Обобщения при обучении решению математических задач

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Вятский государственный гуманитарный университет»

Физико-математический факультет Кафедра дидактики физики и математики Выпускная квалификационная работа Обобщения при обучении решению математических задач Киров

1. Теоретические основы обобщений при обучении школьников математике

1.1. Понятие обобщения и его роль при обучении математике

1.2. Виды и приемы обобщений

1.3. Сравнение и анализ — необходимые условия обобщения

1.4. Обобщения по аналогии при обучении решению задач

1.5. Индуктивные обобщения при обучении решению задач Выводы по первой главе

2. Методические рекомендации осуществления обобщений на уроках математики при обучении решению задач

2.1. Обобщения при обучении методам решения математических задач

2.1.1 Обобщение способов решения конкретных задач до метода решения класса задач

2.1.2 Обобщение методов решения задач

2.1.3 Обобщение способов поиска решения многих задач до системы советов

2.2 Обобщение как метод решения математических задач

2.2.1 Обобщение решений задач по индукции

2.2.2 Решение задач «в общем виде»

2.3 Обобщение как источник новых математических задач

2.3.1 Обобщение данных при сохранении искомых

2.3.2 Обобщение (добавление искомых) при сохранении данных

2.3.3 Обобщение данных и искомых

2.4 Обобщения задач ведущие к формированию математических понятий и теорем

2.5 Таблицы как средство обобщения при обучении решению математических задач

2.6 Опытное преподавание Выводы по второй главе Заключение Библиографический список

Во все времена отмечалась большая значимость математического образования для человека. В процессе усвоения математических знаний происходит развитие навыков проведения логических рассуждений, овладение умениями анализировать, обобщать, специализировать, определять понятия, составлять суждения, находить пути решения поставленной задачи. При изучении математики формируется мышление учащихся, развивается речь, а так же такие качества выражения мысли, как порядок, точность, ясность, краткость, обоснованность.

Основной задачей методики преподавания математики является поиск путей повышения эффективности процесса обучения школьников математике.

По мнению ученых решению проблемы способствует использование обобщений в процессе обучения. Изучением вопроса осуществления обобщений на уроках математики занимались многие методисты — математики В. Г. Болтянский, В. А. Далингер, Е. С. Канин, Г. И. Саранцев, А. А. Столяр, Д. Пойа, Р. С. Черкасов и другие.

В школьной же практике обобщения используются чаще при изучении понятий, реже теорем, и совсем редко при обучении решению задач.

По мнению учителей математики, главной причиной недостаточного осуществления обобщений на уроках решения задач является отсутствие методических рекомендаций. Поэтому необходимо разработать такие рекомендации по осуществлению обобщений в процессе обучения решению математических задач. Это определяет актуальность данной работы.

Объектом исследования является процесс обучения решению задач на уроках математики в средней (полной) школе.

Предмет исследования — обобщения при обучении решению математических задач.

Цель работы: рассмотреть теоретические основы обобщений при обучении школьников математике, разработать методические рекомендации (содержательный аспект) осуществления обобщений при обучении решению математических задач и опробировать их на уроках математики в 10_м классе.

Гипотеза исследования: если на уроках математики организовать процесс обучения решению задач в соответствии с предложенными методическими рекомендациями, то это позволит повысить результативность обучения школьников решению задач.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Рассмотреть понятие обобщения, виды и приемы обобщений в философской, психолого-педагогической, математико-методической литературе и их роль в процессе обучения математике.

2. Выявить необходимые условия осуществления обобщений при обучении математике.

3. Рассмотреть обобщения по аналогии и индуктивные обобщения при обучении решению математических задач.

4. Разработать методические рекомендации осуществления обобщений при обучении учащихся средней (полной) школы решению математических задач и проверить их эффективность в 10 классе.

Методы исследования:

Для решения поставленых задач использовались следующие методы: изучение философской, психолого-педагогической, математико-методической литературы по проблеме осуществления обобщений в процессе обучения математике, наблюдение за работой учителей математики в период практики, применение разработаных учебно — методических материалов в процессе обучения математике.

Работа состоит из введения, двух глав, заключения и библиографического списка.

Практическая значимость работы состоит в том, что разработанные методические рекомендации могут быть использованы учителями математики в их деятельности.

1. Теоретические основы обобщений при обучении школьников математике

1.1. Понятие обобщения и его роль при обучении математике

Проблеме обобщения в процессе познания посвящены труды многих ученых философов, психологов, педагогов, математиков.

С точки зрения логики обобщение — это «построение (выведение) универсальных и экзистенциальных утверждений: а) в системах дедуктивной логики — на основе постулируемых правил построения таких утверждений (правил вывода для кванторов общности и существования) — т. н. обобщение переменных; б) в системах индуктивной логики на основе опытных (экспериментальных) данных („данных эмпирических свидетельств“) — т.н. индуктивные обобщения». С гносеологической (и методологической) точки зрения обобщение — это «одно из важнейших средств научного познания, процедура перехода на более высокий уровень абстракции на основе выявления (в рассматриваемой области предметов) общих для этих предметов признаков: свойств, отношений, тенденций развития и т. п.».

В философском энциклопедическом словаре обобщение понимается как «мыслительный переход: 1. От отдельных актов, событий к отождествлению их в мыслях (Предмет -> Мысль). 2. От одной мысли к другой (Мысль -> Мысль)».

