Процесс формирования понятия числа в начальной школе

Целесообразно рассматривать особенности образования у школьников такого важного математического понятия, как понятие числа, с которого начинается вхождение ребенка в школьную математику и которое сохраняет свое назначение на всем протяжении ее усвоения.

Психологические исследования содержания первых разделов традиционного курса арифметики, выявили ряд обстоятельств, которые позволили увидеть недостатки данного курса и наметить новые пути введения понятия о числе.

Эффективный шаг в этом направлении представляет курс развивающего обучения математики, по системе Д. Б. Эльконина — В. В. Давыдова. По программе развивающего обучения ученики начальной школы овладевают понятием числа как отношением величины к мерке.

При внедрении развивающего обучения в массовую школу, в мышлении школьников, отмечена проблема. На уроке дети рассматривают число только как средство измерения величин, но вместе с тем у них существует другое, можно назвать «житейское», понимание числа. Дети не всегда различают представление числа (способ записи) и понимание числа (когда одна и та же физическая величина может быть соотнесена с самыми разными конкретными числами).

Для разрешения этой проблемы, как один из возможных вариантов, был разработан факультативный курс «Пифагорейское учение о числе и величине». Данный курс разработан и реализуется учителем математики общеобразовательного лицея № 1 Ольшевской Н. А., в общеобразовательном лицее № 1 для детей третьего класса.

Существование данного факультативного курса «Пифагорейское учение о числе и величине» вызывает вопрос о том, как он влияет на формирование понятия числа.

Рассмотрение этого вопроса является целью данной дипломной работы.

Объект исследования: факультативный курс «Пифагорейское учение о числе и величине» разработанный и реализуемый учителем математики общеобразовательного лицея № 1 Ольшевской Н.А.

Предмет исследования: процесс формирования понятия числа в начальной школе.

Цель дипломной работы: построить диагностику предметных и образовательных эффектов факультативного курса «Пифагорейское учение о числе и величине».

В ходе работы была выдвинута гипотеза о том, что за счет факультативного курса «Пифагорейское учение о числе и величине» дети научаются: 1) выстраивать способ работы с фигурными числами в «общем случае»; 2) использовать фигурные числа как способ решения задач, в том числе в тех задачах, где явно не сказано о каком представлении числа идет речь.

Задачи исследования:

· Определить основную цель факультативного курса «Пифагорейское учение о числе и величине».

· Разработать задания, которые позволят определить, как дети моделируют на новом материале.

· Разработать задания, которые позволят проверить, насколько дети соотносят пифагорейские числа, т. е. числа представленные через эйдос, с числами которые представлены как кратное отношение величин.

В первой главе данной работы предоставлен материал о процессе формирования понятия числа в начальной школе. Рассмотрены основные недостатки традиционного способа знакомства детей с числом. Кратко описано содержание учебного предмета по математике в развивающем обучении и его отличие от традиционной программы. Описан состав учебных действий при усвоении учениками начальной школы общей формы числа (как отношение величины к мерке).

Отмечены трудности школьников, обучающихся по программе развивающего обучения, в понимании числа.

Из истории математики рассмотрено пифагорейское учение о числе, которое позволяет увидеть другое представление числа, нежели число как кратное отношение величин.

Во второй главе описаны основные цели, задачи и краткая программа факультативного курса «Пифагорейское учение о числе и величине», который разработан и реализуется учителем математики общеобразовательного лицея № 1 Ольшевской Н. А., в общеобразовательном лицее № 1 для детей третьего класса.

В третьей главе предоставлено описание проведенных исследований предметных и образовательных эффектов факультативного курса «Пифагорейское учение о числе и величине», и приведены результаты данных исследований.

Глава I. Формирование понятия числа

1.1 Недостатки традиционного способа знакомства детей с числом Центральным понятием, формируемым в курсе математики начального звена, является понятие числа.

Способы введения понятия о числе и счете в I классе разработаны в методике преподавания арифметики особенно детально. Имеется большая психологическая литература относительно условий формирования начального понятия о числе и первых навыков счета. Этот раздел программы, и методики преподавания арифметики являлся прочно обоснованным и установившимся. Методические изыскания шли в основном по линии улучшения тех или иных частных приемов изложения установленного программного содержания.

Однако психологические исследования, выявили ряд обстоятельств, которые позволили, с одной стороны, критически рассмотреть принятое содержание первых разделов курса арифметики, с другой — наметить новые пути введения понятия о числе в этот курс. В некоторых исследованиях (например, в работах П. Я. Гальперина и Л. С. Георгиева, В. В. Давыдова [5]) специально изучалось то, на какой признак сосчитываемого ряда объектов ориентируются дети, освоившие счет и числа по принятой программе и методике (в детском саду и в школе). Было обнаружено, что таким признаком для многих детей является пространственно-временная замкнутость, отделенность какой-либо вещи от всех других, входящих в наличную совокупность. Эти дети, хорошо владеющие пересчитыванием отдельных предметов и имеющие отчетливые «представления» о каждом числе (например, в пределе 10 — 15), либо не умели произвести счет совсем, либо делали грубые ошибки, если в предъявленной им задаче требовалось пересчитать предметы по основанию, отличающемуся от отдельного элемента совокупности.

Психологический анализ причин, приводящих к «срыву» ранее сформированного действия, показал, что в их основе лежит своеобразное явление — отождествление ребенком множества единиц, как элементов ряда числительных, с частями самой реальной совокупности. Эти дети не различают объект счета и средство особого изображения его результата, т. е. стандартное (типовое) множество отдельных единиц. Единица отождествляется ими с отдельными элементами пересчитываемой группы.

