Психолого-педагогические основы математического мышления

1. Мышление, его особенности и виды.

Одной из задач общего образования, и в частности школьного математического — развитие мышления учащихся.

Качества учащегося, формируемые в учебно-воспитательном процессе, делятся на общие и специальные. Мышление, конечно, относится к общим качествам, и его формирование происходит в процессе обучения всем учебным предметам, в процессе всей жизни учащихся. Однако общепризнанно, и исторический опыт это подтверждает, что обучение математике в формировании мышления играет первостепенную и исключительно большую роль. Тем более, что в данное время выдвигается задача формирования у учащихся не любого мышления, а научно — теоретического, в формировании которого роль математики ещё более значительна.

Поэтому нужно установить, какой вклад в решение задачи формирования научно-теоретического мышления может внести обучение математике, как оно должно быть для этого организовано, каково должно быть его содержание и методы обучения.

В данной главе мы выявим сущность мышления, отметим его особенности и виды, укажем процесс формирования мышления у детей.

С помощью мышления человек познаёт окружающий мир. Однако познание может осуществляться и без мышления, с помощью одних лишь органов чувств (чувственное познание), дающее человеку разного рода ощущения, восприятия и представления о внешнем мире. Чувственное познание является непосредственным, ибо оно осуществляется в результате прямого контакта человека, его органов чувств, с познаваемым объектом. Между тем мышление является опосредованным познанием объекта, ибо оно осуществляется путём чувственного восприятия совсем другого объекта, закономерно связанного с познаваемым объектом, или же путём мысленной переработки чувственных представлений. Таким образом, мышление, конечно, опирается на чувственное познание и без него невозможно, однако оно далеко выходит за его пределы и поэтому позволяет познать такие объекты, такие стороны явлений, которые недоступны органам чувств.

Мышление позволяет человеку выявить в познаваемых объектах не только отдельные их свойства и стороны, что возможно установить с помощью чувств, но и отношения и закономерности связей и отношений между этими свойствами и сторонами. Тем самым с помощью мышления человек познаёт общие свойства и отношения, выделяет среди этих свойств существенные, определяющие характер объектов. Это позволяет человеку предвидеть результаты наблюдаемых событий, явлений и своих собственных действий.

Итак, если чувственное познание даёт человеку первичную информацию об объектах окружающего мира в виде отдельных свойств и наглядных представлений (образов) о них, то мышление перерабатывает эту информацию, выделяет в выявленных свойствах существенные, сопоставляет одни объекты с другими, что даёт возможность обобщения свойств и создание общих понятий, а на основе представлений-образов — строить идеальные действия с этими объектами и тем самым предсказывать возможные результаты действий и преобразований объектов, позволяет планировать свои действия с этими объектами.

Вся эта огромная работа выполняется с помощью мыслительных операций: сравнения, анализа и синтеза, абстракции, обобщения и конкретизации.

Сравнение — это сопоставление объектов познания с целью нахождения сходства (выделения общих свойств) и различия (выделения особенных свойств каждого из сравниваемых объектов) между ними. Эта операция лежит в основе всех других мыслительных операций.

Анализ — это мысленное расчленение предмета познания на части. Синтез — мысленное соединение отдельных элементов или частей в единое целое. В реальном мыслительном процессе анализ и синтез всегда выполняются совместно. Анализ и синтез как мыслительные операции не следует смешивать с аналитическим и синтетическими методами доказательства теорем и решения задач (иногда даже выделяют аналитико-синтетический и синтетико-аналитический методы). В любом из этих методов используется и анализ и синтез, как мыслительные операции, а различаются они лишь ходом рассуждений, идущих от условий к заключению.

Абстракция — это мысленное выделение каких-либо существенных свойств и признаков объектов при одновременном отвлечении от всех других их свойств и признаков. В результате абстракции выделенное свойство или признак сам становится предметом мышления. Все математические понятия как раз и представляют собой абстрактные объекты. Так, например, понятие геометрической фигуры образуется путём выделения в наблюдаемых предметах их формы, протяжённости и взаимного положения в пространстве и отвлечения от всех других свойств (материала, цвета, массы и т. д.). Но при этом производится не только абстрагирование (выделение указанных свойств и отбрасывание всех остальных), но и идеализация этих свойств путём мысленного перехода к предельным формам, которые реально, конечно, не существуют (идеальная прямая, точка, плоскость и т. д.).