Д.П. Горский понимает под обобщением мыслительную операцию, переход от мысли об индивидуальном, к мысли об общем, от мысли об общем к мыслям о более общем; а так же переход от отдельных фактов, предметов и явлений к отождествлению их в мыслях и образованию о них общих понятий и суждений.

В психолого-педагогической литературе также имеются различные подходы к определению понятия «обобщение». В трактовках понятия прослеживается связь обобщения и мышления, обобщения и познания.

С.Л. Рубинштейн говоря о мышлении, утверждает, что «всякое мышление совершается в обобщениях. Оно всегда идет от единичного к общему и от общего к единичному. Мышление — это движение мысли, раскрывающее связь, которая ведет от отдельного к общему и от общего к отдельному. Мышление — это опосредованное — основанное на раскрытии связей, отношений, опосредовании — и обобщенное познание объективной реальности» [37, с. 310]. Автор отмечает, что обобщение можно понимать как основной путь образования понятий. В процессе обобщения происходит, с одной стороны, поиск и обозначение словом некоторого инварианта в многообразии предметов, с другой — опознание предметов данного многообразия.

Л.С. Выготский в своей психологической теории трактует обобщение как особый способ отражения действительности в сознании человека.

В психологическом словаре под редакцией В. В. Давыдова дается следующее определение обобщения: «Обобщение — одна из основных характеристик познавательных процессов, состоящая в выделении и фиксации относительно устойчивых, инвариантных свойств предметов и их отношений».

Педагоги понятие «обобщение» также определяют неоднозначно.

В педагогическом энциклопедическом словаре обобщение определяется как «переход на более высокую ступень абстракции путем выявления общих признаков (свойств, отношений, тенденций развития и т. п.) предметов рассматриваемой области; влечет за собой появление новых научных понятий, законов, теорий. Обобщение обеспечивает мышлению учащихся определенность и последовательность».

«Осмысление непосредственно перерастает в процесс обобщения знаний, в ходе которого обобщаются и объединяются общие существенные черты предметов и явлений действительности, изучаемых в соответствующий период обучения» — утверждает Ю. К. Бабанский [28, с. 147]. По его мнению, обобщение является одним из структурных этапов усвоения знания (восприятие, понимание, осмысление, обобщение, закрепление, применение).

При обучении математике распространенным является определение обобщения через множества. Д. Пойя и Ю. М. Колягин определяют обобщение как переход от данного множества предметов к рассмотрению более «емкого» множества, содержащего данное.

В пособиях по методике преподавания математики распространено понятие обобщения как операции мысленного выделения каких-либо общих существенных свойств, принадлежащих только данному классу предметов или отношений.

Обобщение как переход от понятий и теорем к более общим раскрывают М. С. Бернштейн [4], К. С. Богушевский [5], Д. И. Розенфельд [36], А. Г. Мордкович и другие.

Как переход от ключевых, опорных задач к более сложным рассматривают обобщение Я. П. Понарин [33], Р. Г. Хазанкин и другие.

Обобщение как инструмент при составлении моделей определяется в работах Л. М. Фридмана [42], П. М. Эрдниева и других.

Обобщение способов решения задач рассматривают А. И. Островский [27], Е. С. Канин [14], Г. В. Дорофеев и другие.

Обобщение как прием систематизации математических знаний и умений рассматривает в своих работах В. А. Далингер.

Как эффективный эвристический прием открытия новых фактов рассматривает обобщение Г. И. Саранцев в своей книге «Общая методика преподавания математики». Он считает, что обобщение, как форма перехода от частного к общему, имеет целью выделение общих существенных свойств, принадлежащих определенному классу объектов.

Не смотря на различные подходы к определению понятия «обобщение», все ученые признают важную роль обобщений в процессе познания:

— образование любого общего понятия действительности необходимым образом включает процесс обобщения;

— обобщения дают возможность раскрывать внутренние связи между различными уже открытыми законами; благодаря обобщениям создаются эффективные единые правила оперирования с изучаемыми предметами;

— обобщенные теории дают возможность объяснять факты, которые не могли быть объяснены в пределах прежней теории.

— обобщение развивает мотивацию к обучению, облегчает изучение и применение знаний учащимися, улучшает качество знаний, что в итоге приводит к повышению образовательного, воспитательного и развивающего потенциала обучения.

Необходимость осуществления обобщений в обучении математике отмечают В. Г. Болтянский [6], Ю. М. Колягин [23], Д. Пойа [30], Г. И. Саранцев и другие. Они считают, что знания, за которыми не стоит обобщающей работы мысли, — это формальные знания.

П.М. Эрдниев видит значение обобщения в том, что его применение в процессе обучения помогает самостоятельному расширению и углублению имеющихся знаний, так как «обобщение связано с преобразованием мыслей, с умственным экспериментированием; с развитием интуиции и перебором различных образов при отыскании общего знания. Обобщение есть одно из самых важных средств самообучения, автодидактики». Он также отмечает, что умение обобщать является непременной составной частью творческого мышления, так как «этим путем мысль человека выходит за пределы известного, пролагая путь к неизвестному» [43, c. 61].

С помощью обобщения происходит развитие творческих способностей учащихся; развитие познавательного интереса при решении задач [39], формирование и развитие умения сравнивать, что имеет большое значение в развитии мышления учащихся [16]; формирование умения видеть за абстрактными обозначениями реальные взаимосвязи в задачах.