Ребенок заранее отождествляет единицу (числительное «один») с отдельным элементом самой группы. Числительное выступает здесь лишь как новое название этого отдельного предмета.

Исследования показали, что принятая программа и методика обучения арифметике, не учитывает действительного психологического механизма счета как умственного действия и условий его полноценного формирования. Эта методика такова, что в процессе обучения у детей не формируется различение объекта счета, основания счета и средств, изображающих их отношение. Поэтому их счет оказывается неполноценным, ибо не содержит точных ориентиров для гибкой смены оснований, для понимания зависимости получаемой числовой характеристики объекта от смены основания счета.

Согласно обычной методике, овладение счетом (до 10) включает:

1) знание названий первых десяти чисел и их последовательности;

2) понимание, что при пересчитывании совокупности последнее произнесенное слово (числительное) означает, сколько всего предметов в данной совокупности;

3) знание места каждого числа в натуральном ряде;

4) наличие представления о величине совокупности, обозначением которой это число является.

Рассмотрим наиболее характерные пункты этого перечня. Пункт 2 требует, чтобы ребенок понимал полученное числительное как обозначение количества предметов в данной совокупности, т. е. количества ее отдельных элементов. Это обстоятельство подчеркивается и в пункте 4: ребенок должен иметь представление о величине совокупности, обозначаемой данным (именно данным) числом. Следовательно, зная число «5», ребенок обязан представлять соответствующую ему «величину» совокупности. Здесь акцент опять ставится на то, что числовая характеристика есть непосредственная характеристика совокупности, ее прямое, наглядное свойство.

Впрочем, это методическое требование наиболее реально обнаруживается в следующем факте. Изучая числа в пределе 100, дети связывают воедино 100 конкретных спичек — их связка, очевидно, должна дать ребенку «наглядное» представление о величине числа «100».

Минская Г. И. в своей статье указывает о том, что абстракция числа здесь понимается как прямое отвлечение некоторого непосредственного свойства совокупности, так сказать «объема», количества составляющих ее отдельных элементов.

Средством такого отвлечения должно быть сопоставление многих совокупностей по «объему» входящих в них элементов, т. е. выделение общего, одинакового момента, чем и является «абстрактное» представление о числе отдельных элементов. В учебнике с первых страниц дается именно эта схема выделения числовой характеристики совокупностей. Так, группа мальчиков сопоставляется с группой колес велосипеда, с группой палочек и группой точек. Что может быть общего, одинакового у этих столь разнокачественных совокупностей? Ничего, кроме количества отдельных составляющих их абстрактных элементов. Оно равно «2». Это число характеризует такое непосредственное свойство любой из этих совокупностей, как их «величину"[2].

Аналогичным образом дети знакомятся со всеми числами до 10. Во всех этих случаях число выступает как абстрактное определение «величины» совокупности, выступающей при сопоставлении ее отдельных элементов — единиц с единицами других совокупностей. Как отмечает Минская Г. И. эта программа и методика, реализуемые в практике обучения, как раз и приводят к тому, что многие дети-первоклассники при наличии «хорошего» счета (по обычному стандарту) вместе с тем отождествляют число (множество единиц) с реальной совокупностью, не различают объекта счета и средств фиксации его результата, не умеют выделять любые основания счета и свободно переходить от одного основания к другому, не понимают зависимости числа от выбранного основания. В результате эти дети не получают полноценного понятия о числе, что отрицательно сказывается затем на всем последующем усвоении арифметики. В частности, эти дети, как показывают наблюдения, с трудом осваивают операции с именованными числами, с трудом понимают связь целых и дробных чисел.

Традиционный способ знакомства детей с числом имеет и более серьезные отрицательные последствия. В частности к ним в полной мере относятся те дефекты традиционного введения чисел, которые отмечает А. Н. Колмогоров (непосредственно он говорит о недостатках введения понятия о действительном числе, но они имеют глубокие корни еще при знакомстве ребенка с целым положительным числом): «Что общепринятая система с педагогической стороны дефектна, видно хотя бы из тех трудностей, которые затем возникают при усвоении учащимися независимости смысла геометрических и физических формул от выбора единиц измерения и понятия „размерности“ геометрических и физических формул».

Перед исследователями встала задача: сформировать у первоклассников такое понятие о числе, которое послужило бы полноценной основой счета как умственного действия. Механизм счета как умственного действия таков, что при его полноценном формировании человек уже без специальных и развернутых указаний самостоятельно выделяет любое нужное основание счета («нужное» — по условиям практической задачи) и работает с этим основанием, находя без особых сознательных усилий отношение объекта к этому основанию. Возможность быстрой и свободной смены оснований счета, учет зависимостей, существующих между объектом, мерой и числом, показывают, что человек владеет самой формой числа как особым средством моделирования отношений конкретных физических объектов.

Эффективный шаг в этом направлении представляет курс развивающего обучения математики, по системе Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова.

Разработчики курса развивающего обучения определили то, что в методике традиционного курса отсутствует задача формирования у детей особого конкретного действия, раскрывающего им объект понятия числа (это действие заменяется формальным сравнением предметных групп). Как показал специальный анализ, таким действием является нахождение кратного отношения величин, когда одна из них служит мерой для выражения другой. Необходимость определения такого отношения и его фиксации в форме числа возникает в ситуации опосредованного уравнивания величин. При этом выбор меры счета или измерения, приводящий к определенной числовой характеристике величин, зависит от сложившейся ситуации, от общественного опыта и т. п. Во всяком случае, мера («единица») счета и измерения не обязательно по своим физическим свойствам должна совпадать с определенным предметом (эта мера может быть составной).

