Асимптотическое решение дискретных сингулярно возмущенных задач оптимального управления

За последние тридцать лет усилился интерес к сингулярно возмущенным задачам оптимального управления (см., например, обзоры Kokotovic P.V., O’Malley R.E., Sannuti Jr., P. [29], Васильева А. Б., Дмитриев М. Г. [5], Naidu D.S. [33], Дмитриев М. Г., Курина Г. А. [8] и библиографический указатель [14], составленный Куриной Г. А., Долгополовой Е.Ю.). Указанные обзоры содержат ссылки на работы, в которых методы сингулярных возмущений использовались для решения практических задач. Сингулярные возмущения связаны как с постановкой задач (малые постоянные времени, моменты инерции, массы, большие коэффициенты усиления и т. п.), так и с методами исследования задач управления (параметры штрафа, регуляризации, аппроксимации импульсов и др.). Из условий оптимальности управления для сингулярно возмущенных задач появляются «жесткие» краевые задачи, численное решение которых вызывает серьезные трудности (большое время счета, неизбежное накопление вычислительных ошибок и др.). В связи с этим возрастает роль асимптотических методов, так как их использование часто позволяет значительно упростить исходную математическую модель, например, пренебречь нелинейностями, произвести декомпозицию исходной задачи на задачи меньшей размерности.

Большинство работ по этой тематике посвящено изучению непрерывных систем, в то время как многие задачи экономики, экологии, социологии, биологии описываются дискретными моделями. Так, например, в монографии Gajic Z., Lim М. [28] исследованы сингулярно возмущенные дискретные модели самолетов F-8 из [27] и F-15 из [27], [36]. В [28] также представлен метод исследования дискретной сингулярно возмущенной задачи, возникающей при моделировании паровой турбины из [31]. Кроме того, дискретные задачи возникают при численной реализации непрерывных задач оптимального управления. Один из возможных способов перехода от дифференциальных уравнений к разностным уравнениям представлен в справочнике по теории автоматического управления под редакцией Красовского А. А. [22]. Общая теория дискретных задач оптимального управления изложена, например, в монографиях Пропоя А. И. [20] и Болтянского В. Г. [3]. С начала 1980;х годов объектом интенсивного изучения становятся дискретные сингулярно возмущенные задачи оптимального управления. Различным классам таких задач посвящены монографии Naidu D.S. [32], Naidu D.S. и Rao А.К. [34], Gajic Z. и Lim M. [28]. Одной из особенностей дискретных задач оптимального управления является их большая размерность, поэтому использование асимптотических методов для их исследования особенно актуально.

В подавляющем большинстве работ, посвященных сингулярно возмущенным задачам оптимального управления, асимптотический анализ решений задач оптимального управления производится на основе асимптотики решения краевых задач, вытекающих из условий оптимальности управления. Чаще всего при этом используется метод пограничных функций Васильевой-Вишика-Люстерника (см., например, обзоры Kokotovic P.V., O’Malley R.E. Jr., Sannuti P. [29], Васильева А. Б., Дмитриев М. Г. [5], Saksena V.R., O’Reilly J., Kokotovic P.V. [35], Курина Г. A. [9], Naidu D.S. [33], Дмитриев M. Г., Курина Г. A. [8]). Широкое распространение получил также способ разделения движений при помощи метода интегральных многообразий (см., например, работу Соболева В. А. [21]).

В отличие от использования асимптотики решения краевой задачи, вытекающей из условий оптимальности управления для исходной задачи, второй путь построения асимптотики решения задач с малым параметром, в литературе часто называемый прямой схемой, заключается в непосредственной подстановке в условия задачи постулируемого асимптотического разложения решения и определении серии задач для нахождения коэффициентов асимптотики. При таком подходе учитывается вариационная природа исходной задачи. Существенным преимуществом является также возможность доказать невозрастание значений минимизируемого функционала при использовании нового приближения оптимального управления.

Для непрерывных задач второй путь построения асимптотики использовался для построения первого приближения в задаче управления нелинейными слабоуправляемыми системами при наличии ограничений на управление типа замкнутых неравенств в работах Черноусько Ф. Л. [23], Черноусько Ф. Л., Акуленко Л. Д., Соколова Б. Н. [24], Любушина А. А. [16], Первозванского А. А., Гайцгори В. Г. [19] и без ограничений на управление в монографии Моисеева Н. Н. [17]. Высшие приближения в последней задаче были построены Куриной Г. А. [10]. Заметим, что управление малыми воздействиями встречается в задачах управления космическими аппаратами с малой тягой (электроядерные двигатели, солнечный парус и т. д.), в разнообразных задачах коррекции и в задачах экономики. Важные примеры задач управления малыми воздействиями приведены в [16, 23, 24].

Существенное развитие прямая схема получила в работах Белокопытова С. В., Дмитриева М. Г. [1], [2], [25], посвященных исследованию сингулярно возмущенных непрерывных задач оптимального управления в случае отсутствия ограничений на управление вида т.