Задачи являются и целью, и средством обучения математике. Поэтому необходимо использовать потенциал обобщения в процессе обучения решению задач, так как обобщения могут способствовать выводу общего метода решения некоторого класса задач из решений конкретных задач, выступать как метод решения задач, например, обобщенная задача может оказаться легче и понятнее исходной. При составлении новых задач обобщение является средством видоизменения задачи.

Таким образом, в работе под обобщением будем понимать переход от единичного к общему, от менее общего к более общему за счёт выделения общих существенных свойств или отношений. Обобщение играет очень важную роль в процессе обучения математике. С помощью обобщения происходит расширение и углубление знаний, а так же их систематизация. Обобщение помогает в формировании и развитии мотивации к изучению математики. Оно способствует усилению внутрипредметных связей, развивает творческое мышление и познавательный интерес в процессе обучения, является существенной стороной мыслительной деятельности. Необходимо использовать потенциал обобщения в процессе обучения решению математических задач. При решении задач обобщение может осуществляется как метод решения, или, наоборот, помочь в выводе метода решения задачи, а так же удобно при составлении новых задач.

1.2 Виды и приемы обобщений

В методике преподавания математики нет общепринятой классификации видов обобщения. Используя обобщения, методисты в основном берут за основу классификации философов и психологов.

Наиболее распространенной является классификация способов обобщений, предложенная Д. П. Горским.

1. Обобщение посредством перехода от конкретных высказываний к предложениям, содержащим переменные. (Введение понятия многоугольника, многогранника, уравнения и др. математические понятия после рассмотрения отдельных примеров.)

2. Обобщение посредством введения новых понятий, правил, операций, законов. (Введение понятий конгруэнтности, равновеликости, равнонаправленности, подобия фигур, понятий симметрии и др.)

3. Обобщение посредством анализа смысла некоторых выражений, возникающих в ходе развития науки. (В арифметике — введенное Эйлером определение умножения целого числа на дробь через обращение к закону коммутативности, в геометрии — введение понятия угла между скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, понятий двугранного, многогранного угла и др.)

4. Обобщение как перенесение закономерностей, действительных для одной области, на новые предметные области. (Величины и числа, алгебраизация геометрии и др.)

5. Обобщение посредством индукции, т. е. переход от суждений, теорий, имеющих частное значение, к общим закономерностям. (В арифметике: всякое четное число можно представить в виде суммы двух простых чисел; в геометрии: все рассматриваемые в пространстве фигуры, обладающие свойством симметрии, имеют либо бесконечное, либо конечное нечетное число осей симметрии и др.)

6. Обобщение с помощью объединения двух или нескольких закономерностей в одну более общую закономерность. (Понятие о геометрических преобразованиях, композиции преобразований и др.).

Деление обобщений на эмпирические и теоретические, осуществленное С. Л. Рубинштейном и В. В. Давыдовым, так же используется в методике преподавания математики.

В основе эмпирического обобщения лежит операция сравнения. Проводя сравнение одной группы предметов, ученик выделяет их внешние, одинаковые общие свойства, обозначает их каким-либо словом, которое в результате может стать понятием об этой группе предметов.

Теоретическое обобщение осуществляется путем анализа данных о каком-либо одном предмете с целью выделения существенных внутренних связей, которые определяют этот предмет как целостную систему.

С.Л. Рубинштейн выделил две характерные черты теоретического обобщения:

1) оно выполняется при таком анализе какого-либо одного конкретного факта (события, задачи), который обнаруживает внутреннюю связь его частных проявлений;

2) исходя из знания этой связи, ученик затем сразу может обобщить все другие факты (события, задачи) данного круга.

Если для эмпирического обобщения характерно длительное сравнение многих исходных фактов для их постепенного обобщения, то для теоретического обобщения этого не требуется. Теоретическое обобщение строится на рефлексии, которая состоит в рассмотрении учащимися оснований собственных действий и их соответствия условиям задачи, и на анализе содержания задачи с целью выделения принципа или всеобщего способа ее решения.

В качестве приемов обобщения при обучении решению задач ученые выделяют отбрасывание ограничений, введение параметра, видоизменение задачи, построение «теории в малом масштабе» и т. д.

Г. И. Саранцев считает, что «использование обобщения при решении задач основано на расширении области изменения параметра, или на переходе от данного множества к более широкому множеству, содержащему данное. Первое направление преимущественно применяется в алгебре, второе — в геометрии» [38, с. 110]

В качестве приема отбрасывания ограничений, можно рассматривать обобщения данных или искомых задачи в различных проявлениях:

1) отбрасывание ограничений путем замены числовых данных или искомых параметром;

2) отбрасывание ограничений путем обобщения понятий, входящих в содержание задачи;

3) отбрасывание ограничений на требования задачи, постановка более общего вопроса;

4) отбрасывание ограничений путем введения большего числа элементов задачи;

5) отбрасывание ограничений на применимость (решение конкретной задачи применяется для целого класса задач).

Этот прием широко используется при обучении решению математических задач.

При обобщении сами математические задачи можно объединить в некоторые множества. Например, задачи, приводимые к формированию математического понятия; задачи, приводящие к теореме; задачи, приводящие к методу решения класса задач и другие. От данного множества задач осуществляется переход к более широкому множеству, содержащее данное.