Обобщение используется в двух различных формах:

1) как мысленное выделение общих свойств (инвариантов) в двух или нескольких объектах и объединение этих объектов в группы по основе выделенных инвариантов (эмпирическое обобщение);

2) как мысленное выделение в рассматриваемом объекте или нескольких объектов в результате анализа их существенных свойств в виде общего понятия для целого класса объектов (научно-теоретическое обобщение) Если для первой формы обобщения характерно выделение в сравниваемых объектах любых общих признаков, то для теоретической формы обобщения характерно выделение лишь существенных свойств, которые могут быть найдены в результате анализа даже одного объекта с последующим подведением других объектов под это выделенное общее существенное свойство. Следовательно, эмпирическому обобщению соответствует движение мысли от частного к общему, а теоретическому обобщению — движение от общего к частному, от внутреннего к внешнему.

Конкретизация также может выступать в двух формах: 1) как мысленный переход от общего к единичному, частному и 2) как восхождение от абстрактно-общего к конкретно-частному путем выявления различных свойств и признаков этого абстрактно-общего: как наполнение, обогащение абстрактно-общего конкретным содержанием.

В зависимости от связи между чувственными и отвлеченными элементами различают три вида мышления, 1) наглядно-действенное, 2) наглядно-образное и 3) теоретическое (отвлеченное, понятийное).

Наглядно-действенное мышление характерно для ребенка младенческого возраста (до 3 лет включительно), когда мысленное познание объектов совершается в процессе практических действий с этими объектами.

Наглядно-образное мышление возникает в дошкольном возрасте и представляет собой мышление с помощью наглядных образов, поэтому такое мышление подчинено восприятию, в нем отсутствует в развернутом виде абстрагирование.

Теоретическое мышление появляется у ребенка в школьный период, и оно характерно тем, что совершается в форме абстрактных понятий и рассуждений.

В сложных мыслительных действиях взрослого имеются элементы всех трех видов мышления, но какой-то один из них обычно преобладает. Так, при доказательстве теорем, решении задач доминируют, конечно, теоретический тип мышления, хотя там используются и элементы наглядно-действенного и наглядно-образного мышления (построение чертежей, схем, мысленные и практические их преобразования и т. п.).

Одновременно с развитием мышления у ребенка развивается и речь. В речи мысль обретает материальную форму, в которой она только и может быть воспринята другими людьми и самим человеком. Высокоразвитое мышление вообще невозможна вне речи, оно всегда связано с языком, и речь выступает как материальная оболочка мышления.

Каким же образом развивается мышление у ребенка? Как человек переходит от одного вида мышления к следующему? Что оказывает влияние на этот процесс?

На этот счет психологи придерживаются разных взглядов.

Ряд зарубежных психологов во главе с известным французским психологом Жаном Пиаже считают, что процесс умственного развития является самостоятельным и независимым от обучения, он имеет свои собственные внутренние закономерности. Обучение может лишь задерживать или ускорять сроки появления у ребенка соответствующих видов мышления, не изменяя их последовательности и особенностей. Жан Пиаже писал: «Это большая ошибка думать, что ребенок приобретает понятие числа и другие математические понятия непосредственно в общении. Наоборот, в значительной степени он развивает их самостоятельно и спонтанно Пиаже Ж. Как дети образуют математические понятия.

— Вопросы психологии, 1966 № 4, с. 133.

Л.С. Выготский указывал, что обучение должно ориентироваться главным образом на еще не сложившиеся, но возникающие психические виды деятельности ребенка. Он ввел понятие зоны ближайшего развития, в которой ребенок еще самостоятельно не может выполнять данную деятельность, но уже может ее выполнить при помощи взрослого. Выполняя эту деятельность при постоянно уменьшающейся помощи взрослого, ребенок переходит из зоны ближайшего развития в зону актуального развития, в которой он уже эту деятельность может выполнить вполне самостоятельно.

