысле (минимальный расход, минимальное время, максимальная дальность и т. д.).

Управление полетом летательных аппаратов сводится к управлению параметрами режимов полета, то есть к управлению совокупностью координат в пространстве. Эти координаты вследствие ряда неконтролируемых возмущений, действующих на летательный аппарат, отклоняются от требуемых значений. Назначение системы управления сводится к устранению таких отклонений.

Данный дипломный проект посвящен разработке системы автоматического управления углом тангажа легкого самолета, предназначенного для проведения аэрофотосъемки в рамках геологических исследований.

Основными показателями качества системы управления изложены в техническом задании.

1. ТЕХНИЧЕСКОЕ ПРЕДЛОЖЕНИЕ

1.1. Техническое задание

Разработать автоматическую систему управления углом тангажа самолета, соответствующую следующим требованиям:

цель управления — отработка динамики изменения управляемой переменной с заданными показателями качества:

перерегулирование не более 30%;

время переходного процесса не более 4,0 с;

управляемая переменная — угол тангажа;

способ управления — изменение угла тангажа посредством изменения углового положения руля высоты.

Оценить работу системы при наличии шумов. Выявить возможность улучшения качества работы, обосновать и принять меры, направленные на улучшение качества. Предельные параметры шумов:

среднеквадратическое отклонение случайного сигнала (вертикальный ветер) 4 м/с среднеквадратическое отклонение погрешности измерений 0,005 рад Условия функционирования объекта известны не полностью.

высота полета от 50 до 2000 м.

скорость полета от 170 до 250 км/ч продолжительность полета около 5 ч Разработать электропривод момент нагрузки 2.5 Н•м момент инерции нагрузки 25 Н•м•с²

максимальная угловая скорость 1 с^-1

максимальная угловое ускорение 1 с^-2

общая погрешность механизма не более 30 ?

располагаемый род тока 27 В постоянного тока.

Требования к конструкции электропривода:

масса привода не более 5 кг минимально возможные габариты.

1.2. Анализ технического задания

Целью дипломной работы является разработка автоматической системы управления углом тангажа, предназначенного для проведения аэрофотосъемки на местности (в частности для геологоразведочных работ).

В первом приближении система управления будет содержать следующие блоки:

регулятор — для отработки системой заданных воздействий;

электропривод.

Тат как условия функционирования объекта известны не полностью и возможны их относительно быстрые изменения (например, резкие вертикальные порывы ветра), следует предусмотреть отработку системой как отдельно задающих воздействий, так и задающих воздействий при наличии шумов.

1.3. Обоснование актуальности разработки

Если раньше геологическая разведка предусматривала исследование конкретных малых площадей, и достаточно было проведения наземных работ (сбор проб, описание залегающих пород, групповая съемка), то в настоящее время проведение геологоразведочных работ может охватывать значительные площади. Как правило, на первом оценочном этапе требуется составление карты местности. Проведение аэрофотосъемки позволит в десятки и даже в сотни раз сократить время, затрачиваемое на составление карты местности. Кроме того, аэрофотосъемка позволяет в ряде случаев получить более полные сведения, чем наземные исследования.

Аэрофотосъемка также незаменима в труднодоступных районах: горных, удаленных от транспортных магистралей.

Таким образом, внедрение проекта позволит получить целый ряд преимуществ при проведении геологоразведочных работ:

существенное сокращение времени на исследование и предварительную оценку местности;

как правило, геологоразведочные работы сильно зависят от погодных условий; применение аэрофотосъемки позволит увеличить полезное рабочее время (например, можно будет проводить съемку обнажений скальных пород при временной оттепели, не ожидая окончательного схода снега);

во многих случаях геологоразведочные работы ограничиваются предварительным составлением укрупненной карты местности; внедрение проекта позволит снизить экономические затраты на такие работы (при наземных работах требуются трактора, вездеходы, рабочие, а также продовольствие и организация временного лагеря).

В настоящее время при необходимости организации аэрофотосъемки геологические организации вынуждены заключать договора с аэродромами и авиакомпаниями; такой вариант сотрудничества имеет ряд недостатков:

большие экономические затраты (аренда самолета и полосы);

при удалении аэродрома от места аэрофотосъемки добавляются также зависимость от погодных условий и необходимость оплачивать все летное время.

Принимая во внимание все перечисленные выше факты, можно придти к выводу, что наиболее оптимальным был бы вариант использования легкого беспилотного самолета. В этом случае примерный порядок проведения работ будет выглядеть следующим образом:

геологи организуют в намеченном районе временный лагерь (предполагается наличие проезжей дороги);

затем осуществляется транспортировка самолета с одновременной перебазировкой центра управления;

далее следует этап собственно аэрофотосъемки.

Учитывая специфику аэрофотосъемки, такому аппарату не обязательно обладать высокой маневренностью, но важны длина разбега/пробега, максимальная дальность полета, надежность.

Применение легкого беспилотного самолета позволит существенно удешевить работы и сократить время их проведения.

Кроме того, возможны альтернативные варианты использования проекта:

радио-, биологическая и химическая разведка;

метеорологические наблюдения;

тактико-воздушная разведка.

2. ТЕХНИЧЕСКИЙ ПРОЕКТ

2.1. Математическая модель самолета

2.1.1. Постановка задачи моделирования

Движение летательного аппарата является единым процессом, описываемым сложной системой дифференциальных уравнений. Однако нередко сложное движение летательного аппарата разбивают на простейшие виды его (угловые движения и движение центра масс, продольное и боковое движения и т. д.), что значительно упрощает и облегчает изучение задачи. Погрешности, допускаемые при таком приближенном рассмотрении, оказываются малыми.

Режим полета определяется многими взаимосвязанными параметрами. Поскольку между этими параметрами существуют однозначные связи, определяемые из уравнений движения летательного аппарата, то можно выбрать небольшое число параметров, характеризующих режим полета. Эти параметры могут быть выбраны в качестве регулируемых.