1.2 Содержание учебного предмета по математике в развивающем обучении

В основу развивающего обучения математике по системе Эльконина Д. Б. и Давыдова В. В., так же как и в основу принятого курса положена концепция действительного числа. Авторы курса отмечают то, что при обучении по общепринятой программе формирование у школьников единой концепции действительного числа существенно затруднено из-за ограниченного их ознакомления с исходными условиями происхождения самого понятия числа. Вследствие этого отдельные виды чисел усваиваются школьниками на разных основаниях и воспринимаются ими как независимые друг от друга (поэтому школьники испытывают трудности при переходе от натурального числа к дробному, от дробного к целому и т. д.).

В отличие от обычной программы в развивающем обучении предусматривается такой вводный раздел, при усвоении которого дети специально изучают генетически исходное основание последующего выведения всех видов действительного числа, а именно изучают понятие величины.

Этот подход к проблеме построения учебного предмета по математике определил следующую систему его основных учебных задач:

1) введение детей в сферу отношений величин — формирование у детей абстрактного понятия математической величины;

2) раскрытия детям кратного отношения величин как общей формы числа — формирование у детей абстрактного понятия числа и понимания основной взаимосвязи между его компонентами (число производно от кратного отношения величин);

3) последовательное введение детей в область различных частных видов чисел (в область натуральных, дробных, отрицательных чисел) — формирование у детей понятий об этих числах как проявления общего кратного отношения величин при определенных конкретных условиях;

4) раскрытие детям однозначности структуры математической операции (если известно значение двух элементов, то по ним можно однозначно определить значение третьего элемента) — формирование у детей понимания взаимосвязи элементов основных арифметических действий.

Краткая характеристика содержания перечисленных учебных задач.

Первая задача требует от детей выделения посредством определенных предметных действий трех отношений объектов (равно, больше, меньше). Затем эти отношения дети фиксируют с помощью буквенных формул, что позволяет приступить к изучению свойств отношений равенства и неравенства в их «чистом виде».

Изучая условия перехода от неравенства к равенству и их свойства (например, транзитивность, обратимость), дети в дальнейшем, уже после ознакомления с общей формой числа, выводят свойства числового ряда.

Содержанием второй учебной задачи является овладение детьми общей формой числа посредством определения кратного отношения величин, одна из которых выступает в качестве исходной величины, а другая — в качестве ее меры.

При постановке последующих учебных задач учитель создает такие ситуации, которые требуют от детей использования не одной, а целого ряда последовательно увеличивающихся мер, поскольку различие между мерой и измеряемым объектом становится значительным. При использовании детьми этого ряда мер возникает необходимость установить постоянное отношение размера последующей меры к предыдущей. Запись результатов измерения получает форму позиционного числа, которое в зависимости от значения постоянного отношения мер может быть отнесено к любой системе счисления, в том числе и к десятичной, если это отношение будет десятикратным. Так вводится понятие многозначного числа.

В некоторых ситуациях мера может не уместиться в объекте целое число раз. Тогда приходится прибегать не к укрупнению ее (как это было до сих пор), а к уменьшению. Результат действия измерения, соответствующего таким ситуациям, описывается дробным числом. Дальнейшее изменение и обогащение предметной области, в которой действуют учащиеся (например, ознакомление их с направленными величинами), позволяет им при выполнении действия измерения обозначить его результаты с помощью положительного или отрицательного числа.

Переход детей от изучения общих свойств величины к выведению ее частных видов, имеющих форму числа (натурального, дробного, отрицательного и т. д.) — это главная линия построения всего развивающего обучения математике.

пифагорейский число величина обучение дети

1.3 Состав и особенности учебных действий детей при усвоении ими общей формы числа в развивающем обучении Опишем учебные действия, при выполнении которых дети выявляют условия происхождения самой формы числа и овладевают способом ее построения.

Курс развивающего обучения, разработанный Элькониным Д. Б. и Давыдовым В. В., начинается с введения понятия величины, определенного отношениями «равно», «больше», «меньше». Ориентация на эти общие отношения позволяет ребенку осуществлять разностное сравнение предметно представленных величин. Еще до усвоения понятия числа он может фиксировать результаты этого сравнения с помощью таких буквенных формул, как, а=b, а>b, аb, а=b-с, а+с=b+с и т. д., опираясь на соответствующие свойства указанных отношений.

Однако в некоторых ситуациях трудно или невозможно выполнить непосредственное разностное сравнение и сразу обнаружить, например, равенство или неравенство наличных величин (отрезок, грузов и т. д.). Учитель демонстрирует детям подобные ситуации и просит их осуществить поиск подходящего способа решения данной задачи. Учитель ставит перед детьми учебную задачу, требующую от них открытия и усвоения общего способа опосредованного разностного сравнения величин, опирающегося на их предварительное кратное сравнение с помощью числа. Учебные действия, позволяющие решить данную задачу, направлены на поиск, обнаружение и усвоение детьми свойств, характеризующих кратное отношение величин, фиксация которого в модели как раз и обозначает число.

