Методика изучения темы «Делимость натуральных чисел»

Делимость чисел в программе входит в тему «Натуральные числа». Основные вопросы делимости чисел:

• 1) Признаки делимости чисел;
• 2) Разложение чисел на простые множители;
• 3) Общие делители нескольких чисел;
• 4) Наименьшее кратное нескольких чисел.

Изучение делимости чисел имеет цель не только создать необходимую базу для изучения дробей, но и расширить знания учащихся о свойствах натуральных чисел, а кроме того, научить их рассматривать всякое натуральное число как произведение натуральных чисел.

Признаки делимости

В программу включены признаки делимости на 2; 5; 9 и 3. В основу изучения их положено следующее.

• 1) Признаком делимости одного числа на другое называется необходимое и достаточное условие делимости первого числа на второе.
• 2) Если одно из двух слагаемых делится на какое-нибудь число, то для того, чтобы вся сумма разделилась на это число, необходимо и достаточно, чтобы другое слагаемое делилось на то же число.
• 3) Чтобы произведение двух сомножителей делилось на данное число, достаточно, чтобы один из сомножителей делился на это число.

Первый урок о делимости чисел посвящается введению понятий: делитель числа, кратное число. Этот урок следует за повторением всех действий над целыми числами, и поэтому его полезно начать с вопроса: для всех ли пар целых чисел выполнимы все 4 арифметических действия? Предложить придумать примеры невыполнимости действий вычитания и деления. Показать, что признак невыполнимости вычитания прост; не производя же деления, иногда трудно установить, делится ли нацело одно число на другое. Затем перейти к решению задач, которые показывают цель изучения этого раздела. Такими задачами могут служить задачи на определение размеров прямоугольника по его площади и размеров прямоугольного параллелепипеда по его объему, например:

• 1. Под клумбу нужно отвести участок в виде прямоугольника, площадь которого равна 24 м². Найти длину и ширину его.
• 2. Найти длину, ширину и высоту прямоугольного ящика, объем которого равен 40 дм³ (если длина, ширина и высота выражаются целыми числами).

В результате решения этих задач ученики приходят к выводу, что необходимо уметь числа раскладывать на множители: число 24 на два множителя, 40 на три множителя, а для этого нужно знать, на какие числа делятся данные числа без остатка.

Полезно устно выполнить упражнения, решение которых упрощается путем применения разложения на множители, например 72*125. Рассуждения при решении можно записать так:

72*125=(8*9)*125 = (8*125)*9 = 9000.

Затем вводятся понятия «делитель числа», «число, кратное данного числа». Эти понятия закрепляются решением примеров.

Дано число 16. Назовите его делители, назовите несколько чисел, кратных 16. Назовите наименьший делитель данного числа, наименьшее кратное его, наибольший делитель, наибольшее кратное этого числа. Следующие уроки посвящаются изучению на частных примерах основным теорем делимости.

Примерный план урока на тему «Делимость суммы».

• 1. Устные упражнения на нахождение делителей данного числа, кратного данного числа.
• 2. Перед учащимися ставится задача: найти признаки, по которым можно узнать, не производя деления, делится ли одно число на другое.

Записывается тема урока.

Вывешиваются по очереди таблицы для наблюдений. Первый справа столбец закрыт. Его открывают после того, как ученики сделали вывод относительно делимости суммы.

Таблица 1.

Наблюдения учащихся за каждым слагаемым и суммой.

Самостоятельное придумывание примеров и запись примеров в тетрадях с объяснением.

Вывод, сделанный самостоятельно учащимися после проведенных наблюдений: если каждое слагаемое делится на одно и то же число, то и сумма разделится на это число.

Ученики записывают вывод в тетрадях.

Аналогичная работа проводится над таблицами (2,3).

Таблица 2.

Самостоятельный вывод: если одно из слагаемых не делится, а все прочие делятся на данное число, то сумма не разделится на это число.

Самостоятельное придумывание учащимися (после наблюдения) примеров на тот и другой случай.

Вывод (дают ученики): если ни одно из двух слагаемых не делится на данное число, то сумма иногда делится, а иногда не делится на то же число.

Задачи (решаются устно).

• 1. В класс, в котором 40 учеников, принесены для раздачи три пачки тетрадей: две по 50 тетрадей, третья — 60. Если ученикам из каждой пачки дать поровну, то можно ли еще разделить на 40 человек оставшиеся тетради?
• 2. В класс, в котором 40 учеников, принесены для раздачи три пачки карандашей: в одной — 45 карандашей, во второй — 54, а в третьей — 44. Если каждому ученику из каждой пачки дать поровну, то можно ли еще разделить на 40 человек оставшиеся карандаши?