Js (u) = G (x (T), y (T)) + F (x, y, uJ)dt min, о dxl dt = f (x, y, u, t), x (0) = x°, sdyldt = g (x, y, u, t), y (0) = /> x = x{t)eRn, y = y{t)eRm, u = u{t)eRr.

Было построено асимптотическое решение погранслойного типа любого порядка точности, доказаны оценки близости асимптотического решения к точному для управления, траектории и функционала, а также установлено невозрастание значений минимизируемого функционала при использовании нового приближения оптимального управления.

При помощи прямой схемы в работе Куриной Г. А., Щекунских С. С. [15] (см. также [30]) построено асимптотическое разложение решения погранслойного типа для непрерывной периодической задачи оптимального управления с матричным сингулярным возмущением в уравнении состояния вида т.

J s (и) = jF (x, u, t, s) dt min i и.

A + sB) dx/dt = f (x, u, t, s), х (0) = х (Г), где функции F, f и управление и = u (t) являются Т-периодическими по t функциями, оператор, А вырожден и В — жордановы цепочки оператора, А имеют одинаковую длину.

Для построения асимптотического разложения решения дискретных задач оптимального управления, также как и в непрерывном случае, используются два подхода: анализ решения на основе построения асимптотики решения краевых задач, вытекающих из условий оптимальности управления, и прямая схема.

Первый подход использовался, например, в монографиях Naidu D.S. и Rao А.К. [34], Naidu D.S. [32] для дискретной сингулярно возмущенной линейно-квадратичной задачи вида.

1 1 N~] Js (u) = -z (N)Fz (N) + - J] {zk)Wz (k) + u{k)Ru{k)) -> min,.

2 2 k=Q и.

Гх (к +)Л (А sA2^ y (k + l) J x (k) У (к).

B2 J u{k), x (0) = x°, y (0) = y°, i i i z (к) = (x (k), sy (к)) (здесь и далее штрих означает транспонирование).

Прямая схема применялась в работах Гаипова М. А. [6], Дмитриева М. Г., Белокопытова С. В., Гаипова М. А. [7] при построении асимптотики погранслойного типа для решения дискретной нелинейной задачи с малым шагом вида n;

Je (u) = G (x (T)) + s^Р (х (ке), и (к8), к?) -" min, с=0 м = f{x (tu{tt), x (0) = x°, где t g Te = {f: t = ks, k = Q, N-1}, T = Ns.

Куриной Г. А. при помощи прямой схемы в [13] исследовался дискретный аналог задачи оптимального управления для слабоуправляемых систем из [17].

Целью данной диссертационной работы является построение асимптотических разложений решений дискретных задач оптимального управления следующих трех типов:

— нелинейная дискретная сингулярно возмущенная периодическая задача оптимального управления;

— нелинейная дискретная сингулярно возмущенная задача оптимального управления в случае условия периодичности на одну из компонент переменной состояния и фиксированного левого конца для другой компоненты переменной состояния;

— дискретная задача оптимального управления для одного класса слабоуправляемых систем.

Прямая схема является основным методом в данной диссертационной работе. В работе также используются методы общей теории оптимального управления и классические методы теории дифференциального исчисления функций многих переменных.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 46 наименований.

1. Белокопытов С. В. Прямой метод решения задач оптимального управления с быстрыми и медленными движениями / С. В. Белокопытов, М. Г. Дмитриев // Известия АН СССР. Техн. кибернет. -1985. — № 3. — С.147−152.

2. Белокопытов С. В. Решение классических задач оптимального управления с погранслоем / С. В. Белокопытов, М. Г. Дмитриев // Автоматика и телемеханика. 1989. — № 7. — С. 71−82.

3. Болтянский В. Г. Оптимальное управление дискретными системами / В. Г. Болтянский. -М.: Наука, 1973. -446 с.

4. Васильева А. Б. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений / А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов. М.: Высш. шк., 1990. -208 с.

5. Васильева А. Б. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления / А. Б. Васильева, М. Г. Дмитриев // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Математический анализ. 1982. — Т. 20. — С. 3−78.

6. Гаипов М. А. Асимптотика решения нелинейной дискретной задачи оптимального управления с малым шагом без ограничений на управление (формализм)1 / М. А. Гаипов // Известия АН ТССР. Сер. ФТХ и ГН. 1990. — № 1. с. 9−16.

7. Дмитриев М. Г. Асимптотика решения нелинейной дискретной задачи оптимального управления с малым шагом без ограничений на управление (обоснование) И / М. Г. Дмитриев, С. В. Белокопытов, М. А. Гаипов // Изв. АН ТССР.Сер. ФТХ и ГН. 1990. — № 2. — С. 10−18.

8. Дмитриев М. Г. Сингулярные возмущения в задачах управления / М. Г. Дмитриев, Г. А. Курина // Автоматика и телемеханика. 2006. — № 1. -С. 3−51.

9. Курина Г. А. Сингулярные возмущения задач управления с уравнением состояния, не разрешенным относительно производной. Обзор / Г. А. Курина // Известия РАН. Техн. кибернет. 1992. — № 4. — С. 20−48.