При выполнении первого учебного действия дети осуществляют такое предметное преобразование величин, когда в них обнаруживается кратность отношения. При этом ребенок находит некоторую третью величину (меру), с помощью которой можно установить кратность двух исходных величин, требующих разностного сравнения. Например, величины, А и В не могут быть сравнены непосредственно (так, отрезки не могут быть непосредственно наложены друг на друга). Условия задачи преобразуются ребенком так, что он находит некоторую величину, применение которой позволяет ему определить, сколько раз эта величина «укладывается» в исходных величинах, А и В. Поиск того, сколько раз величина с «укладывается» в величинах, А и В, позволяет ребенку определить их кратное отношение, которое можно записать с помощью такой формулы:

и (черта между буквами означает кратность) Следующее учебное действие связано с моделированием процесса выделения кратного отношения и его результата. В данном случае это моделирование осуществляется при единстве предметной, графической и буквенной форм. Так, первоначально кратное отношение может быть выражено с помощью предметных или графических палочек («меток»), указывающих результат как отдельного «наложения» меры, так и всех подобных «наложений» (сколько раз данная мера содержится в величине через их кратное отношение). Затем результат может быть выражен в словесной форме — в форме числительных («один, два, три… раз»). Тогда формулы кратного отношения и опосредствованного разностного отношения приобретают вид

4<5; A

В общем виде эти формулы могут быть записаны так:

K

Таким образом, буквенная модель процесса и результат выделения кратного отношения в общем виде выглядит так:

Благодаря этой общей формуле модели, дети могут выделить и фиксировать любое частное кратное отношение величин, выражаемое в соответствующем конкретном числе. По соотношению самих этих чисел (т.е. по свойствам числа как модели кратного отношения) можно опосредованным путем решить исходную задачу разностного сравнения.

Третье учебное действие состоит в таком преобразовании самой модели выделенного отношения, которое позволяет изучать его общие свойства.

Четвертое учебное действие направлено на конкретизацию общего способа выявления кратного отношения и на решение частных задач, предполагающее поиск и фиксацию конкретных чисел, характеризующих отношения вполне определенных величин (например, здесь от ребенка требуется нахождение числовой характеристики данной непрерывной или дискретной величины при данной мере). Это действие позволяет детям связать общий принцип получения числа с частными условиями сосчитывания совокупностей или измерения непрерывных объектов. При этом подлинное понимание числа обнаруживается в том, что ребенок может свободно переходить от одной меры к другой при определении характеристики того же объекта, а тем самым соотносить с ним разные конкретные числа (одна и та же физическая величина может быть соотнесена с самыми разными конкретными числами).

Таким образом, дети решают исходную учебную задачу путем построения общего способа получения числа и одновременно усваивают его понятие. Теперь они могут применять этот способ и соответствующее ему понятие в самых разных жизненных ситуациях, требующих определения числовых характеристик объектов.

1.4 Трудности школьников в понимании числа Как ни сильна в школьном обучении, по программе развивающего обучения, тенденция сведения всех форм числа к одной — отношению величин, к числу как к абстрактному средству измерения, построение школьного курса математики, сталкивается с большими психологическими трудностями.

Обычно математическое развитие ребенка в начальной и средней школе понимается как переход от эмпирического, ненаучного мышления дошкольника к понятийному, научному, теоретическому мышлению ученика школы.

Курганов отмечает, что отделение от вещи её величины для изучения величин в «чистом виде» есть переход к особому типу мышления нового времени. Проблема освоения мира здесь подменяется задачей присвоения только одного видения мира (мир как предмет измерения).

При сведемнии обучения к присвоению только данной модели мира (обучение как «восхождение от абстрактного к конкретному») происходит примерно следующее. Начинают с проблемы восстановления целостной формы. Затем проблема восстановления и построения вот этой целостности, единичной формы подменяется задачей выделения параметров вещей (величин) и оперированием с ними. От целостной вещи отделяется величина и моделируется отрезком длины (идея количества как пространственно-временного качества), к индивидуальности предмета уже не возвращаются.

Вместе с тем вимдение вещи как целостной, невозможность сравнения индивидуально-неповторимых предметов по абстрактно выделенным параметрам, невозможность рассматривать число только как средство измерения величин (три яблока все же чем-то очень важным отличаются от трех половинок яблока, и шесть ёлочек очень трудно охарактеризовать числом «три», даже если в качестве мерки выбрать две ёлочки) постоянно прорываются в мышлении школьников.

На уроке дети рассматривают число только как средство измерения величин, но вместе с тем у них существует другое, можно назвать «житейское», понимание числа.

Дети не всегда различают представление числа (способ записи) и понимание числа (когда ребенок может свободно переходить от одной меры к другой при определении характеристики того же объекта, а тем самым соотносить с ним разные конкретные числа).

1.5 Пифагорейское учение о числе В истории математики существует другое, представление числа, нежели представление числа как кратное отношение величин.

История античной арифметики начинается с пифагорейцев. Именно пифагорейцы внесли наибольший вклад в развитие этой дисциплины. По преданию, Пифагор (570−497 до н.э.) первый назвал мироздание словом «космос» (надлежащий порядок). Цель пифагорейской общины состояла в обустройстве жизни в согласии с божественным космическим законом. Начала такого обустройства Пифагор и его ученики видели в правильной связи и соразмерности всего сущего; источником же соразмерности служили числовые отношения, и поэтому первоначалом всего оказалось число.

Пифагорейцы считали, что все закономерности мира можно выразить с помощью чисел, что «элементы чисел являются элементами всех вещей, и что весь мир в целом является гармонией и числом» (Аристотель). Отсюда исключительный интерес пифагорейцев к основе основ — арифметике (наука, изучающая сущность числа), с помощью которой можно выразить все отношения между вещами и построить модель мира.

Арифметика пифагорейцами считалась главной среди основных разделов, составляющих систему знания — геометрии (как учения о фигурах и способах их измерения), музыки (как учения о гармонии и ритме) и астрономии (как учения о строении Вселенной).