Следовательно, процессы умственного развития и обучения являются тесно связанными и взаимно обусловленными: обучение упирается на достигнутый уровень развития и способствует дальнейшему развитию ребенка, переход его на следующий, более высокий уровень развития. Но развитие не следует на обучением как тень, автоматически: оно зависит от содержания и характера обучения и многих других факторов-социальных и воспитательных (семьи, среды, природных задатков) Как следует организовать и проводить обучение, с тем чтобы, учитывая все эти факторы, вести за собой умственное развитие ребенка, является весьма сложной и до конца еще не решенной психолого-педагогической проблемой.

Другие аспекты развития мышления в процессе обучения (развитие логического мышления, мотивация мышления, мышление и решение задач и др.) мы еще рассмотрим в своей работе. А теперь перейдем к раскрытию специфики математического мышления, которое имеет особое значение в обучение математике.

2. Математическое мышление.

Обычно, говоря о развитии мышления в процессе обучения математике, этот вопрос сводят к развитию математического мышления. Конечно это верно, т. к. естественно, что в процессе обучения математике следует в первую очередь беспокоиться не вообще о развитии мышления, а именно в развитии специфического математического мышления. Весь вопрос только в том, что понимать под математическим мышлением, в чем состоит его специфика.

К сожалению, рассматривая сущность математического мышления, или, как еще говорят, математического стиля мышления, обычно указывают такое огромное число отличительных его качеств, что всякая специфика этого вида мышления теряется. Так, например, указывают такие качества математического стиля мышления: гибкость, активность, целенаправленность, готовность памяти к воспроизведению усвоенного, широта, глубина, критичность и самокритичность, ясность, точность, лаконичность, оригинальность, доказательность.

Несомненно, что математический стиль мышления обладает всеми этими качествами и еще многими другими, но все они не являются специфическими для математического мышления. Разве мышление физика, химика или историка менее гибко, менее активно и целенаправленно, менее широко и глубоко, чем мышление математика? Точно так же трудно согласиться с тем, что математическое мышление отличается от мышления представителей других наук большей ясностью или оригинальностью. Подлинно научное мышление в любой отрасли знаний должно обладать всеми указанными свойствами.

А.Я. Хинчик, известный математик, глубоко интересовавшийся проблемами обучения математике и много сделавший в области методики математики, более скромно и более точно указал лишь четыре характерных признака математического мышления [].

1. Для математики характерно доведенное до предела доминирование логической схемы рассуждения. Это своеобразная черта стиля математического мышления, в стиль полной мере не встречающаяся ни в одной другой науке, имеет в себе много ценного. Очевидно, что она в максимальной степени позволяет следить за правильностью течения мысли и гарантирует от ошибки; с другой стороны, она заставляет мыслящего при каждой дизъюнкции иметь перед глазами всю совокупность имеющихся возможностей и обязывает его учесть каждую из них, не пропуская ни одной.

1. «…лаконизм, сознательное стремление всегда находить кратчайший ведущий к этой цели логический путь, беспощадное отбрасывание всего, что не абсолютно необходимо для безупречной аргументации».

2. «…Четкая расчлененность хода аргументации». Для этого в математических работах широко используется такой простой прием, как нумерация понятий и суждений, а перед каждым абзацем ставится особое обозначение, указывающее, какой случай из всех рассматривается в данном абзаце.

3. Скрупулезная точность символики. «Каждый математический символ имеет строго определенное значение: замена его другим символом или перестановка на другое место, как правило, влечет за собой искажение, а подчас и полное уничтожение смысла данного высказывания».

Следовательно, математическое мышление — это предельно абстрактное, теоретическое мышление, объекты которого лишены всякой вещественности и могут интерпретироваться самым произвольным образом, лишь бы при этом сохранились заданные между ними отношения.

Теперь мы можем поставить вопрос: овладевают ли учащиеся общеобразовательных школ математическим мышлением в указанном понимании и могут ли они ими овладеть?