Произведем вывод дифференциальных уравнений движения летательного аппарата как объекта управления и установим динамические характеристики, позволяющие оценивать реакцию летательного аппарата на возмущения со стороны управляющих органов.

2.1.2. Структура уравнений движения самолета

Движение самолета как твердого тела состоит из двух движений: движения центра масс и движения вокруг центра масс. Поскольку в каждом из этих движений самолет обладает тремя степенями свободы, то в целом его движение характеризуется шестью степенями свободы. Для задания движения в любой момент времени необходимо задать шесть координат как функций времени.

Для определения положения самолета будем применять следующие системы прямоугольных координат (рис. 2.1):

неподвижную систему Ox₀y₀z₀, начало которой совпадает с центром масс самолета, ось Oy₀ направлена по вертикали, а оси Ox₀ и Oz₀ горизонтальны и имеют фиксированное направление по отношению к Земле;

связанную систему Ox₁y₁z₁ с началом в центре масс самолета, оси которой направлены по главным осям инерции самолета: ось Ox₁ — по продольной оси, ось Oy₁ — в плоскости симметрии, ось Oz₁ перпендикулярна к плоскости симметрии;

скоростную систему Oxyz с началом в центре масс самолета, ось Ox которой направлена по вектору скорости V, ось Oy — в плоскости симметрии, ось Oz перпендикулярна к плоскости симметрии;

Положение связанной системы Ox₁y₁z₁ по отношению к неподвижной системе Ox₀y₀z₀ характеризуется углами Эйлера:? — угол крена,? — угол рыскания и — угол тангажа.

Положение вектора воздушной скорости V относительно связанной системы Ox₁y₁z₁ характеризуется углом атаки? и углом скольжения .

Нередко вместо инерциальной системы координат выбирается система, связанная с Землей. Положение центра масс летательного аппарата в этой системе координат можно характеризовать высотой полета H, боковым отклонением от заданной траектории полета Z и пройденным расстоянием L.

Рис. 2.1 Системы координат Рассмотрим плоское движение летательного аппарата, при котором вектор скорости центра масс совпадает с плоскостью симметрии. Самолет в скоростной системе координат представлен на рис. 2.2.

Рис. 2.2 Самолет в скоростной системе координат Уравнения продольного движения центра масс самолета в проекции на оси OX_a и OY_a запишем в виде

(2.1)

(2.2)

Где m — масса;

V — воздушная скорость самолета;

P — сила тяги двигателя;

— угол атаки;

— угол наклона вектора скорости к горизонту;

X_a — сила лобового сопротивления;

Y_a — аэродинамическая подъемная сила;

G — сила веса.

Обозначим через M_z и J_z соответственно суммарный момент аэродинамических сил, действующих относительно поперечной оси, проходящей через центр масс, и момент инерции относительно той же оси. Уравнение моментов относительно поперечной оси самолета будет:

(2.3)

Если М_шв и J_в — шарнирный момент и момент инерции руля высоты относительно его оси вращения, М_в — управляющий момент, создаваемый системой управления, то уравнение движения руля высоты будет:

(2.4)

В четырех уравнениях (2.1) — (2.4) неизвестными являются пять величин, ,, V и _в.

В качестве недостающего пятого уравнения возьмем кинематическое уравнение, связывающее величины, и (см. рис. 2.2):

(2.5)

Уравнения движения (2.1) — (2.5) описывают поведение самолета в координатной системе, связанной с аппаратом. Для определения движения в системе координат, связанной с Землей, к этим уравнениям необходимо добавить уравнения движения центра масс по отношению к этой координатной системе.

В качестве таких уравнений можно взять следующие выражения:

(2.6)

(2.7)

где H и L — высота полета и пройденное расстояние,

U_y и U_x — составляющие скорости ветра по соответствующим направлениям.

Уравнения (2.1) — (2.7) составляют полную систему дифференциальных уравнений продольного движения самолета.

2.1.3. Линеаризация уравнений продольного движения самолета

Анализ нелинейной системы дифференциальных уравнений ((2.1) — (2.7)) и их решение представляет определенные трудности. Поэтому первым шагом на пути их исследования является линеаризация связей между переменными, получение линейной математической модели самолета как объекта управления с последующим анализом динамических свойств.

Для получения линеаризованных уравнений движения необходимо установить зависимость сил и моментов от величин, , и V, а также от регулирующих факторов.

Сила тяги двигателя P зависит от внутренних параметров, а также от внешних условий, характеризуемых скоростью полета V, давлением p_н и температурой T_н в атмосфере.

Аэродинамические силы и моменты принято представлять в виде [7]

(2.8)

где c_x и c_y — коэффициенты сопротивления и подъемной силы;

m_z — коэффициент момента тангажа;

b_A — длина хорды крыла;

S — площадь крыльев;

q — скоростной напор, вычисляемый по формуле:

(2.9)

Коэффициенты c_x и c_y являются функциями и V, а коэффициент m_z функцией и _в.

Для линеаризации уравнений (2.1) — (2.7) с учетом соотношений (2.8) — (2.9) воспользуемся известным методом представления нелинейных зависимостей в виде линейных отклонений относительно невозмущенного движения (в предположении малости этих отклонений). В качестве невозмущенного движения можно взять горизонтальный полет с постоянной скоростью. При этом будем пренебрегать влиянием нестационарности обтекания на аэродинамические характеристики самолета. Предположим, что невозмущенное движение самолета характеризуется параметрами V₀, H₀ ,₀ ,₀ ,₀, не зависящими от времени. Пусть в некоторый момент времени вследствие возмущений, действующих на самолет, имеем:

где V,, ,, H — малые приращения.