Пифагор считал, что все вещи имеют число и между всеми числами имеется отношение. Согласно пифагорейскому определению, впоследствии принятому в античной философии, число представляет собой множество, составленное из единиц. Единица в пифагорейской традиции представляет собой «минимальную сущность» «неделимую по природе» и служит «естественным началом всех чисел». Монада, согласно пифагореизму, есть всевключающее Единое Начало, «благородное число, Прародитель Богов и людей». Монада-начало числа, а число-совокупность монад.

Числа у Пифагора считались не просто абстрактными заменителями реальных вещей, но живыми сущностями, отражающими свойства пространства, энергии или звуковой вибрации.

Основу теоретической арифметики пифагорейцев составляло рассмотрение и доказательство теорем — утверждений, относящихся или ко всем вообще числам без исключения, или ко всем числам некоторого определенного класса (например, ко всем нечетным числам), и не зависящих от того, сколько конкретных единиц в этих числах содержится. Исходный способ доказательства арифметических (равно как и геометрических) теорем состоял в наглядной демонстрации их истинности. Каждый особенный числовой класс при «демонстрационном» способе доказательства характеризовался, прежде всего, своим фигурным обликом — эйдосом.

Главная наука о числе, арифметика, была неразрывно связана с геометрией и потому числа, соотносились с правильными геометрическими фигурами. Они подразделялись на:

линейные числа (рис 1.1.) — самые простые числа, которые делятся только на единицу и на самих себя и вследствие этого могут быть изображены в виде линии, составленной из последовательно расположенных точек;

плоские числа (рис 1.2.) — числа, которые могут быть изображены и представлены в виде произведения двух сомножителей;

телесные числа (рис 1.3.) — числа, которые могут быть выражены произведением трех сомножителей;

треугольные числа (рис 1.4.) — числа, которые могут быть изображены треугольниками;

квадратные числа (рис 1.5.) — числа, которые могут быть изображены квадратами;

и т.д.

В случае фигурных чисел в роли основной порождающей операции выступает применение гномона (последовательно прибавляемые к единице или к другому началу «слои» греки называли гномонами). Общее определение гномона находим у Герона: «вообще гномоном является то, что при прибавлении к чему-нибудь, числу или фигуре оставляет составленное целое подобным тому, что было до прибавления».

Бытует мнение, что ранние пифагорейцы занимались в арифметике по преимуществу тем, что искали для каждого числа его «истинную форму», своего рода «портрет». Дескать, число «три» было для них только треугольным, а число «четыре» только квадратным. Щетников А. И. в своей работе опровергает это мнение. Он пишет о том, что гораздо более осмысленным представляется считать, что пифагорейцы в своей арифметике исходили отнюдь не из отдельных чисел, приискивая им «форму», а из самих формообразующих принципов как таковых. В центре их интереса находилась живущая в четности и нечетности, треугольности, квадратности, пятиугольности, гетеромекности, кубичности, пирамидальности и других идеях — «фигурностях» ритмичность воспроизводства формы через регулярное наращивание количества. Этот интерес привел пифагорейцев к открытию взаимосвязи отдельных форм: к примеру, они установили, что всякое квадратное число раскладывается в сумму последовательных нечетных чисел, и т. п. тем самым идея квадратного числа, или квадратность, для математиков пифагорейской школы состояла, прежде всего, в том, что в этой квадратности уже были потенциально скрыты и путем различных преобразований формы могли быть выявлены треугольность, гетеромекность, четность, нечетность и другие «фигурности».

В возникшем понятии «фигурного числа», нашла свое отражение тесная связь, существующая между понятиями числа и пространственной протяженностью.

Кольман Э. пишет о том, что у пифагорейцев точка, изображавшая единицу, была дальше неделима — она была математическим атомом; сама точка определялась как единица, обладающая положением. Для того чтобы быть отличимыми друг от друга, единицы-точки должны были отделяться пространством, каждая точка должна была иметь вокруг себя «поле». Благодаря этому каждое число можно было изображать не только при помощи точек, но и квадратных полей, или тех и других, как, например, число 3 в виде (рис. 1.6.):

.. .

Таким образом, в основе здесь лежит понятие числа, которое лишь изображается фигурой: геометрия подчинена арифметики.

Фигурные числа отражали своим видом способ, которым они были арифметически порождены, т. е. были ли они получены путем сложения или умножения.

Числа-произведения делились пифагорейцами на «прямолинейные», т. е. простые числа, которые, так как они не разлагаются на множители, изображались точками, расположенными вдоль отрезка; «плоскостные числа», разлагающиеся на два множителя и изображающиеся точками, образующими прямоугольник или квадрат, и «телесные числа», разлагающиеся на три множителя и изображающиеся точками, образующими параллелепипед или куб.

Среди чисел-сумм пифагорейцы выделяли «многоугольные числа». Наиболее простыми из них были «треугольные»:

1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10,…

Из треугольных чисел пифагорейцы получали и все квадратные числа (рис. 1.7.).

Тем же путем, присоединяя, друг к другу три равных треугольных числа, получали пятиугольные числа и т. д.

Далее определялись «пирамидальные числа», образуемые сложением многоугольных чисел. Простейшие из них, «четырехгранные числа», получаются из треугольных чисел 1=1, 1+3=4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20… и изображаются в виде пирамид с треугольным основанием.

Представление числа в виде правильных геометрических фигур помогало пифагорейцам находить различные числовые закономерности.