Таким образом, нет общепринятой классификации видов обобщения. В методике преподавания математики в основном используются классификации педагогов и психологов. Основными приемами обобщения при решении математических задач являются отбрасывание ограничений и переход от данного множества задач к более широкому, содержащее данное.

1.3 Сравнение и анализ — необходимые условия обобщения

Обязательным условием всякого обобщения является сравнение. Как уже было отмечено, сравнение является основой эмпирических обобщений. П. М. Эрдниев при обучении математике на основе теории укрупнения дидактических единиц придает большое значение основным формам сравнения: сопоставлению и противопоставлению.

Анализ же является основой теоретических обобщений.

По мнению В. Г. Болтянского «анализ представляет собой наиболее трудную, творческую стадию процесса решения задачи» [6, с. 35]. Именно в умении анализировать условие задачи, поиск решения, само решение, полученный результат проявляется обобщенность подхода к решению задач.

«Обобщение через анализ является мощным средством для выявления существенных для решения данной задачи свойств путем формирования теоретического мышления» считает Ю. М. Колягин [23, с. 53]. Это справедливо, так как, по мнению психологов, неотъемлемым признаком теоретического мышления является способность к анализу задачи, который вскрывает внутреннюю связь, лежащую в основе многих частных проявлений этой задачи.

Часто учащиеся выясняют метод решения задач определенного класса на основе анализа одной-двух задач. При этом способные к математике школьники значительную часть времени затрачивают не столько на анализ условия задачи, сколько на анализ требования. Благодаря такому анализу они могут решать одну и ту же задачу разными способами. Переход от одного способа к другому, свободная ориентация в материале, свидетельствуют о его обобщенности.

«Анализ при решении задачи включает в себя несколько составляющих: составно-структурную, функциональную, генетическую, которые раскрываются в определенной последовательности». [20, с. 61] Составно-структурная составляющая анализа предполагает ответы на вопросы: из каких элементов, подзадач, блоков образована задача? Что они собой представляют? Оптимален ли набор элементов? Эта составляющая заключается в том, чтобы выяснить внутреннюю структуру, организацию задачи как системы, определить способ, характер связей и отношений элементов ее составляющих. Функциональная — в раскрытии механизма внутреннего функционирования задачной системы. Генетическая — в исследовании происхождения задачи, процесса ее формирования и развития.

Весьма важной при проведении обобщений является генетическая составляющая анализа. Ведь гораздо легче воспринять знание, проследив его возникновение, нежели чем когда оно дано как факт.

Пример1. задачу на вычисление площади треугольника подобного данному с известной площадью, если известен коэффициент подобия можно обобщить до класса задач на вычисление площади многоугольника подобного данному с известной площадью, если известен коэффициент подобия. При этом используется формула отношения площадей подобных треугольников:. Тогда, анализируя задачу, когда S₁ и S₂ — площади треугольников, можно сделать обобщение, когда S₁ и S₂ — площади многоугольников. Это обобщение, в свою очередь, может быть рассмотрено для конкретных многоугольников.

Составно-структурная составляющая проявляется в анализе структуры задачи и ее решения.

При помощи функциональной составляющей анализа можно выделять общее не только в задачах и их решениях, но и в мыслительной деятельности при решении задач. Д. Пойа в работе «Как решать задачу» разработал методику решения задач по математике, представив ее в виде таблицы советов решающему математическую задачу. Советы носят организационно-эвристический характер, направленный на оптимальное стимулирование мышления к достижению поставленной в задаче цели.

Таким образом, сравнение и анализ являются обязательными условиями всякого обобщения. Эффективность осуществления обобщений зависит от умения проводить анализ задачи. При проведении анализа задачи, выявляется общее как в задачах и их решениях, так и в мыслительной деятельности.

1.4 Обобщения по аналогии при обучении решению задач

«Случаи, в которых применима аналогия, неисчерпаемы по своему разнообразию», — говорит Д. Пойа.

Аналогия является хорошим источником новых фактов и задач.

Д.П. Горский утверждает, что аналогия необходима для «получения нового знания, чтобы менее понятное сделать более понятным, представить абстрактное в доступной форме, конкретизировать отвлеченные идеи». Так же аналогия может служить «средством выдвижения новых гипотез, являться методом решения задач путем сведения их к ранее решенным задачам и т. п.» [8, с. 14].

Обобщения по аналогии используются для движения мысли от общности одних свойств и отношений у сравниваемых предметов к общности других свойств и отношений.

Часто аналогии скрываются в кажущихся различиях. Обнаружение таких скрытых аналогий между закономерностями, которые ранее рассматривались отдельно и не считались связными, является «одним из самых приятных моментов математического творчества» [35, с. 110]. Эвристическая ценность данного подхода заключается, в том, что происходит сближение различных, казалось бы изначально отдаленных, предметных областей математики.

Д. Пойа в книге «Математика и правдоподобные рассуждения» рассматривает использование аналогии при решении задач. Иногда можно почти копировать решение близкой, родственной задачи. В более сложных случаях аналогия может подсказать направление, в котором следует продолжать работу по решению задачи. Аналогии полезны как в понимании задачи и ее решения, так и в отыскании решения. С помощью аналогии могут быть подсказаны или сделаны более ясными общий план или значительные части решения.