Следовательно, возмущенное движение самолета состоит из невозмущенного движения и движения, характеризуемого малыми отклонениями. Такая трактовка возмущенного движения законна до тех пор, пока приращения V,, , и H остаются малыми, что имеет место для устойчивых систем. Так как одним из основных назначений системы управления является обеспечение устойчивости режима полета, то законность использования линеаризованных уравнений можно считать обеспеченной.

Разлагая силы P, X, Y и момент M_z в ряды Тейлора по малым приращениям и ограничиваясь линейными членами приращений, вместо уравнений (2.1) — (2.5) получим:

(2.10)

где члены с верхними индексами обозначают частные производные по соответствующим переменным в окрестности невозмущенного движения.

Предположим, что невозмущенный полет является горизонтальным, тогда ₀=0. Для частных производных, входящих в уравнения (2.10), можно с учетом (2.8) написать:

(2.11)

в этих выражениях М — число Маха.

В целях дальнейших преобразований воспользуемся соотношениями:

или, если учесть, что где a — скорость звука, то

(2.12)

Кроме того, воспользуемся зависимостью между высотой H и параметрами атмосферы и T_H [3]

(2.13)

где

— градиент температуры,

R — газовая постоянная.

Пользуясь выражением (2.13), найдем:

(2.14)

Следовательно

(2.15)

В целях сокращения записи введем безразмерные величины:

(2.16)

где — аэродинамическая постоянная времени самолета, а также вместо приращений, и будем записывать, и, придавая последним величинам смысл тех же приращений.

Воспользовавшись соотношениями (2.11) — (2.16), приведем уравнения (2.10) к виду:

(2.17)

где

r — радиус инерции самолета.

Система дифференциальных уравнений (2.17) является линейной математической моделью продольного движения самолета.

Динамика самолета в продольной плоскости характеризуется двумя составляющими: короткопериодической и длиннопериодической [2,5,6,7,8]. В короткопериодическом движении очень резкие изменения претерпевают параметры и, характеризующие движение самолета относительно центра масс. При длиннопериодическом движении изменяются параметры и V, характеризующие положение центра масс самолета. Поэтому в уравнениях (2.17) можно положить = 0, считая, что за время изменения угловых координат и скорость полета практически не изменяется. Другими словами продольная ось самолета может совершать колебания относительно вектора скорости центра масс.

Если учесть сделанные замечания и принять, что равновесие продольных сил при возмущении по и не нарушается, то вместо системы (2.17) получим для случая горизонтального полета:

(2.18)

Входящие в уравнения (2.18) коэффициенты n_ik являются известными функциями времени. В короткие промежутки, не превосходящие постоянную времени _а более, чем на один порядок, их можно принять постоянными.

Из уравнений (2.18) путем преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях можно получить передаточную функцию самолета, характеризующую его реакцию на возмущение со стороны руля высоты:

(2.19)

где

s — оператор Лапласа, Для перехода в пространство состояний введем новые переменные:

(2.20)

Перепишем уравнения (2.18) в виде:

(2.21)

С учетом (2.20) можно записать:

(2.22)

где a₁ = 0; b₁ = 1;

a₂ = 1; b₂ = n₃₃;

a₃ = -1; b₃ = n₀;

a₄ = -n₂₂; b₄ = n₃₂; (2.23)

a₅ = 0; b₅ = -n_B;

u = _B;

Перепишем уравнения объекта в нормальной форме:

(2.24)

или в пространстве состояний:

(2.25)

где ненулевые коэффициенты определяются как:

Для рассматриваемого в проекте легкого самолета на одном из режимов полета коэффициенты уравнений (2.18) принимают значения [6]:

n_В = 49,

n₀ = 0.4,

n₂₂ = 2.4,

n₃₂ = 38,

n₃₃ = 2.45,

Таким образом, подставляя значения коэффициентов в (2.19) и (2.25) получим передаточную функцию самолета:

(2.26)

а также векторное дифференциальное уравнение самолета:

(2.27)

2.2. Анализ модели самолета

Таким образом, получена модель в пространстве состояний:

(2.28)

где X (t) — вектор переменных состояния;

u (t) — задающее воздействие;

y (t) — выходной сигнал;

A_3x3, B_3x1, C_1x3 — матрицы коэффициентов объекта, входа и выхода соответственно;

t — время.

Матрицы, А и В приведены выше, матрица выхода имеет вид:

(2.29)

Структурная схема модели представлена на рис. 2.3.

Рис. 2.3. Структурная схема модели Передаточная функция модели имеет вид:

По расположению полюсов модели можно судить об устойчивости объекта, и характере его переходного процесса. Собственные числа матрицы, А (корни характеристического уравнения системы) можно определить, решив характеристическое уравнение объекта вида:

(2.30)

Так как модель задана в пространстве состояний, для нахождения коэффициентов характеристического уравнения целесообразно привести матрицу коэффициентов объекта, А к канонической форме достижимости, где она имеет следующую структуру:

(2.31)

где W_c — матрица управляемости вида:

(2.32)

Вычислив по формуле (2.31) матрицу А_КД ,

(2.33)

получим характеристическое уравнение:

(2.34)

Решая уравнение (2.34), найдем полюсы системы:

(2.35)

Наличие нулевого полюса свидетельствует о том, что объект находится на границе устойчивости. Расположение полюсов на комплексной плоскости приведено на рис. 2.4.

Рис. 2.4 Расположение полюсов на комплексной плоскости Числитель передаточной функции представляет собой полином первой степени. Нуль передаточной функции (решение этого полинома) — равен:

? = 0,05.

Переходная характеристика объекта представлена на рис. 2.5.

Рис. 2.5 Переходная характеристика объекта Вид переходной характеристики объекта свидетельствует о том, что объект — нейтрально устойчив.

Об устойчивости замкнутой системы можно судить по ЛЧХ разомкнутой системы [9,10], представленной на рис. 2.6.а, и рис. 2.6.б .