Например, чтобы получить общее выражение для п-го треугольного числа, которое есть не что иное, как сумма п натуральных чисел 1+2+3+…+п, достаточно дополнить это число до прямоугольного числа п*(п+1) и увидеть (именно увидеть глазами) равенство:

1+2+3+…+п=п*(п+1) (рис 1.8.). (1)

Написав последовательность квадратных чисел, легко увидеть глазами выражение для суммы п нечетных чисел (рис. 1.9.):

1+3+5+…+(2п-1)= (2)

(При выводе равенства использован метод гномона.)

.. … …

. … …

… …

…

Наконец, разбивая п-е пятиугольное число на три (п-1) треугольных (после чего остается еще п «камешков»), легко найти его общее выражение:

1+4+7+…+3п-2=п+3 (3)

Разбиением на треугольные числа получается и общая формула для п-го k-угольного числа

, (4)

откуда при k=2,3,4 следуют формулы (1−3).

Конечно, сегодняшний школьник легко заметит, что суммы (1−3) есть не что иное, как арифметические прогрессии, разность которых d соответственно равна 1,2,3 (для k-угольного числа d=k-2), и по соответствующей формуле найдет эти суммы и общую формулу (4):

Но в том-то и прелесть пифагорейских доказательств, что они не требуют никаких предварительных знаний и в буквальном смысле очевидны.

Фигурное представление чисел помогало пифагорейцам открывать законы арифметических операций.

Так, представляя плоское число 10 в двух формах (рис 1.10.):

5*2=2*5=10,

легко «увидеть» переместительный закон умножения: ab=ba.

В том же числе 10:

(2+3)*2=2*2+3*2=10

можно «разглядеть» и распределительный закон сложения относительно умножения (рис 1.11.):

(a+b)c=ac+bc и т. д. Фигурные числа (например, квадратные и кубические) дали возможность легко переходить к числовой характеристике геометрических объектов — измерению площадей и объемов, т. е. подойти к решению собственно геометрических задач.

Так, если «камешки», образующие фигурные числа, мыслить в виде равных по площади квадратиков, то, укладывая их в прямоугольное число ab (рис 1.12.):

Автоматически получаем формулу для вычисления площади прямоугольника

S=ab

Изучая свойства чисел, пифагорейцы впервые обратили внимание на законы их делимости. Они разбили все числа на четные и нечетные, на простые и составные. Пифагорейцы создали так называемое учение о четных и нечетных числах, которое с современной точки зрения является теорией делимости на два.

Пифагорейская наука о числах, переведенная в пространственную, то есть геометрическую плоскость, позволила ввести в эту область знания понятие аксиом (отправных недоказуемых положений, носящих характер самоценной истины) и теорем (выводящих истину из предшествующих логических рассуждений и систем аксиом). «Доказуются теоремы, а аксиомы проверяются сердцем» , — говорил Пифагор, подчеркивая разницу между рациональным и интуитивным способом познания.

Глава II. Факультативный курс «Пифагорейское учение о числе и величине»

2.1 Реализация факультативного курса «Пифагорейское учение о числе и величине»

В общеобразовательном лицее № 1 существует факультативный курс «Пифагорейское учение о числе и величине», который проводится для детей третьего класса.

Факультативный курс «Пифагорейское учение о числе и величине» разработан и реализуется учителем математики общеобразовательного лицея № 1 Ольшевской Н.А.

Данный факультативный курс проводится в общеобразовательном лицее № 1 второй год, начиная с 2000;2001 учебного года.

2.2 Цель, замысел и программа факультативного курса

Основная цель факультативного курса Расширить знания о числе не только как о результате измерения величины меркой, но и представить число через эйдос (образ), подробно разработанный Пифагорейской школой.

Задействовать, за счет фигурного представления чисел, образное мышление школьников внутри математики.

Замысел факультативного курса

1. Дети знакомятся с новым представлением числа, которое существенно отличается от известного им представления числа как кратного отношения величин.

2. На факультативе дети впервые получают представление о понятии теорема. Убеждаются в том, что доказательства утверждений, теорем с помощью пифагорейских фигурных чисел являются наглядными (их можно увидеть собственными глазами).

3. Представление числа в виде эйдоса позволяет находить детям, без предварительных знаний (они являются очевидными), законы арифметических операций и различные числовые закономерности. Так, например дети занимаются построением очевидных арифметических прогрессий, хотя в начальных классах такую тему не проходят.

4. Детям предоставляется возможность написания реферативно-творческих работ по материалам древнегреческой математики.

Программа факультативного курса

1. Фигурные числа. (4 часа)

Эйдос (портрет) числа. Разновидности фигурных чисел. Гномоны (способы получения чисел). Идея квадратности, треугольности, гетеромекности чисел в Пифагорейском учении.

2. Учение о четных и нечетных числах. (12 часов) Теорема как доказанное утверждение. Очевидность доказательства в древнегреческой математике. Четные и нечетные числа. Теоремы.

3. Правила построения квадратных, гетеромекных, прямоугольных, треугольных чисел. (10 часов) Очевидные построения арифметических прогрессий. Теоремы о правилах построения различных чисел и случаи доказательства.

Содержание занятий факультативного курса

На занятиях факультатива дети знакомятся с разновидностями фигурных чисел. Изучают способ получения фигурных чисел при помощи гномона. Строят квадратные, треугольные, гетеромекные, прямоугольные и другие виды пифагорейских чисел. Решают различные задания, в которых необходимо построить, например квадратное число из двух последовательных треугольных чисел, гетеромекное число из двух одинаковых треугольных чисел и т. п.

При изучении четных и нечетных чисел дети решают задания, в которых нужно показать, что четное квадратное число делится на четыре равных квадратных числа или, что разность двух нечетных квадратных чисел может быть разделена на восемь одинаковых частей и т. п.