Часто задачи, аналогичные по содержанию, аналогичны и по методу решения. Поэтому задачу, аналогичную по содержанию данной, легко можно решить тем же методом, а решение задачи, аналогичной данной, но более общей, может привести к открытию нового общего метода решения класса задач.

Д. Пойа предлагает следующий алгоритм, который может быть применен для решения сложных задач: для начала следует выделить аналогичную, более легкую задачу, решить ее, затем переделать ее решение так, чтобы оно могло служить в качестве модели для первоначальной задачи, и наконец, добиться решения первоначальной задачи, следуя только что созданной модели.

Рассмотрим примеры 2 и 3:

Пример 2. Зная стороны а, b, с треугольника ABC, вычислите радиус r₁ вневписанной окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС.

Для задачи аналогичной более общей будет следующая задача:

Пример 3. Зная стороны а, b, с треугольника ABC, вычислить радиус r вписанной окружности.

Решение этой задачи рационально разбить на отдельные простейшие «шаги», после чего аналогия будет легко заметна. Решение исходной задачи (пример 2) можно получить по аналогии с решением задачи (пример 3). Для этого достаточно провести аналогию на каждом «шаге» решения.

В математике выделяются основные аналогии, которые часто используются при обучении решению задач: аналогии между планиметрией и стереометрией, аналогии между числами и фигурами, аналогии между бесконечным и конечным, аналогии между природой и математикой.

Таким образом, аналогия имеет широкое применение при обучении решению задач. С помощью аналогии осуществляется связь планиметрии и стереометрии, чисел и фигур и другие. Часто для решения сложной задачи удобно использовать решение более простой аналогичной задачи. Так же аналогия может подсказать направление, в котором следует продолжать работу по решению задачи, сделать более ясными общий план или значительные части решения. Задачу, аналогичную данной по содержанию, легко можно решить тем же методом. Решение задачи, аналогичной данной, но более общей, может привести к открытию нового общего метода решения класса задач.

1.5 Индуктивные обобщения при обучении решению задач

Индукция представляет собой метод рассуждений от частного к общему, вывод заключения из частных посылок. Индуктивные обобщения играют большую роль в получении обобщенного знания и являются одним из важных эвристических приемов.

При отыскании математических закономерностей, при нахождении способа решения разнообразных математических задач индуктивное обобщение проявляется в умении наблюдать и выявлять общее. Метод рассуждений, где после наблюдения за серией частных случаев формулируется общее предложение, называется неполной индукцией.

Пример 4. «Доказать, что произведение трех любых последовательных натуральных чисел делится на 6» [43, с. 79].

1) Рассмотрим серию частных случаев:

1*2*3=6 (делится на 6)

2*3*4=24 (делится на 6)

3*4*5=60 (делится на 6)

2) Сформулируем предположение: числа 6, 24, 60 делятся на 6, значит произведение трех любых последовательных натуральных чисел может делиться на 6.

3) Испытаем предположение для другого частного случая: 13*14*15=2730 (=455*6 т. е. делится на 6).

Так как предположение подтвердилось, то можно сформулировать индуктивный вывод: произведение трех любых последовательных натуральных чисел делится на 6.

4) Проведем доказательство предположения: пусть k — произвольное натуральное число.

Возможны три случая:

1. Первое число равно 3*k, то есть кратно трем, тогда из двух последующих одно обязательно четное. Значит, произведение делится на 6.

2. Последнее число равно 3*k, то есть кратно трем, тогда из двух предыдущих одно обязательно четное. Значит, произведение делится на 6.

3. Среднее число равно 3*k.

Тогда: (3*k — 1)* 3*k *(3*k + 1) = 3*k *(9*k² — 1)

Далее возможны два случая:

k = 2*p. Предложение доказано.

k=2*p + 1.

Имеем: 3*k *(9*k² — 1) = 3*[9*(2*p +1)² — 1]*(2*p + 1)

Так как множитель в квадратных скобках — четное число, то все произведение делится на 6.

Таким образом, предложение доказано полностью: произведение трех любых последовательных натуральных чисел делится на 6.

Д. Пойа утверждает, что индуктивное обобщение может являться также методом решения математических задач. Рассматривается самый простой частный случай, когда задача решается легко. Решив эту задачу, обобщают ее на другой более общий, но все же частный случай, используя в решении результат предыдущей задачи. Так доходят до общей данной задачи.

В процессе обучения математике индукция очень тесно связана с дедукцией. Особенно ярко взаимосвязь индукции и дедукции просматривается при решении задач методами полной и математической индукции.

Иногда при полной индукции результат достигается в два этапа.

1. Выделение благоприятного частного случая — особого случая, более простого, чем общий. Решение этого частного случая;

2. Объединение частных случаев, к которым применимо ограниченное решение. Получение полного решения для общего случая.

Математическая индукция применяется с целью установления истинности математической теоремы в бесконечной последовательности случаев.

Пример 5. Докажем, что для всех натуральных n истинна формула

1) При n=1 формула верна:

2) Предположим, что формула верна для n=k.

3) Докажем, что формула верна для n=k+1, то есть

Это верно, так как

4) На основании принципа математической индукции сделаем вывод: формула верна для всех натуральных п.

Таким образом, индуктивные обобщения являются эвристическим приемом в обучении решению задач. Индуктивные обобщения используются в открытии математических закономерностей, при выводе метода решения задач. При решении задач индукция связана с дедукцией. Особенно это проявляется при решении задач методом полной индукции и методом математической индукции.