Решению этого вопроса поможет рассмотрение уровней математического мышления, которые выделил А. А. Столяр. Он указывает следующие пять уровней в геометрии, которые приведем ниже.

Геометрия.

1-ый уровень.

Геометрические фигуры рассматриваются как целые и различаются только по своей форме.

2-ой уровень.

Геометрические фигуры выступают как носители своих свойств и распознаются по ним, но сами свойства фигур еще логически не упорядочены и сами фигуры, так как фигуры только описываются, но не определяются.

3-й уровень.

Осуществляется логическое упорядочение свойств фигур и самих фигур; геометрические фигуры выступают в определенной логической связи, устанавливаемой с помощью определений, остальные свойства фигур выводятся логическим путем. Но собственное значение дедукции в целом еще не постигается, ибо не осознается дедуктивная система в целом.

4-ый уровень.

Постигается значение дедукции «в целом», осознается сущность аксиом, определений, теорем, логической структуры доказательств, логической связи понятий и предложений.

5-ый уровень.

Отвлекаются от конкретной природы объектов и конкретного смысла отношений между ними. Геометрическая теория строится как абстрактная дедуктивная система.

А.А. Столяр указывает, что первые два уровня характерны для учащихся начальных классов, третий уровень — для учащихся средних классов и четвертый — для учащихся старших классов. Относительно пятого уровня А. А. Столяр считает, что его достичь нельзя ни на одном этапе обучения геометрии.

Если характеристика уровней развития математического мышления, данная А. А. Столяром, верна, а она, несомненно, верна, то это означает, что в настоящее время учащиеся общеобразовательных школ овладевают в полной мере современным уровнем математического мышления. Для него как раз характерен указанный выше пятый уровень: все предшествующие уровни характерны для математического мышления различных исторических эпох примерно ХIХ века.

Утверждение же А. А. Столяра, что пятый уровень, т. е. уровень современного математического мышления, вообще недоступен учащимся общеобразовательных школ, опровергается опытом ряда школ, как у нас, так и за рубежом, а также многолетними экспериментами, проводимыми в русле теории учебной деятельности (исследования В. В. Довыдова, Хо Нгок Дай, Я. Дадоджанова и др.) Вопрос же о том, необходимо ли добиваться достижения такого уровня математического мышления у учащихся, нуждается в дальнейшем обсуждении.

3. Воспитание культуры математического мышления.

Математическое мышление, которое должно быть сформировано у учащихся в процессе обучения математике, является основной частью общей культуры мышления, воспитание которой есть важнейшая задача общего образования. Математический стиль мышления в наиболее яркой форме выражает научно-теоретический стиль мышления вообще. Следовательно, при формировании такого стиля мышления в процессе обучения математике у учащихся развивается научно-теоретическое мышление.

Культура мышления, кроме научно-теоретического характера, отличается еще рядом других признаков, среди которых следует в первую очередь выделить разумность, логичность, дисциплинированность..

Разумность есть высшая ступень мышления, следующая за рассудком. Если рассудочное мышление осуществляется без изменения наличной ситуации — объекта мышления, то разумное мышление — это «способность находить причины и сущность явлений, рассматривать их всесторонне, вскрывать единство противоположностей». Рассудочное мышление, оперируя понятиями, абстракциями, «не внимает их содержание и природу». Для рассудка характерно оперирование абстракциями в пределах заданной схемы или другого какого-либо шаблона. Рассудочная деятельность не имеет своей собственной цели, она использует заранее заданную цель, поэтому отражение действительности рассудком носит до некоторой степени мертвый характер. Главная функция рассудка — расчленение и исчисление".

Однако разумность мышления как важнейшая черта культуры мышления не может быть достигнута без рассудочной деятельности, которая придает мысли системность и строгость.

Вот почему не менее важны, чем разумность, и другие из указанных черт культуры мышления: логичность и дисциплинированность.