При изучении темы «Учение о четных и нечетных числах» дети знакомятся с понятием теоремы как доказанным утверждением. Могут убедиться в очевидности (наглядности) доказательства.

Некоторые основные теоремы о четных и нечетных числах

При доказательстве четное число изображается, как состоящее из двух равных половинок, а нечетное число составляется из четного числа и дополнительной единицы.

Теорема 1. Два четных числа составляют в сумме четное число (рис. 2.1.).

Теорема 2. Четное и нечетное числа в сумме составляют нечетное число (рис. 2.2.).

Теорема 3. Два нечетных числа в сумме составляют четное число (рис. 2.3.).

Теорема 4. Прямоугольное число, у которого хотя бы одна из сторон является четной, само является четным (число разделено на две одинаковые половины поперек четной стороны) (рис. 2.4.).

Теорема 5. Всякое гетеромекное число является четным. [В самом деле, одна из сторон гетеромекного числа обязательно будет четной, и тем самым (Теорема 4) всякое гетеромекное число является четным.] и т. д.

Изученные теоремы (правила) о четных и нечетных числах, дети могут использовать на уроках математики. В подтверждение этого был проведен эксперимент.

Эксперимент. На факультативном курсе были пройдены теоремы о четных и нечетных числах, при рассмотрении которых использовались фигурные числа. Спустя некоторое время была проведена проверочная работа, на которой детям предлагалось решить следующее задание:

Задание. Определите, не вычисляя, какое число четное или нечетное получится в результате вычислений.

а) 13 205+787; б) 8025•786;

13 205+286; 8025•137;

7438+568; 10 378•786.

7438+605.

Вопросы: № 1. Почему вы считаете, что число четное или нечетное?

№ 2. Помогли ли вам пифагорейские теоремы о четных и нечетных числах?

Результаты: из 27 человек без ошибок выполнили — 16 человек. Из них 7 человек обосновали свои ответы (ответили на вопрос № 1). На вопрос № 2 ответили положительно19 человек.

Данный эксперимент позволяет сделать вывод о том, что многие дети, могут материал, полученный на факультативе, использовать на уроках математики.

По программе факультативного курса, дети на занятиях занимаются построением арифметических прогрессий. Это может показаться странным, так как в начальных классах такую тему не проходят, но представление числа в виде эйдоса позволяет находить различные числовые закономерности, без предварительных знаний, так как они являются очевидными.

При разработке занятий факультативного курса «Пифагорейское учение о числе и величине» используется следующая литература:

1. Щетников А. И. Пифагорейское учение о числе и величине. — Новосибирск: Изд-во Новосиб. Ун-та, 1997.

2. Щетников А. И. Арифметика по Пифагору. — М.: Изд. гимн. Открытый мир, 1995.

Глава III. Диагностика учебных и образовательных эффектов факультативного курса «Пифагорейское учение о числе и величине»

3.1 Моделирование фигурных чисел. Работа с «общим случаем»

3.1.1 Постановка задачи

При исследовании предметных и образовательных эффектов факультативного курса «Пифагорейское учение о числе и величине» было выдвинуто несколько предположений. Одно из них состояло в том, что факультативный курс «Пифагорейское учение о числе и величине» предоставляет детям новые ситуации для моделирования. Необходимо было проверить, действительно ли дети моделируют на новом материале.

Моделирование как учебное действие является центральным в учебной деятельности школьников на разных ступенях образования, поскольку без него невозможно теоретическое мышление.

В развивающем обучении, при изучении понятия числа, происходит моделирование процесса выделения кратного отношения и его результата. Так, кратное отношение может быть выражено с помощью предметных или графических палочек («меток»), указывающих результат как отдельного «наложения» меры, так и всех подобных «наложений» (сколько раз данная мера содержится в величине через их кратное отношение) (рис 3.1.).

Буквенная модель процесса и результат выделения кратного отношения выглядит так

В начальной школе при моделировании числа (как кратного отношения величин) объект моделирования и сама модель сильно не отличаются. Возникает вопрос, о том, что моделированием дети овладевают вообще или только на величинах.

Данный факультатив предоставляет детям новый материал для моделирования. А именно моделирование чисел представленных через эйдос, т. е. чисел которые представлены не как отношение величин (модель и объект моделирования существенно отличаются).

Были разработаны задания, решения которых связаны с построениями моделей фигурных чисел. В заданиях предлагалось доказать, что утверждения являются теоремами.

Рассмотрение и доказательство теорем есть ничто иное, как работа с фигурными числами в «общем случае». Была выдвинута гипотеза о том, что за счет факультативного курса «Пифагорейское учение о числе и величине» дети научаются выстраивать способ работы с фигурными числами в «общем случае».

Проведены проверочные занятия факультатива, где детям предлагалось решить данные задания.

3.1.2 Замысел проверочных занятий

На факультативе были пройдены теоремы:

№ 1. Сумма двух треугольных чисел равна гетеромекному числу;

№ 2. Сумма двух последовательных треугольных чисел равна квадратному числу.

На занятиях их рассматривали как задания, а не теоремы. Дети их решали (показывали) на конкретных примерах. Как теоремы не рассматривали и не доказывали.

Задание: доказать, что утверждения, ранее рассмотренные как задания, являются теоремами.

Ход занятия:

1. Дети раньше встречались с понятием теорема. Предстояло вспомнить, что теорема это утверждение, которое справедливо для всех чисел, и чтобы доказать, что утверждение является теоремой необходимо показать, что оно выполняется не только для конкретных чисел, а для любого взятого числа.