Рис. 2.6.а. Логарифмическая амплитудночастотная характеристика Рис .2.6.б Логарифмическая фазово-частотная характеристика Из ЛЧХ можно видеть, что замкнутая система не обладает устойчивостью.

Таким образом, введение единичной обратной связи, не позволит добиться устойчивой переходной характеристики. Следовательно, для обеспечения устойчивости и заданных динамических характеристик системы, необходимо ввести регулятор.

Введение

регулятора позволило бы сместить нулевой полюс на комплексной плоскости влево (в область отрицательных значений).

На практике применяют различные типы регуляторов.

2.3. Исследование различных вариантов схем систем управления

Рассмотрим две наиболее употребительные схемы систем управления для легкого самолета [6,7,8].

Общая для обеих систем функциональная схема системы управления углом тангажа приведена на рис. 2.7.

В качестве датчиков информации используются гировертикаль и скоростной гироскоп. Сигналы датчиков информации, обратной связи и задатчика после суммирования поступают на усилитель и затем на рулевую машину, которая перемещает руль высоты.

Рис. 2.7 Функциональная схема системы управления углом тангажа Рассмотрим систему автоматического управления углом тангажа с пропорциональным законом управления, структурная схема которой представлена на рис. 2.8, включающую контур управления угловой скоростью и контур управления углом тангажа.

Закон управления системы берем в виде:

(2.36)

где _З — заданное значение угла тангажа.

Решая уравнение (2.36) совместно с уравнениями горизонтального полета

(2.37)

где f₁ и f₂ — возмущения, действующие на самолет, получим:

(2.38)

где

(2.39)

Выбор параметров системы управления следует производить из условий неискаженного воспроизведения заданного угла тангажа _З при слабом реагировании на возмущения f₁ и f₂. если передаточные числа и выбрать достаточно большими, то реакция системы на возмущения f₁ и f₂ будет слабой.

Будем осуществлять выбор передаточных чисел и в два этапа. Сначала выберем значение передаточного числа из условия заданного переходного процесса во внутреннем контуре (см. рис. 2.8), для которого передаточная функция имеет вид:

(2.40)

где

(2.41)

Выберем такое значение передаточного числа, чтобы коэффициент затухания был оптимальным, например, d = 1. Находим

(2.42)

Для внешнего замкнутого контура (см. рис. 2.8) можно записать:

(2.43)

где

(2.44)

Известно [6,8], что параметры Вышнеградского А₁ и А₂ соответствуют оптимальному переходному процессу, если они меняются в пределах от 2 до 3. Поскольку А₁ определяется коэффициентом затухания d, то следует задавать А₂. Взяв А₂ = 3, найдем

(2.45)

Зная параметры самолета, найдем значения передаточных чисел, и собственную частоту. Для переходного процесса во внутреннем контуре, соответствующего d = 1, получаем из формул (2.42) и (2.45):

Эти величины безразмерны. Для получения размерных величин необходимо воспользоваться зависимостями:

Размерные передаточные числа, показывают, на какой угол необходимо отклонить руль высоты при отклонении самолета по углу тангажа на 1 или угловой скорости тангажа на 1 град/с.

На рис. 2.9 показана переходная характеристика системы для найденных передаточных чисел при возмущении на систему от задатчика — кривая 1. Кривая 2 соответствует угловой скорости угла тангажа, а кривая 3 — углу тангажа.

Из графиков видно, что время переходного процесса составляет 4.8 с.

Рис. 2.9. Переходная характеристика системы с пропорциональным управлением Рассмотрим некоторые вопросы динамики автоматического управления углом тангажа посредством пропорционально — дифференциального (ПД) закона управления (рис. 2.10). Закон управления системы берем в виде:

(2.46)

где _З — заданное значение угла тангажа,

и — передаточные числа.

Рис. 2.10 Структурная схема системы с ПД управлением Для исследования переходного процесса решим уравнение (2.46) совместно с уравнениями горизонтального полета (2.38):

(2.47)

где

(2.48)

Поскольку возмущение f входит под знак оператора дифференцирования, то система не имеет статических погрешностей по отношению к углу тангажа.

Рассмотрим передаточную функцию по управляющему сигналу:

(2.49)

где

(2.50)

Выберем параметры системы из условия кратности корней А₁=А₃=4 и А₂=6. Передаточные числа при этих условиях будут:

аэрофотосъемка самолет управление угол тангаж

(2.51)

Определим передаточные числа, и применительно к исследуемому в данном проекте самолету:

Для получения размерных величин необходимо воспользоваться зависимостями:

На рис. 2.11 показана переходная характеристика системы для найденных передаточных чисел при возмущении на систему от задатчика — кривая 1. Кривая 2 соответствует угловой скорости угла тангажа, а кривая 3 — углу тангажа.

Из графиков видно, что время переходного процесса составляет 3.8 с.

Рис. 2.11 Переходная характеристика системы с ПД управлением

2.4. Обоснование необходимости фильтрации в проектируемой САУ

Как правило, кроме задающего и управляющего воздействий, в системе присутствуют внутренние и внешние шумы, роль которых негативна. Так при воздействии на системы, рассмотренные в п. 2.3 типовых шумов, например, Гауссов шум, с относительно большой дисперсией, переходные характеристики перестают удовлетворять заданным показателям качества. Переходные характеристики систем под воздействием шумов представлены на рис. 2.12. и рис. 2.13. соответственно.

Рис. 2.12 Переходная характеристика САУ с пропорциональным управлением под воздействием шумов Рис. 2.13 Переходная характеристика САУ с ПД управлением под воздействием шумов На практике на систему могут воздействовать различные виды шумов. Характер и интенсивность шумов определяется их природой и параметрами.

Для достижения необходимого качества переходного процесса применяют фильтрацию.

