Общие методы обучения решению математических задач

1. Анализ и синтез при решении задач находит широкое применение.

Анализ — это метод рассуждения к данным.

Синтез — это метод рассуждения ведущий от данных к искомому.

Применяется практически при решении каждого вида задач.

• а) Анализ и синтез при решении задач на доказательство. (Шар касается боковых граней треугольной пирамиды в точке пересечения их биссектрис. Доказать, что пирамида правильная.)
• б) Анализ и синтез при решении текстовых задач. Текстовыми задачами здесь называют математические задачи, в которых входная информация содержит не только математические данные, но ещё и некоторый сюжет. (Большая комната имеет длину 5,3 м. и ширину 4 м., а меньшая комната длину 4 м., а ширину 4,3 м. На сколько площадь первой комнаты больше второй.)
• в) Анализ и синтез при решении задач на построение в геометрии. Решение геометрических задач выполняется по плану:
  • — анализ
  • — построение
  • — доказательство
  • — исследование
  • (Через данную прямую провести плоскость параллельную другой данной прямой.)
  • 2. Другие общие методы решения задач.

Один из них метод исчерпывающих проб, основой которого является выявление всех логических возможностей и отбор из них тех, которые удовлетворяют условию задачи. С помощью этого приёма решаются некоторые элементарные задачи теоретического содержания.

Второй метод — это метод сравнения, третий — имеет своей основой моделирование.

3. Общие советы учителя ученику при решении задач.

Для того чтобы научиться решать, надо приобрести опыт решения.

• 1) Вопросы и советы для усвоения содержания задачи.
• 2) Составление плана решения задачи.
• 3) Реализация плана решения задачи.
• 4) Анализ и проверка правильности.
• 5) От общих советов к частным.
• 6) Пример применения рекомендуемых советов и вопросов при решении задачи.

Как учит решать задачи современная школа?

Однако использование задач в процессе обучения математике и в настоящее время ещё далеко от совершенства.

Как пишет А. Эсаулов в психологии и педагогике обращается внимание преимущественно на то, как решаются уже кем-то найденные и вполне чётко сформулированные задачи, а не на то, как они обнаруживаются и ставятся. В результате получается, что человек, привыкший видеть перед собой чётко и корректно сформулированную задачу, просто теряется в незнакомой ситуации, будь то хоть обычная некорректная математическая задача или некая задача, возникшая как следствие из практики (прикладная).

В современном математическом образовании отмечается следующий актуальный аспект: изучение математики на всех этапах должно иметь развивающий характер и прикладную направленность. Молодёжи необходимо давать не просто конкретную сумму знаний, но и прививать ей навыки творчества, интерес к исследованию, формировать у неё положительную мотивацию. Интерес к учебной деятельности, подкрепляемый постоянным активным участием в открытии новых истин, проверке гипотез, поиском способа действий в задаче, является основным психологическим условием успешности этой деятельности.

Школьные уроки математики по-прежнему нацелены на прохождение программы, а не на развитие мышления у детей. Учитель видит свою задачу в том, чтобы школьники с его помощью усвоили ещё одну порцию материала. Однако главная его задача — всемерно содействовать развитию познавательных возможностей у учащихся.

Основную часть времени на уроке ученик проводит, решая задачи, и во многом от их особенностей (сложности, многогранности, сюжетной формы, последовательности и др.) и зависит, насколько успешным будет процесс обучения математике. Но что же мы имеем на самом деле? На практике получается, что чаще всего процесс решения задач на уроке обладает некоторой рутинностью и оставляет ученику мало возможностей для творчества. Со временем такая специфика задач вырабатывает у ученика некоторый неправильный стереотип мышления, относящийся к решению задач. Ученик просто ищет стандартную ситуацию, к которой можно было бы применить известные формулы и теоремы, и теряется, когда предложенная задача требует даже несложного нестандартного подхода.

По мнению Л. Фридмана, одной из основных в обучении математике функций задач является функция формирования и развития у учащихся общих умений решений любых математических (в том числе и прикладных) задач.