Вывод по первой главе.

В своей работе под обобщением будем понимать переход от единичного к общему, от менее общего к более общему за счёт выделения общих существенных свойств или отношений.

Роль обобщения при обучении решению математических задач состоит в расширении и углублении знаний, их систематизации; в формировании и развитии мотивации к изучению математики; усилении внутрипредметных связей, развитии творческого мышление и познавательного интереса в процессе обучения. Обобщение может использоваться как метод решения, как средство вывода метода решения задачи, при составлении новых задач.

В методике преподавания математики нет общепринятой классификации видов обобщений. В качестве приемов обобщений при обучении решению задач выделяют отбрасывание ограничений, введение параметра, видоизменение задачи.

Сравнение и анализ являются обязательными условиями всякого обобщения. Эффективность осуществления обобщений зависит от умения проводить анализ задачи.

Часто для решения сложной задачи удобно использовать решение более простой аналогичной задачи. Задачу, аналогичную данной по содержанию, легко можно решить тем же методом. Решение задачи, аналогичной данной, но более общей, может привести к открытию нового общего метода решения класса задач.

Индуктивные обобщения используются в открытии математических закономерностей, при выводе метода решения задач.

2. Методические рекомендации осуществления обобщений на уроках математики при обучении решению задач

Использование теоретических основ обобщений будет представлено в методических рекомендациях осуществления обобщений на уроках математики при обучении решению задач.

При обучении школьников решению задач можно выделить следующие обобщения:

1. Обобщения при обучении методам решения математических задач.

2. Обобщение как метод решения математических задач.

3. Обобщение как источник новых математических задач.

4. Обобщения задач ведущие к формированию математических понятий и теорем.

Так же необходимо выделить использование таблиц как средства обобщения при обучении решению математических задач.

2.1 Обобщение при обучении методам решения математических задач

Важную роль при обучении методам решения задач играют индуктивные обобщения. С их помощью осуществляется переход от одних методов решения задач к другим, более общим, которые можно применить к решению широкого класса задач. Также индуктивные обобщения подходов к решению задач позволяют создать систему советов эвристико — организационного характера.

В обучении методам решения математических задач можно выделить следующие индуктивные обобщения:

1) индуктивные обобщения способов решений конкретных задач до метода решения класса задач;

2) индуктивные обобщения методов решения задач;

3) обобщения и систематизации способов поиска решений многих задач до системы советов решающему математическую задачу.

Рассмотрим их подробно.

2.1.1 Обобщение способов решения конкретных задач до метода решения класса задач

Решение конкретной задачи часто может привести к методу решения класса задач. Таким образом осуществляется обобщение способа решения конкретной задачи до метода решения класса задач.

Выбирается конкретная задача, ее решение записывается в таблицу, состоящую из двух столбцов (табл. 1). В левом столбце — решение конкретной задачи, в правом — решение обобщенной задачи.

Пример 6. Найти число, 2% которого равно 12.

Табл. 1

Решение рассмотренной конкретной задачи приводит и к такому обобщению: для того, чтобы найти число, если известно, сколько составляет конкретное число процентов от него, нужно найти, сколько составляет один процент заданного числа, а зачем умножить это значение на 100.

Специализация метода решения задач на отыскание числа, если известен процент и его значение позволяет решать все задачи этого класса.

Пример 7. Фабрика выпускает калькуляторы партиями. Брак в каждой партии обычно бывает 9 калькуляторов, что составляет 2% от общего количества. Сколько калькуляторов в одной партии?

Так же обобщение может осуществляться путем абстрагирования от конкретных сюжетов нескольких задач и построения общей математической модели для различных по фабуле задач. Математическая модель задачи производится переводом реально происходящих в действительности процессов и явлений на язык математики и позволяет показать применение математики как инструмента для математизации реальных практических ситуаций. Таким образом, моделирование является обобщением нескольких задач и методом решения различных классов задач.

Пример 8. Клоун на ходулях хочет показать мастер - класс и обойти всю арену по краям за 5 шагов и вернуться в исходное место, при этом для красоты шаги должны быть одинаковы. Помогите клоуну, указав ему путь по арене.

Пример 9. 5 спасателей натягивают батут круглой формы для спасения человека. Как лучше спасателям держать батут, чтобы натяжение было наилучшим.

Сравнение и анализ геометрических моделей этих задач приводят к выводу: задачи, несмотря на различие формулировок, имеют одинаковые геометрические модели.

Абстрагируясь от конкретных фабул задач, формулируют обобщенную задачу: в окружность вписать правильный пятиугольник.

Понять, что для решения задачи необходимо только вписать правильный пятиугольник в окружность, мы смогли тогда, когда построили геометрическую модель задачи. Решение обобщенной задачи позволяет так же решать все задачи такого типа.

Обобщение применимо при переходе от конкретных задач к общим моделям их решения, а затем к методу решения класса аналогичных задач.