2.5. Природа и параметры шумов в системе

Все шумы, действующие в системе, можно условно разделить на внутренние и внешние.

К внутренним можно отнести:

дрейф параметров в усилителе;

шумы датчиков информации.

Причиной возникновения внутреннего шума может стать разброс параметров элементов электрической схемы.

К внешним шумам относят порывы ветра, а также любые другие воздействия извне. Вероятность встречи ЛА с порывами ветра различной интенсивности различна, причем наиболее часто встречаются порывы ветра малой интенсивности. Порывы большой интенсивности могут быть в пределе приняты как скачки возмущений. Движущийся ЛА такой скачок может воспринимать и как импульс. Таким образом, характер возмущений, действующих на ЛА, зависит как от характера порывов ветра, определяющего турбулентностью атмосферы, так и от скорости полета.

В ряде случаев наиболее важными являются не единичные порывы ветра, а случайные возмущения, состоящие из нерегулярно чередующихся единичных порывов. В простейшем случае модель турбулентности атмосферы может быть представлена в виде стационарного случайного процесса, оцениваемого спектральной плотностью интенсивности с некоторым распределением. Характеристики этих процессов обычно определяются на основе экспериментальных исследований.

Отдельные наблюдения за случайным процессом, протекающим в одной и той же системе, дают каждый раз различные реализации случайного процесса. Спрогнозировать реализацию случайного процесса в единичном опыте невозможно. Можно лишь найти статистические данные, характеризующие множество процессов, протекающих в одинаковых условиях. Простейшая из таких вероятностных характеристик — одномерная плотность распределения w₁(x₁, t₁). Случайный процесс представляет собой множество случайных величин, связанных друг с другом статическими зависимостями.

Эти связи не учитываются одномерной плотностью распределения w_n(x₁, t₁; x₂, t₂;…; x_n, t_n).

В общем случае полная информация о случайном процессе имеется лишь тогда, когда для любого числа n имеется n — мерная плотность распределения.

2.6. Основные вероятностные характеристики шумов в управляемом объекте

В реальных системах n — мерные плотности распределения могут быть получены для случайного процесса x (t) лишь с помощью сложной и трудоемкой обработки множества реализаций случайного процесса. Расчеты, связанные с применением n — мерной плотности распределения также сложны и громоздки. Однако многие практическое задачи можно решить, принимая вместо n — мерной плотности распределения более простые характеристики случайного процесса, а именно — средние значения: среднее по множеству или математическое ожидание и среднее по времени.

Средние значения приближенно характеризуют поведение случайного процесса в отдельные моменты времени. Связь между значениями случайного процесса в различные моменты времени x (t₁) и x (t₂) может быть приближенно оценена средним значением их произведения x (t₁)x (t₂), называемым корреляционной или автокорреляционной функцией K_x(t₁, t₂), которая вычисляется по формуле:

(2.52)

Для стационарного случайного процесса w₂ зависит лишь от = t₂ — t₁ :

(2.53)

В качестве характеристики связи между значениями двух случайных процессов x (t1) и y (t₂) соответственно можно ввести взаимную корреляционную функцию:

(2.54)

Если x (t1) и y (t₂) — стационарны и притом стационарно связаны, то:

(2.55)

Автокорреляционная функция является мерой взаимозависимости отдельных значений случайного сигнала. Из выражения (2.52) и (2.53) следует, что автокорреляционная функция зависит от математического ожидания сигнала. Если же анализируется только отклонение от среднего, то функция (2.53) переходит в автоковариационную функцию:

(2.56)

При = 0 выражение (5) дает дисперсию сигнала:

(2.57)

представляющую собой меру разброса значений случайного сигнала вокруг математического ожидания.

Степень взаимозависимости двух случайных сигналов определяется взаимной ковариационной функцией:

(2.58)

Белый шум отличается от случайных сигналов других типов тем, что его текущее значение не зависит от всех предшествующих. Поскольку внутренняя взаимосвязь между значениями белого шума отсутствует, то в случае, когда его амплитуда распределена по нормальному закону, он полностью описывается математическим ожиданием m_x и его ковариационной функцией:

(2.59)

где ?(?) — функция Кронекера, определяемая следующим образом:

(2.60)

Как было показано выше, системы с пропорциональным и ПД управлением не могут удовлетворительно работать при воздействии шумов. Это можно объяснить постоянством коэффициентов обратных связей, величина которых при появлении в системе шумов оказывается недостаточной. Для успешного управления объектом при наличии шумов рациональнее будет использовать методы и подходы аналитической теории оптимальных фильтров и регуляторов, основанные на представлении системы в пространстве состояний.

Таким образом, задача фильтрации будет состоять в оценивании вектора состояний линейной системы. В общем случае эта задача называется линейным оцениванием с минимальной среднеквадратической ошибкой или линейной фильтрацией.

2.7. Синтез фильтра Калмана

Так как движение самолета подвержено случайным воздействиям, управление определяется на основе оценивания состояния системы. Решим задачу синтеза линейного алгоритма фильтрации, который формирует несмещенную оценку вектора состояния системы с минимальной дисперсией.

Движение системы в общем случае описывается векторным дифференциальным уравнением:

(2.61)

где w — вектор случайных помех, сопровождающих измерения.

Вектор измеряемых выходных координат этой системы, который доступен наблюдению и обработке, определяется соотношением:

(2.62)

где v — вектор случайных помех, сопровождающих измерения.