Наблюдения над примерами:

• (8+7):5 — сумма остатков делится на 5 и сумма делится на 5.
• (8+8):5- сумма остатков не делится на 5 и сумма не делится на 5.

Вывод: если ни одно слагаемое не делится на данное число, то сумма разделится на это число в том случае, когда сумма остатков делится на данное число.

Домашнее задание. Придумать на каждый случай делимости суммы по одному примеру.

На следующем уроке можно рассмотреть с учениками следующие суммы:

• 1) 7 + 5 + 6;
• 2) 8 + 6 + 5;
• 3) 8 + 11 + 6.

Учащиеся путем наблюдений приходят к выводу, что если более чем одно из слагаемых не делится на данное число, то сумма может делиться на данное число, а может не делиться. Первая сумма делится на три, вторая не делится на пять, третья сумма делится на пять.

При повторении пройденного учениками еще раз предлагаются примеры сумм двух слагаемых. В результате формулируется признак делимости суммы на данное число, то их сумма делится на это число тогда и только тогда, когда другое слагаемое делится на это число. Этот признак используется при выводе частных признаков делимости на 2 и 5. Данное число разбивается на два слагаемых, из которых одно делится на данное число, таким образом делимость всего числа будет зависеть только от второго слагаемого. Признаки делимости лучше всего проходить в следующем порядке: на одном уроке признаки делимости на 2 и 5, на другом — на 9, на третьем — закрепление признака делимости на 9 и признак делимости на 3.

При изучении признаков делимости на 9 и на 3 рассматривается сначала делимость разрядных единиц на 9, потом разрядных чисел на 9.

При формулировке признаков делимости следует объяснить ученикам значение слов «те и только те» и требовать их употребления. Эти слова заменяют: «необходимо и достаточно».

Например, после того как учащиеся пришли к выводу, что если сумма цифр делится на 3, то и число делится на 3, полезно поставить вопрос, будет ли делиться на 3 число, сумма цифр которого не делится на 3. Отсюда можно перейти к краткой формулировке при помощи слов «те и только те».

Разложение чисел на простые множители.

Разложение чисел на простые множители — основной вопрос раздела «Делимость чисел». На первом уроке, посвященном этому вопросу, снова возвращаются к задачам определения размеров прямоугольника по его площади, размеров прямоугольного параллелепипеда по его объему. При решении этих задач ученики убеждаются, что существуют числа, который могут быть представлены только как произведение единицы на само число, и после этого вводится определение простого числа.

Для закрепления представлений о простых и составных числах и их распределении в натуральном ряду чисел полезно познакомить учащихся с составлением таблицы простых чисел при помощи так называемого «решете Эратосфена».

«Решетом Эратосфена» называется прием для составления простых чисел, который был найден греческим ученым Эратосфеном (276−193 гг. до н.э.). Учащиеся знакомятся сначала с механическим приемом составления таблицы простых чисел. В тетрадях чертят квадрат со стороной 5 см, разделенный на 100 клеток, в каждой клетке записывают натуральное число, начиная от 1 до 100, и учитель предлагает зачеркивать числа: сначала 1, потом каждое второе число после 2, каждое третье число после 3, каждое пятое число после 5 и каждое седьмое после 7.

После этого учитель предлагает объяснить, почему полученные числа простые. Учащиеся называют числа, вычеркнутые после 2.

4 = 2 + 2; 6 = 2 + 2 + 2; 8 = 2 + 2 + 2 + 2 и т. д. и убеждаются, что все эти числа кратные 2, вычеркнутые после 3: 6 = 3 + 3; 9 = 3 + 3 + 3 и т. д. Эти числа, кратные 3. Следующие группы чисел — кратные 5, кратные 7. Выясняется вопрос, почему не вычеркиваются числа, кратные 11. Так как самое большое число в таблице 100 при делении на 11 дает в частном 9, то кратные 11 имеют делитель меньше 9. Числа, кратные 11, уже вычеркнуты.

Обращается внимание, что единица не считается на простым, ни составным числом, так как она имеет только один делитель, простые же числа имеют два делителя и только два, составные — три и более.

Полезно рассказать учащимся, что число простых чисел неограниченно, нельзя назвать последнее простое число.

Чтобы, не пользуясь таблицей, установить, что данное число простое, необходимо попробовать делить его на все последовательные простые числа до тех пор, пока в частном на получится число, меньшее делителя, и только тогда можно сделать вывод, что данное число простое.

Следует познакомить учащихся с таблицей простых чисел и приучить их пользоваться этой таблицей. Большинство учеников обычно не представляют простого числа, которое больше двузначного числа. Они с трудом воспринимают, что числа 2143, 4373, 5639 — простые числа.