10. Курина Г. А. Высшие приближения метода малого параметра для слабоуправляемых систем / Г. А. Курина // Доклады РАН. 1995. — Т. 343, № 1. С. 28−32.

11. Курина Г. А. Прямая схема построения асимптотики решения задач со слабым управлением / Г. А. Курина // Известия РАН. Теория и системы управления. 1995. — № 6. — С. 162−167.

12. Курина Г. А. Асимптотика решения задач оптимального управления для дискретных слабоуправляемых систем / Г. А. Курина // Прикладная математика и механика 2002. — Т. 66, вып. 2. — С. 214−227.

13. Курина Г. А. Сингулярные возмущения в задачах управления. Библиограф, указатель (1982;2002). / Г. А. Курина, Е. Ю. Долгополова (составители). Воронеж: издательство ВГЛТА, 2004.

14. Курина Г. А. Асимптотическое решение нелинейной периодической задачи оптимального управления с матрично сингулярно возмущенным уравнением состояния / Г. А. Курина, С. С. Щекунских // Дифференциальные уравнения. -2005. Т. 41, № 10. — С. 1332−1344.

15. Любушин А. А. Сходимость метода малого параметра для слабоуправляемых оптимальных систем / А. А. Любушин // Прикладная математика и механика. 1978. — Т. 42, вып. 3. — С. 569−573.

16. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. / Н. Н. Моисеев. -М.: Наука, 1981.-400 с.

17. Моисеев Н. Н. Методы оптимизации / Н. Н. Моисеев, Ю. П. Иванилов, Е. М. Столярова. М.: Наука, 1978. — 352 с.

18. Первозванский А. А. Декомпозиция, агрегирование и приближеннаяоптимизация / А. А. Первозванский, В. Г. Гайцгори. М.: Наука, 1979. -344 с.

19. Пропой А. И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов / А. И. Пропой. М.: Наука, 1973. — 255 с.

20. Соболев В. А. Сингулярные возмущения в линейно-квадратичной задаче оптимального управления / В. А. Соболев // Автоматика и телемеханика. 1991. -№ 2. — С. 53−64.

21. Справочник по теории автоматического управления / под ред. А. А. Красовского. М.: Наука, 1987. 712 с.

22. Черноусько Ф. Л. Некоторые задачи оптимального управления с малым параметром / Ф. Л. Черноусько // Прикладная математика и механика. 1968. — Т. 32, вып. 1. — С. 15−26.

23. Черноусько Ф. Л. Управления колебаниями. / Ф. Л. Черноусько, Л. Д. Акуленко, Б. Н. Соколов. М.: Наука, 1980. — 384 с.

24. Belokopytov S.V. Direct scheme in optimal control problems with fast and slow motions / S.V. Belokopytov, M.G. Dmitriev // Systems and Control Letters. 1986. — V. 8, N. 2. — P. 129−135.

25. Brumbaugh R. An aircraft model for the AIAA controls design challenge / R. Brumbaugh // AIAA Journal of Guidance, Control and Dynamics. 1994. -V. 17.-P. 747−752.

26. Elliott J. NASA’s advanced control law program for the F-8 digital fly-by-wire aircraft / J. Elliott // IEEE Transactions on Automatic Control. 1977. AC-22. P. 753−757.

27. Gajic Z. Optimal control of singularly perturbed linear systems and applications. High-Accuracy techniques. / Z. Gajic, M. Lim. Marcel Dekker, 2000. Control Engineering series. — 309 p.

28. Kokotovic P.V. Singular perturbations and order reduction in control theoryan overview. / P.V. Kokotovic, R.E. O’Malley, Jr., P. Sannuti // Automatica. 1976. — V. 12, № 3,-P. 123−132.

29. Mahmoud M. Order reduction and control of discrete systems / M. Mahmoud // IEE Proceedings, Part D. 1982. — V. 129. — P. 129−135.

30. Naidu D.S. Singular perturbation methodology in control systems / D.S. Naidu. IEE control engineering series, 34. 1988. — 287 p.

31. Naidu D.S. Singular perturbations and time scales in control theory and applications: An overview / D.S. Naidu. // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems Series B: Applications & Algorithms. 2002. — V. 9. -P. 233−278.

32. Naidu D.S. Singular perturbation analysis of discrete control systems / D.S. Naidu, A.K. Rao. // Lect. Notes Math, 1985. V. 1154. — 195 p.

33. Saksena V.R. Singular perturbations and time-scale methods in control theory: survey 1976;1983 / V.R. Saksena, J. O’Reilly, P.V.Kokotovic // Automatica.- 1984, — V. 20, № 3.-P. 273−293.

34. Schomig E. Mixed Я2/Я03 control of multimodel plants. / E. Schoming, M. Sznaier and U. Ly. // AIAA Journal of Guidance, Control and Dynamics. -1995.-V. 18.-P. 525−531.

35. Некрасова H.B. Асимптотика решения одной дискретной задачи оптимального управления / Н. В. Некрасова // Труды молодых ученых ВГУ. Воронеж, 2001.-Вып. 2.-С. 5−11.