Предполагается, что система (2.61), (2.62) при w (t)0 и v (t)0 наблюдаема. Воздействие w (t) и v (t) будем считать гауссовскими случайными процессами типа белого шума с нулевыми математическими ожиданиями:

(2.63)

их ковариационные матрицы:

(2.64)

где (t) — дельта-функция Дирака;

Q (t) — симметрическая неотрицательно-определенная матрица интенсивности белого шума w (t);

R (t) — симметрическая положительно-определенная матрица интенсивности белого шума v (t);

Предположим, что начальное состояние системы X (t₀) — гауссовский случайный вектор с известным математическим ожиданием:

(2.65)

и ковариационной матрицей

(2.66)

Для этой матрицы при совпадающих значениях аргументов будем использовать обозначение:

(2.67)

Искомой является линейная несмещенная оценка вектора X (t), построенная на основе результатов наблюдений y (), (t₀? ? t). Обозначим эту оценку через и допустим, что она может быть получена на выходе фильтра, описываемого векторным дифференциальным уравнением:

(2.68)

Ошибку оценивания

(2.69)

можно назвать ошибкой фильтра. Чтобы процесс на выходе фильтра был несмещенной оценкой, должно выполнятся равенство:

(2.70)

Вычисляя математическое ожидание обеих частей уравнения (2.68), получим:

(2.71)

но из (2.62) следует, что

(2.72)

На основании (2.70) — (2.72) получаем дифференциальное уравнение для среднего значения вектора состояния системы:

(2.73)

Вычисляя математическое ожидание от обеих частей уравнения (2.61), получим еще одно уравнение для среднего значения вектора состояния:

(2.74)

Сравнивая уравнения (2.73) и (2.74), можно определить первое условие несмещенности оценки вектора состояния с помощью рассматриваемого фильтра:

(2.75)

Второе условие состоит в том, чтобы уравнения (2.73) и (2.74) решались при одном и том же начальном условии:

(2.76)

Если выполнить условия несмещенности (2.75) и (2.76), то уравнение фильтра (2.68) примет вид:

(2.77)

Определим матрицу коэффициентов усиления фильтра K (t), которая должна обеспечивать оптимальную оценку в том смысле, что составляющие ошибки оценивания (2.69) должны иметь минимальную дисперсию:

(2.78)

где P (t) — ковариационная матрица ошибок оценивания.

Согласно (2.69) и (2.70) оказывается, что:

(2.79)

Начальное значение матрицы P (t):

(2.80)

Так как в соответствии с (2.76) справедливо, то согласно (2.67) получаем:

(2.81)

Ковариационная матрица ошибок является решением матричного дифференциального уравнения Риккати:

(2.82)

которое следует решать при начальных условиях (2.81).

Решим уравнение Риккати в численном виде. Для этого перейдем в дискретную область описания, используя следующие преобразования [13]:

(2.83)

(2.84)

где Т — период дискретизации, или приближенно:

(2.85)

(2.86)

Принимая Т = 0.05 с и подставляя значения матриц, А и В в формулы (2.85) и (2.86) соответственно получим:

Уравнение Риккати перепишем в дискретном виде :

(2.87)

где к — номер шага.

Расчет проведем в пакете прикладных программ MatLab. Задаваясь начальным условием

R = 0.05, (2.88)

получим на первом шаге:

на восьмом шаге:

на пятнадцатом шаге:

на шестнадцатом шаге:

Таким образом, уравнение (2.87) сходится за 15 шагов.

Определим матрицу коэффициентов усиления фильтра K по формуле (2.78):

Таким образом, найдена матрица коэффициентов усиления фильтра. Для замыкания контура регулирования необходимо найти матрицу обратных связей регулятора.

Пусть сигнал управления u (t) в системе (2.61) и (2.62) формируется по оценке состояния Z (t) в виде:

(2.89)

Подставляя это уравнение в уравнения (2.61) и (2.77), получаем:

(2.90)

В этом случае уравнение оптимального фильтра имеет форму (2.77) с учетом (2.89), т. е.

(2.91)

В пределах каждого из режимов работы будем считать систему стационарной. Тогда оценка Z (t) используется для замыкания стационарной системы

(2.92)

в виде:

(2.93)

где D — постоянная матрица, выбранная таким образом, чтобы система

(2.94)

была асимптотически устойчива.

2.8. Синтез линейно-квадратичного регулятора

2.8.1. Постановка задачи

Для объекта управления, который, в общем случае, описывается системой линейных дифференциальных уравнений:

(2.95)

необходимо найти закон управления u (t), при котором реализуется минимум квадратичного функционала [4]:

(2.96)

где ?(t) — неотрицательно определенная матрица весовых коэффициентов,

?(t) — положительно определенная матрица весовых коэффициентов.

Оптимальный закон управления u (t), который обеспечивает минимум критерию (2.96) определяется по формуле:

(2.97)

где P (t) — решение матричного дифференциального уравнения Риккати.

Следует отметить, что несмотря на большое количество работ, посвященных обоснованию и применению метода аналитического конструирования (А. М. Летова, А. А. Красовского, В. И. Зубова, Р. Е. Калмана и других ученых), ряд практических вопросов, среди которых выбор значений весовых матриц? и ?, не нашел достаточного отражения в существующей литературе.

2.8.2. Выбор весовых коэффициентов критерия оптимальности

Качество регулирования будем считать удовлетворительным, если такие характеристики системы, как время переходного процесса, перерегулирование, средняя квадратическая ошибка, остаются в заданных пределах. В этих условиях подходящим критерием оптимальности системы является квадратичный функционал (2.96).

Слагаемое x^T(t)?x (t) оценивает отклонение фазовых координат от желаемых на всем интервале [ t₀, t_f ].

Слагаемое u^T(t)?u (t) оценивает стоимость управления. Это слагаемое часто называют мощностью управления.

Как отмечалось, основное затруднение при решении задач аналитического конструирования оптимальных регуляторов — выбор элементов весовых матриц? и? в функционале (2.96), который определяет динамические свойства системы. Обычно матрицы? и? назначаются диагональными. Найти явные аналитические зависимости между элементами матрицы P (t), а следовательно, динамическими свойствами системы, и весовыми матрицами невозможно. Поэтому при выборе элементов весовых матриц обычно используется метод последовательных приближений.