2. Доказательство теоремы № 1.

а) Показать, что утверждение справедливо для конкретных чисел.

б) Построить модель треугольного числа (чтобы показать, что утверждение справедливо для всех треугольных чисел) (рис 3.2.).

выделить форму;

1) обозначить стороны;

2) выделить первый и последний гномон;

3) показать, что между выделенными гномонами находятся еще гномоны.

в) Доказать, что утверждение справедливо для любого треугольного числа, используя полученную модель треугольного числа (рис. 3.3.).

г) Исследовать получившееся число (стороны получившегося числа разнятся на единицу, следовательно, число гетеромекное).

3. Сформулировать утверждение как теорему.

4. Самостоятельно доказать теорему № 2 (рис. 3.4.).

3.1.3 Описание проведенных проверочных занятий Класс был разбит на две группы, и с каждой группой занятие проходило отдельно. Ход занятия в обеих группах во многом совпадал.

1. В начале урока детям напомнили о том, что ранее на факультативе они решали задание, где нужно было показать следующее: «Сумма двух треугольных чисел равна гетеромекному числу». Детям объяснили, что это не просто задание, а что это утверждение, которое может быть теоремой. На вопрос, что такое теорема дети затруднились ответить, и им пришлось напомнить о том, что теорема это утверждение которое справедливо для всех чисел (т.е. выполняется не только для каких-то конкретных чисел, а для любого взятого числа).

2. Поступило предложение, проверить, будет ли это утверждение являться теоремой.

а) Сначала показали, что это утверждение справедливо, на конкретных примерах (рис. 3.5., рис. 3.6.). Попутно вспомнили, какие числа являются треугольными, гетеромекными.

б) Далее перед детьми встал вопрос о том, как можно показать, что утверждение справедливо для всех треугольных чисел, ведь они сами выделили, что треугольных чисел бесконечно много и всех их перебрать нельзя. Поступило предложение о том, что нужно показать «любое» треугольное число (модель).

Строительством модели треугольного числа занимались все вместе.

Первое, что предлагали дети, это показать форму треугольного числа (рис. 3.7.).

Затем предложили обозначить стороны за х (рис. 3.8.). На вопрос: «Почему именно х, а нельзя обозначить какой-то другой буквой?», дети ответили: «Можно. Это буква обозначает, что сторона — любое число».

Заметили, что получившаяся модель треугольного числа похожа на треугольник. Чтобы показать, что это треугольное число, а не треугольник выделили первый гномон-единицу (с чего начинается число) и последний (необходимо показать, что число состоит из гномонов) (рис. 3.9.).

Чтобы показать, что между первым и последним гномоном находятся еще гномоны (показать графически, что на стороне треугольного числа, х единиц), предложили расстояние между ними обозначить пунктиром. Было предложение еще посередине поставить гномон, но его посчитали неверным, т.к. это бы означало, что гномонов всего три.

Таким образом, была получена модель треугольного числа (рис 3.10.).

в) Используя полученную модель треугольного числа, пробовали доказать утверждение.

Во 2 группе ребенок, который работал на доске, получил квадратное число (рис. 3.11.).

Дети его исправили: «неправильно прибавил, он прибавил только уголок, а не все число».

В итоге получили следующее (рис. 3.12.):

г) Определили, что у получившегося числа одна сторона равна х, а другая х и еще один гномон, т. е. х+1. На вопрос «Какое число получили?», дети отвечали «Получили гетеромекное число, т.к. его стороны отличаются на единицу».

Сделали вывод о том, что данное утверждение является теоремой, т.к. справедливо для всех треугольных чисел.

3. Дети сами сформулировали и записали теорему.

1 группа: «Если любое треугольное число сложить с таким же треугольным числом, то получится гетеромекное число».

2 группа: «Если любое треугольное число прибавить к тому же треугольному числу, то получится гетеромекное число».

4. Далее детям было предложено проверить, будет ли являться теоремой следующее утверждение «Сумма двух последовательных треугольных чисел равна квадратному числу». На вопрос «Вы можете это сделать?», дети отвечали «да».

Уч. Как?

Д. Построить модель, доказать на моделях, сформулировать теорему.

Уч. Модели, каких чисел нужно построить?

Д. Модели двух последовательных треугольных чисел.

Дети сразу определили, что у последующего треугольного числа стороны равны х+1 (отличаются на единицу) (рис. 3.13.).

Используя полученные модели, доказали второе утверждение (рис. 3.14.).

Определили, что у получившегося числа одна сторона равна х+1, другая х и еще один гномон, т. е. тоже х+1. Получили квадратное число, т.к. его стороны равны.

Сформулировали утверждение как теорему: «Если любое треугольное число прибавить к следующему за ним треугольному числу, то получится квадратное число».

3.1.4 Анализ проведенных проверочных занятий Класс был разбит на две группы. С каждой группой занятие проходило отдельно. На занятиях принимали активное участие, в построении моделей фигурных чисел, в первой группе 6−7 человек из 12−14, а во второй группе 5−6 человек из 11−13.

Главная цель занятия состояла в том, чтобы проверить, способны ли дети моделировать на новом материале, там, где модель и объект моделирования существенно отличаются, а именно строить модели чисел представленных через эйдос. Задания подразумевали доказательства теорем, которые невозможны без построения моделей фигурных чисел, а также последующего выполнения действий с ними.

С построением моделей пифагорейских чисел, как в первой, так и во второй группе дети успешно справились. Дети смогли моделировать объекты фигурные числа, которые раньше никогда не моделировали и которые существенно отличаются своим видом от чисел представленных в РО.