Мышление человека можно тогда считать культурным, когда оно совершается в полном соответствии с законами логики. Эти законы устанавливают норма рассуждений, умозаключений. Обеспечивающие получение с их помощью из истинных посылок верных заключений. Логические формы — это системы связей между понятиями, в которых отражена объективная действительность.

Естественно, что логика мышления не дана человеку от рождения, ею он овладевает в процессе жизни, в обучении. И роль обучения математике в этом воспитании у учащихся логического мышления огромна хотя бы потому, что математика как никакой другой предмет, может быть названа прикладной логикой. В математике ученик с наибольшей полнотой, наиболее выпукло и зримо может увидеть демонстрация почти всех основных законов элементарной логики.

Дисциплина мышления предполагает, во-первых, анализ объекта мысли, во-вторых, планирование на основе этого анализа своей мыслительной деятельности, и в-третьих, пошаговый самоконтроль и самооценку выполненной деятельности с целью установления соответствия намеченному плану и его корректировки при необходимости.

Укажем некоторые общие положения путей и средств воспитания культуры мышления учащихся в процессе обучения математике.

Процесс воспитания культуры мышления является длительным, протекающим по сути дела, на протяжении всей жизни человека. Поэтому в процессе обучения математике этим воспитанием следует заниматься в течение всех лет обучения в школе, повседневно и на каждом уроке. Учитель математики имеет для этого много возможностей хотя бы потому, что изучение математики, как никакого другого предмета, требует высокой культуры мышления.

Существенно важно, чтобы учитель математики, школьные учебники демонстрировали подлинные образцы культуры мышления. Ведь учащиеся в своей мыслительной деятельности естественно подражают учителя, учебнику. И если они при этом находят дефектные образцы, если сам учитель, а тем более учебник допускает погрешности в логике изложения, в основании, то, конечно, трудно ожидать от учащихся высокой культуры мышления.

Культуру мышления можно привить ученику лишь тогда, когда он сам будет работать над овладением этой культурой, над постоянным ее совершенствованием. Поэтому очень важно вовлечь учащихся в активную работу по самовоспитанию, добиться, чтобы они рассматривали воспитание культуры мышления как личностно значимую задачу. Конечно, учитель математики должен оказывать каждому ученику помощь в этой трудной работе.

Важно развить у учащихся желание и привычку к самоконтролю и самооценке хода своего мышления, своих умственных действий. Начинать надо с организации взаимоконтроля и взаимооценки, постепенно переводя их в самоконтроль и самооценку.

Наконец для того, чтобы умения и навыки культуры мышления учащихся были осознанными, а ведь только в этом случае они будут достаточно эффективными и прочными, и для того, чтобы дать учащимся способ ориентировки в выполнении умственных действий, необходимо включить в содержание обучения математике систему определенных теоретических знаний.

Вейль Г. Математическое мышление: Пер. с англ. и нем. / Под ред. В. В. Бирюкова и А. Н. Паршина. — М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. лит., 1989. — 400 с.

Далакан А. А. Больше внимания геометрическим построениям. // Математика в школе, № 1, 1980, с. 25−27.

Клименченко Д.В. К вопросу психологии мышления учащихся при решении задач. // Математика в школе № 5, 1987 г., с. 26−29.

Козлов С. Д. Наши новые старые знакомые. // Математика в школе, № 2, 2001 г., с. 12−15.

Маслова Г. Г. Методика обучения решению задач на построение. — М.: Просвящение — 1961 г. — с.

Пикус А. Л. Вопросы теории и методики геометрических построений в пространстве. Ленинград, 1956 г. — с.

Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. пос. для 6−10 кл. сред. шк. — м., Просвещение, 1986, — 302 с.

Прокофьев М. А. Факультативные занятия: перспективы развития. // Советская педагогика, № 9, 1986 г., — с. 16−24.

Семушин А. Д. Методика обучения задач на построение по стереометрии. Издательство Академии педагогических наук РСФСР. Москва — 1959 г. — 235 с.

Стратилатова П. В. Сборник статей по вопросам преподавания геометрии в средней школе. Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР Москва — 1958 г. — 286 с.

Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. — М.: Просвещение, 1983, — 160 с.