Один из возможных способов выбора весовых матриц? и? преложили Брайсон и Хо Ю-ши. Они рекомендуют брать их диагональными со следующими элементами: обратные элементы 1/?_ij матрицы? — произведениям (t_f — t₀) на максимально допустимые значения [x_i(t)]², обратные элементы 1/?_ij матрицы? — произведениям (t_f — t₀) на максимально допустимые значения [u_i(t)]².

Зададимся максимально допустимыми значениями x_i и u_i — 15 В. Получим:

? = 0.001.

Матрицу усиления регулятора найдем, воспользовавшись функцией lqr пакета прикладных программ системы MatLab. Решение матричного уравнения Риккати:

Матрицу усиления регулятора:

Проведем моделирование системы с фильтром и регулятором в пакете Simulink системы MatLab.

2.8.3. Моделирование системы с фильтром и регулятором

Таким образом, замкнутый контур регулирования, состоящий из объекта, фильтра и регулятора, можно описать обобщенной системой дифференциальных уравнений:

(2.98)

Структурная схема системы управления приведена на рис. 2.15.

Рис. 2.15 Структурная схема системы управления Проанализируем работу системы без фильтра с регулятором.

При отсутствии шумов состояний и измерений реакция системы на единичное ступенчатое воздействие представлена на рис. 2.16.

Рис. 2.16. Переходная характеристика системы с регулятором Из переходной характеристики видно что время переходного процесса составляет tp? 3 с. Перерегулирование не превышает 15%.

График переходной характеристики системы с регулятором с учетом шумов представлен на рис. 2.17.

Рис. 2.17. Переходная характеристика системы с регулятором с учетом шумов

Из рис. 2.17 видно, что система с регулятором под воздействием шумов неустойчива.

Процессы в системе с фильтром и регулятором представлены на рис. 2.18−2.20.

Зашумленные измерения выходной координаты (рис. 2.18) поступают на вход фильтра, который восстанавливает вектор состояния по этим измерениям (рис. 2.19).

Рис. 2.18 Зашумленные измерения угла тангажа Рис. 2.19 Оценки вектора состояния Оценка вектора состояний поступает на регулятор, где формируется управление на основе этой оценки.

Реакция системы с фильтром и регулятором на единичное ступенчатое воздействие представлена на рис. 2.20.

Рис. 2.20 Реакция системы с фильтром и регулятором на единичное ступенчатое воздействие

2.9. Анализ работы системы с фильтром и регулятором

Из переходной характеристики видно, что реакция системы с фильтром и регулятором на единичное ступенчатое воздействие при наличии шумов практически полностью совпадает с реакцией системы с регулятором без наличия шумов.

Время переходного процесса составляет tp? 3 с.

Перерегулирование? 15%.

Таким образом, синтезирована система автоматического управления углом тангажа, удовлетворяющая заданным показателям качества переходного процесса.

Наличие фильтра позволяет отказаться от использования скоростного гироскопа, выполняющего роль датчика угловой скорости, так как угловая скорость угла тангажа является одной из координат вектора состояния. Как было показано, фильтр успешно восстанавливает вектор состояния. Отказ от скоростного гироскопа позволяет получить ряд преимуществ над системами, рассмотренными в п. 2.3.:

1) резко снизилась чувствительность к шумам;

2) за счет уменьшения числа датчиков увеличилась надежность;

3) экономический выигрыш;

4) функциональный выигрыш.

3. ЭКОНОМИЧЕСКИЕ И ОРГАНИЗАЦИОННЫЕ ВОПРОСЫ

3.1. Выбор и описание разрабатываемого и альтернативного вариантов программного продукта

Задачей дипломного проекта является создание программы для моделирования процессов управления полётом самолета.

Программа позволяет анализировать поведение системы, и факторы, влияющие на нее. Данная программа может быть реализована при помощи двух математических пакетов — MatLab и MathCAD. Программа является исследовательской и с ее помощью предполагается производить ряд экспериментов, поэтому интерфейс программы должен быть понятным и доступным, а также давать возможность вывода на печать графической или какой либо иной информации.

И MathCAD и MatLab представляют практически одинаковые возможности для решения поставленной задачи, однако можно выделить некоторые особенности. Одним из важных преимуществ MatLab является богатство матричных операций. К недостаткам MatLab можно отнести то, что он остаётся языком программирования. Программы в MatLab являются обычными текстовыми файлами (скриптами), поэтому они лишены той наглядности, которая свойственна MathCAD, где формулы представлены в графике и максимально приближены к их естественному виду. Однако MathCAD не столь богат библиотеками и Toolboxами, как MatLab. Следствием этого является необходимость подробной, детализированной проработки программ в MathCAD.

MatLab поддерживается в ОС Windows и Linux. Это расширяет круг его пользователей. Кроме того, UNIX-системы считаются более предпочтительными для реализации приложений, ориентированных для использования в промышленности. В MatLab предусмотрены средства сопряжения с реальными объектами, есть возможности генерирования программных кодов на языках С/C++, ФОРТРАН. Также следует отметить, что стоимость MatLab ниже MathCAD и, следовательно, экономически выгодно использовать первый программный продукт.

Из всего выше сказанного можно сделать вывод, что основным программным обеспечением в расчетах будет MatLab, а альтернативным — MathCAD.

Анализ производственных инвестиций в основном заключается в оценивании и сравнении эффективности альтернативных инвестиционных проектов. Общий период осуществления инвестиционной деятельности при реализации технического проекта в виде программного продукта определяется наличием следующих основных этапов его жизненного цикла:

— разработка и отладка;

— эксплуатация.

Нормальная деятельность на каждом из этих этапов требуется вложение определенных денежных средств. Сумма всех этих затрат, вычисленная по годам каждого из этих этапов, и характеризует последовательность первоначальных вложений, или инвестиций. Исходные данные для расчетов представлены в табл. 4−6.