Пример 10: изучение пропорциональных зависимостей величин в 7 классе: скорость, время, расстояние (); цена, количество товара, стоимость (); производительность труда, время работы, объем работы (). В основном, в сознании учащихся все эти задачи укладываются независимо друг от друга. В каждой задаче ее содержанию соответствует определенная группа величин, находящихся между собою в функциональной зависимости. Если абстрагироваться от конкретного содержания задач, то легко заметить, что во всех рассмотренных случаях задачные ситуации описываются с помощью двух функций:. Это и есть простейшие математические модели прямой и обратной пропорциональности. Таким образом, задачи на различные прямо пропорциональные зависимости решаются с использованием модели у = к*х, а обратно пропорциональные — применением модели «.

Так же распространено обобщение решения различных конкретных задач до метода решения класса задач.

Пример 11. Введение метода построения вспомогательных треугольников, который позволяет на протяжении изучения всего курса геометрии решать многие задачи на построение единым подходом, хотя они могут быть и различного содержания.

Суть метода — построение вспомогательных треугольников и использование их свойств и вновь полученных элементов для окончательного решения задачи.

Данные удобно представить в виде таблицы. [Приложение 8]

На анализе построение трех задач можно вывести общий метод построения всех задач такого класса, который записывается в последний столбец таблицы. При таком подходе учащиеся четко различают этапы метода.

2.1.2 Обобщение методов решения задач

При изучении методов решения математических задач индуктивные обобщения могут осуществляться следующим образом:

1) обобщение и систематизация способов решения конкретных задач до методов решения класса задач;

2) обобщение и систематизация методов решения класса задач.

Для систематизации знаний учащихся, приобретенных при решении конкретных задач, полезно делать обобщения решений до метода решения класса задач.

Пример 12: обобщение и систематизация методов решения задач о длине окружности и площади круга.

После решения ряда задач с применением формул длины окружности и площади круга в 9 классе на уроке геометрии можно провести с учащимися обобщающую беседу.

Основными при изучении темы «длина окружности и площадь круга» являются шесть объектов: R — радиус, С — длина окружности, S — площадь круга, угол с градусной мерой, L — длина дуги, S_c — площадь сектора.

В беседе следует отметить, что формула длины дуги это обобщенный случай формулы длины окружности, то есть когда угол равен 360⁰. Аналогичное обобщение можно провести и с формулой площади круга до формулы площади сектора. Тогда количество объектов уменьшится с шести до четырех и можно рассмотреть два основных соотношения между ними:

.

Если заданы два компонента из четырех, то две оставшиеся могут быть вычислены. Таким образом, возможные типы задач определяются данными: 1) L,; 2) S,, 3) R,, 4) L, R, 5) S, R, 6) S, L.

Если же речь идет о длине окружности и площади круга, то количество типов задач уменьшается. Целесообразно провести специализацию и рассмотреть этот случай. Обобщение показывает взаимосвязь нахождения длины окружности и длины дуги окружности, площади круга и площади сектора, так как такие громоздкие формулы плохо запоминаются учащимися.

Такие обобщения позволяют выявить связи изучаемого с изученным ранее и сформировать как общие методы решения классов задач, так и систему методов решения задач.

Индуктивные обобщения методов решений задач, а так же их систематизация приводят к формированию системы советов решающему математическую задачу.

2.1.3 Обобщение способов поиска решения многих задач до системы советов

В процессе решения задачи деятельность учащегося направлена на понимание задачи, осуществление поиска ее решения. Таким образом, она направлена на осознание, систематизацию и выяснение той информации, которая является явной в задаче.

Советы при решении различных задач должны обладать общностью, должны быть естественны и просты.

Все советы можно разделить на четыре группы, которые соответствуют четырем этапам решения задачи: усвоение содержания задачи; составление плана решения задачи; реализация плана решения задачи; анализ и проверка правильности решения. На первом этапе деятельности целью является достижения осознанного понимания словесной формулировки задачи. Взгляд на один и тот же факт или объект задачи с различных сторон помогает оценить связь объекта задачи с другими данными или внешней информацией. На втором этапе должны быть установлены связи различных объектов в задаче и выявлена связь с внешней информацией, с ранее приобретенным опытом. Учащийся должен внимательно, многократно и с разных сторон рассмотреть все компоненты задачи, их внутренние и внешние связи и осуществить составление плана решения задачи. На третьем этапе осуществляется сам план решения задачи, на четвертом — исследование полученного решения.

Такие этапы помогают направить ход мыслей в нужном направлении для достижения поставленной в задаче цели. Рассмотрим подробно систему советов, например, для составления плана решения задачи.

Это второй этап решения задачи, наступает, когда ученик вник в содержание задачи, ввел все обозначения, по необходимости сделал чертеж.

Для составления верного плана решения задачи необходима подготовка.

А). Для начала следует выяснить, известна ли какая-либо родственная задача? Аналогичная задача?

Пример 12. За одно и то же время велосипедист проехал 4 км, а мотоциклист — 10 км. Скорость мотоциклиста на 18 км/ч больше скорости велосипедиста. Найдите скорость велосипедиста.

Пример 13. Лодка за одно и то же время может проплыть 36 км по течению реки или 20 км против течения. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки 2 км/ч [17].

Задачи аналогичны по плану решения. В обеих для решения необходимо составить отношения расстояний к скоростям и приравнять. Общая формула выглядит следующим образом:. Если при решении задач, одна уже была рассмотрена ранее, то другая может быть решена по аналогии.

Б). Подумать, известна ли задача, к которой можно свести решаемую?

Пример 14. Отрезки, концами которых служат внутренние точки противоположных сторон квадрата, перпендикулярны. Докажите, что эти отрезки равны [38].