Далее перед учениками ставится задача разложения чисел на простые множители. Сначала следует представить число в виде произведения составных множителей, а затем уже получить разложение на простые множители. На нескольких примерах ученики наблюдают, что всякое составное число раскладывается только на один ряд простых множителей, независимо от способов разложения, например:

• 36=4*9=2*2*3*3
• 36=6*6=2*3*2*3=2*2*3*3

Полезно начать разложение с небольших чисел и составить таблицу разложения составных чисел от 4 до 20. Особо следует остановиться на разложении чисел, записанных единицей с нулями, на простые множители. Числа, оканчивающиеся нулями, удобно разлагать на множители, выделив сначала составной множитель, записанный единицей с нулями.

45 000=45*1000=5*3*3*2*2*2*5*5*5=2*2*2*3*3*5*5*5*5.

Запись разложения на множители с помощью вертикальной черты следует использовать только в тех случаях, когда промежуточное разложение на составные множители затруднительно. При записи разложения с помощью вертикальной черты учащиеся часто не представляют числа в виде произведения и производят разложение механически. Разложение на множители используется для нахождения делителей числа с целью подготовки к изучению вопросов: делители данного числа и кранные данного числа.

Следует рассмотреть решение примеров вида — найти частое кратчайшим путем:

• 1) (5*7):7;
• 2) (2*3*5):2 и т. д.

Затем показать, что произведение нескольких сомножителей можно представить в виде произведения любого его множителя на произведение всех остальных, например:

210=2*3*5*7=2*(3*5*7)=3*(2*5*7)=5*(2*3*7)=7*(2*3*5).

Составное число можно разложить на два множителя другим способом.

210=(2*3)*(5*7)=(2*5)*(3*7)=(2*7)*(3*5)=(2*3*5)*7=(2*3*7)*5.

Ученики приходят к выводу:

• 1) делитель составного числа может быть произведением двух, трех, четырех и т. д. его любых простых множителей;
• 2) кратное данного числа должно содержать все простые множители делителя.

Один из уроков следует посвятить введению понятия общего делителя нескольких чисел. Учащимся предлагается найти делители чисел и выписать общие делители. После рассмотрения ряда конкретных примеров они дают определение общего делителя. Учащиеся знакомятся с взаимно простыми числами. Им следует предложить указать среди общих делителей наибольший общий делитель.

Не рассматривая способа отыскания наибольшего общего делителя данных чисел, полезно решить задачи, показывающие практическое применение понятия общего делителя, например:

• 1. Длина прямоугольника 175 м, ширина 105 м. Чертежник хочет сделать план участка, приняв 1 см на чертеже равным такому целому числу метров, чтобы чертеж имел наименьшие размеры, выраженные в целых числах. Какой масштаб нужно взять?
• 2. Начертить диаграмму, изображающую в виде прямоугольников с равными основаниями следующие глубины:

Великого океана в среднем — 3500 м., Атлантического — 3780 м., Сев. Ледовитого — 4830 м., Средиземного моря — 1400 м.

Какой масштаб нужно взять, приняв 1 мм равным такому целому числу метров, чтобы чертеж имел наименьшие размеры, выраженные в целых числах?

Ученики для решения используют признаки делимости чисел. Рассмотрим примерную систему упражнений, подводящую учащихся к понятию наименьшего общего кратного двух или нескольких чисел и к способу его нахождения.

1. Даны два числа: 3 и 4. Записать числа, кратные каждого из них в отдельности.

Подчеркните общие кратные чисел 3 и 4. Можно ли еще назвать числа, которые будут общими кратными чисел 3 и 4? Назовите их. Можно ли найти наибольшее общее кратное? Назовите наименьшее общее кратное чисел 3 и 4.

• 2. Найдите также общие кратные для чисел 4 и 5, подчеркните и выделите среди них наименьшее.
• 3. То же для чисел 18 и 15.
• 4. Какое число называется наименьшим общим кратным данных чисел?

Решить 1−2 задачи, аналогичные данной: «Требуется приготовить ящик для укладки коробок шириной в 9 см и длиной в 21 см. Какова должна быть наименьшая величина стороны квадратного дна, чтобы коробки поместились в ящике вплотную? Сделать чертеж, на котором длина клеточки тетради соответствует 3 см в действительности».

После выполнения упражнений учащимся предлагается разложить на простые множители данные числа, найти их НОК и сравнить состав сомножителей полученных произведений, например: 9 = 3*3; 21 = 3*7; 63 = 3*3*7. Ученики замечают, что в НОК входят все множители одного числа и недостающие множители из разложения второго числа. Полученные наблюдения подводят учащихся к формулировке правила нахождения НОК.