Учащиеся же в настоящее время не получают никаких специальных знаний, на базе которых возможно такое формирование. Более того, в настоящее время эти общие умения формируются чисто стихийно, а не в результате целенаправленного, систематического обучения. Считается, что эти умения могут возникнуть лишь благодаря решению большого числа математических задач. Анализ школьных учебников математики показывает, что они содержат вроде бы достаточное (или даже избыточное) количество задач, из которых учитель может составлять наборы задач, ориентированные на разные классы и на разных учащихся. Однако учебный эффект получается, по мнению многих педагогов-исследователей, с которым мы вполне согласны, невысоким.

Большинство учащихся, встретившись с задачей незнакомого или малознакомого вида, не знают, как к ней подступиться, с чего начать решение, и при этом обычно произносят печально известные слова: «А мы такие не решали» .

Каковы же причины этого широко распространённого явления?

Основная причина в неудовлетворительной постановке задач в обучении математике — проблема постановки задач в процессе обучения математике до сих пор не нашла удовлетворительного решения ни с точки зрения содержания учебных задач, ни с точки зрения их целевого назначения, ни с точки зрения числа обязательных или необязательных задач или представления их в виде целостной системы.

Сейчас, когда учащиеся не имеют систематических знаний о задачах и сущности их решения, главное внимание учащихся (и учителей) направлено на то, чтобы найти решение задачи и притом как можно быстрей. На заключительный анализ, на установление того, какие выводы можно сделать из выполненного решения, — на всё это уже не остаётся ни сил, ни времени, ни желания, а ведь это едва ли не главные аспекты решения задач.

В школе невозможно, да и не нужно, рассматривать все виды математических задач. Сколько бы задач ни решали в школе, всё равно учащиеся в своей будущей работе встретятся с новыми видами задач. Поэтому школа должна вооружать учащихся общим подходом к решению любых задач.

Одной из особенностей математики является алгоритмичность решения многих её задач. Алгоритмом, как известно, называется определённое указание относительно того, какие операции и в какой последовательности надо выполнить, чтобы решить любую задачу определённого типа. Конечно, очень большое количество задач не алгоритмизируется и решается с помощью специальных, особых приёмов. Поэтому способность находить пути решения, не подходящие под стандартное правило, является одной из существенных особенностей математического мышления, как об этом пишет в своей книге академик Колмогоров.

Необходимость специальных способностей для изучения и понимания математики часто преувеличивают. Впечатление исключительной трудности математики иногда создаётся её плохим, чрезмерно формальным изложением на уроке.

Умение последовательно, логически рассуждать в незнакомой обстановке приобретается с трудом. На математических олимпиадах самые неожиданные трудности возникают именно при решении задач, в которых не предполагается никаких предварительных знаний из школьного курса, но требуется правильно уловить смысл вопроса и рассуждать последовательно.

Многие нарекания вызывает и подготовка школьников как абитуриентов, поступающих в ВУЗы на физико-математические специальности. Многолетняя практика приёмных экзаменов показывает, что воспитанные в традиционной школе абитуриенты обладают знаниями, достаточными для поступления в ВУЗ, однако интеллектуальное развитие большинства из них и, прежде всего, уровень абстрактного и логического мышления недостаточен для эффективного обучения по выбранной специальности.

Итак, как показывает вышеизложенный анализ литературы, наборы задач имеющихся школьных учебников пока ещё не удовлетворяют требованиям, предъявляемым к результативности математического образования. Чаще всего, эти задачи относятся к алгоритмически разрешимым, не развивают у учеников вариативного мышления, не учат множеству навыков, столь необходимых для решения задач, как школьных, так и бытовых, производственных, научных и т. д.

Рассмотрим более детально, как обстоит дело с задачами, представленными в действующих учебниках математики.

Анализ школьных учебников математики показывает, что с 5-го по 11-й класс ученики решают более 7000 задач.

Если взглянуть на задачи, представленные в школьных учебниках математики, то все задачи, содержащиеся в них, внутри одной темы классифицированы по степени сложности и расположены, как правило, в порядке её возрастания.

Среди предлагаемых учащимся задач представлены задачи разных классификаций (по крайней мере, к этому стремятся авторы учебников): по их назначению — тренировочные и развивающие, по наличию алгоритма решения — стандартные и нестандартные, по характеру требования — доказательные, вычислительные и конструктивные. Есть и другие классификации, находящие то или иное отражение в школьных учебниках.