Решение задачи упрощается, если заданная пара взаимно перпендикулярных прямых будет проходить через центр квадрата. Доказав равенство отрезков в этом случае, основная задача легко решается использованием признаков параллельности и определения квадрата. Таким образом задачу можно свести к следующей: Отрезки, концами которых служат внутренние точки противоположных сторон квадрата, перпендикулярны и пересекаются в центре квадрата. Докажите, что эти отрезки равны.

В). Если родственная задача неизвестна и свести данную задачу к какой-либо известной задаче не удается, то стоит воспользоваться советом: «Попытайтесь сформулировать задачу иначе». При переформулировании задачи либо пользуются определениями данных в ней математических понятий (заменяют термины их определениями), либо их признаками (точнее сказать, достаточными условиями).

Пример 15. Найти периметр правильного шестиугольника A₁A₂A₃A₄A₅A₆, если A₁A₄ = 2,24 см [1, № 1131].

Для быстрого и более легкого нахождения плана решения данной задачи, удобно к понятию «правильный шестиугольник» добавить определяющий признак, что

«в правильном шестиугольнике».

Тогда задача примет вид: Найти периметр правильного шестиугольника

A₁A₂A₃A₄A₅A₆, в котором отрезки, соединяющие его центр с вершинами равны сторонам правильного шестиугольника, если A₁A₄ = 2,24 см.

Тогда, глядя на рисунок 1, становится ясен план решения задачи.

Г). Так же, составляя план решения задачи, следует задать себе вопрос: «все ли данные задачи использованы?» Выявление неучтенных данных задачи облегчает составление плана ее решения. Возможно, имеются «скрытые» данные.

Пример 16. Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, длина а, ширина b, высота h которого известны.

Так может случиться, что ученик, зная теорему Пифагора, найдет диагональ грани:. Далее самостоятельное решение задачи будет для него уже затруднительно, тогда учитель, задав вопрос «все ли данные задачи использованы?», может помочь ученику в отыскании верного пути решения задачи.

Д). Иногда полезно следовать совету «Попытайтесь преобразовать искомые или данные». При этом данные преобразуют так, чтобы они приблизились к искомым.

Пример 17. Постройте треугольник, равновеликий данному четырехугольнику.

При отыскании решения данной задачи следует для начала преобразовать четырехугольник до параллелограмма, так как формулы площадей треугольника и параллелограмма сходны между собой.

Е). Если следуя предыдущим советам, вам не удалось составить план решения, то можно воспользоваться таким советом: «попробуйте решить лишь часть задачи», т. е. попробуйте удовлетворить лишь части условий, с тем, чтобы далее искать способ удовлетворить оставшейся части условий задачи. Этот совет можно расширить, развить до совета: «Расчлените задачу на более простые задачи».

Пример 18. В треугольнике ABC медианы AA₁, BB₁, CC₁ пресекаются в точке M. Точки A₂, B₂, C₂ являются соответственно серединами отрезков AM, BM, CM. Докажите, что A₁B₁C₁= A₂B₂C₂ [1, № 1177].

Данная задача решается с применением центральной симметрии, которая явно не видна (рис. 2). Тогда стоит разбить задачу на этапы:

1) установить взаиморасположение точек A₁, B₁, C₁ и A₂, B₂, C₂;

2) найти центр симметрии; 3) определить центральную симметрию.

Ж) В составлении плана решения задачи может помочь ответ на вопрос: «Для какого частного случая возможно достаточно быстро решить эту задачу?». Отыскав частный случай, можно воспользоваться решением задачи в найденном частном случае для более общего (но, может быть, не самого общего) случая. Так можно поступить, постепенно обобщая задачу до исходной, решаемой задачи. Совет: «Рассмотрите частные случаи задачной ситуации, решите задачу для какого-нибудь частного случая, примените индуктивные рассуждения».

3). Иногда решение задачи оказывается проще, если сформулировать и решить задачу сначала более общую, а затем с ее помощью решить данную задачу. Совет: «Попробуйте сформулировать и решить более общую задачу».

Эвристико-организационные советы для решения задачи можно оформить в виде таблицы. [Приложение 9]

Таким образом, с помощью индуктивных обобщений при решении математических задач можно вывести новые методы решения задач, перейти от одних методов решения задач к более общим. Так же индуктивные обобщения подходов к решению задачи их систематизация помогают в создании системы советов, полезных в процессе отыскания решения задачи.

2.2 Обобщение как метод решения математических задач

Обобщение как метод решения может осуществляться:

1. Решение задачи «по индукции»;

2. Решение задачи в «общем» виде.

2.2.1 Обобщения «по индукции»

Метод решения задачи «по индукции» основан на полной или теоретической индукции.

Обобщение как метод решения осуществляется по следующей схеме:

1. Выделить частный случай задачи, для которого задача решается легко и решить задачу для этого частного случая;

2. Рассмотреть более общий, но все же частный случай, содержащий первый;

3. Рассмотреть общий случай.

Часто решение задач «по индукции» включает в себя только первый и третий пункты из вышепредложеной схемы.

Пример 19. В четырехугольнике две стороны AD и BC не параллельны. Что больше: полусумма этих сторон или отрезок (MN), соединяющий середины двух других сторон четырехугольника (рис. 3а)? [3]