Таблица 4 Исходные данные для расчетов

Таблица 5

Балансовая стоимость используемого оборудования

Таблица 4

Расчет затрат на программное обеспечение

В таблицах приведены среднегородские данные, поэтому эти данные могут быть увеличены или снижены в зависимости от фирмы.

Развитие рыночных отношений в современной экономике определяют возрастающую роль финансово-экономических расчетов при реализации технических проектов. Одним из главных технико-экономических вопросов является определение ожидаемой эффективности предлагаемых инвестиций потребных для реализации проекта, что и предлагается рассмотреть далее.

3.2. Цели, задачи и методы оценки эффективности инвестиций

Под реализацией любого технического проекта понимается ряд этапов включающих разработку этого проекта, его исполнение и последующих эксплуатацию. Осуществление каждого из этих этапов требует привлечения различных средств, называемых инвестициями. Источниками инвестиций могут быть собственные или заемные средства. И в этом и в другом случае весьма важными для вкладчика является определение эффективности их вложения.

Следует отметить, что за рубежом нет единой методики оценки эффективности инвестиций. Каждая фирма, руководствуясь накопленным опытом, наличием финансовых ресурсов, целями, преследуемыми в данный момент, и т. д. разрабатывает свою конкретную методику. Эти методики в качестве критериев эффективности инвестиций используют показатели:

— «чистого приведенного дохода '';

— внутренней нормы доходности,

— срока окупаемости предлагаемых инвестиций;

— рентабельность.

Все они взаимосвязаны друг с другом и отражают один и тот же процесс сопоставления распределенных во времени доходов от инвестиций. Наиболее информативным из этих показателей является общий итоговый результат.

Проводимой инвестиционной деятельности, называемой «чистой» приведенной величиной дохода (ЧПВД). Этот показатель определяется как разность между возможными доходами, получаемыми при осуществлении проекта, и обеспечивающими эти доходы инвестициями.

Для определения указанного показателя предварительно необходимо обратить внимание на основные особенности предполагаемой инвестиционной деятельности, к которым относятся:

— возможное получение реальной отдачи (дохода) от вложения инвестиций по истечении ряда лет вложения;

— отличие «сегодняшней ценности» инвестиции от их «ценности» в будущем из-за существования инфляционных процессов (падение покупательной способности денежных средств с течением времени) и постоянного изменения рыночной конъюнктуры, приводящего к изменению реальных доходов по сравнению с ожидаемыми (финансовые риски).

Для расчета ЧПВД весь процесс инвестиционной деятельности представляется в виде последовательности множества распределенных во времени первоначальных вложений и последующих доходов. Эту последовательность называют потоком платежей. При определении ЧПВД для каждого члена потока платежей определяются потери от неиспользованных возможностей. Такое определение «ценности» каждого члена потока на момент начала вложений (т.е. «сегодняшней ценности») при условии, что в будущем она составит другую величину за счет действия ставки процента, называют дисконтированием.

Процентные ставки могут быть простыми и сложными в зависимости от формирования исходной суммы, на которую они начисляются. Если начальная сумма, на которую начисляются ставки процента, в течение всего срока ссуды не меняется, то речь идет о простых процентных ставках. Если же применение ставок процента идет к сумме с уже начисленными на нее в предыдущем периоде процентами, то это сложная процентная ставка.

Дисконтирование по сложной ставке процента связано с определением дисконтного множителя за каждый год из лет вложения по следующей формуле

(1)

где — ставка сложных процентов, .

Обычно значение дисконтных множителей для различных ставок и целого числа лет вложения являются табличными.

Такой расчет в количественном финансовом анализе называют приведением стоимости показателя к заданному моменту времени, а величину каждого члена потока платежей, найденную дисконтированием, называют современной, или приведенной величиной.

Итоговая величина искомого показателя ЧПВД может быть определена по следующей формуле

(2)

— продолжительность осуществления инвестиций, лет;

— продолжительность периода отдачи от инвестиций, лет;

— ежегодные инвестиции в периоде 1; 1=1,…, , руб.;

— ежегодная отдача (чистый доход) в период j, j=l,…, , руб.

Определение ЧПВД по формуле отвечает требованию строгой последовательности процесса вложения инвестиций и получения от них доходов. Расчет показателя ЧГГВД связан со значительными трудностями и в первую очередь, с определением ожидаемых доходов. Однако сравнение возможных альтернативных технических проектов, дающих одно и тоже техническое задание, позволяет значительно упростить задачу, так как предполагается равенство составляющей в формуле (2) по всем предлагаемым вариантам.

Поэтому формула определения показателей ЧПБД упрощается и принимает следующий вид

(3)

где 3 — характеризует современную величину совокупных затрат, руб.

Проект, обеспечивающий минимальное значение, является наиболее предпочтительным и подлежит финансированию.

3.3. Выбор ставки сложных процентов. Расчет дисконтного множителя по периодам вложения

Выбор ставки сложных процентов играет весьма важную роль в проводимых расчетах, так как определяет современную величину предлагаемых инвестиций тем точнее, чем точнее выбрана ставка и учтены такие реальные процессы, как сокращение отдачи денежных средств по сравнению с ожидаемой и инфляционное обесценивание денег.

Выберем в качестве ставки сложных процентов усредненную существующую величину 10 процентов, хотя эта величина ниже ожидаемого усредненного уровня. Чтобы определить дисконтный множитель по году каждого отчетного периода, необходимо воспользоваться исходными данными табл. 1. Значения дисконтного множителя в зависимости от различных ставок представлены в /1, приложение 1/. Пример изменения величины дисконтного множителя для выбранной ставки процента (=10%) по годам (для пяти лет) Представлены в табл. 3.