Спектр и рассеяние для оператора Шредингера в магнитном поле

Результаты, полученные в области спектральной теории дифференциальных операторов, находят многочисленные применения при исследовании задач математической физики. В частности, в задачах квантовой механики часто рассматриваются операторы Шредингера, используемые в теории рассеяния. При этом одним из основных является вопрос о свойствах решения задачи теории рассеяния в зависимости от спектрального параметра, а также — задача разложения по спектру этого оператора.

Известно, что при а{х) = 0, т. е. отсутствии магнитного потенциала, уравнением Лигшмана-Швингера называется интегральное уравнение р (х, и,) + ±. I = (0.1) л3 где Л — вещественный параметр, и? Б2. Первые результаты о разложениях по собственным функциям оператора Шредингера с электрическим потенциалом получил А. Я. Повзнер в работе [11], связь этих разложений с теорией рассеяния установлена им же в работе [12]. В дальнейшем этой теме было посвящено большое количество работ Т. Икэбе [23], Л.Д. Фад-деева [16], Д. М. Эйдуса [18], С. Куроды [24] и других авторов з с достаточно полной библиографией можно ознакомиться в [2], [9],[13]-[15],[19]-[22]). Итоги этих исследований подведены в книге [14]. В частности, в этой книге изучается условие Роль-ника: х — у~2У{х)У (у)? Ь (Ш6), V е ЦШ3). (0.2) Введем однородное уравнение + *-(А)/ = 0, (0.3) где К (А) — интегральный оператор с ядром егХх-у.

К{Х'У'А) = уравнения (0.1). Изучение особенностей по параметру, А решения ср (х. А, о-) уравнения (0.1) сводится к исследованию множества? тех А, при которых однородное уравнение (0.3) имеет нетривиальное решение, а также асимптотическое поведение самих решений /(ж). В теореме XI.41 из работы [14] было доказано, что в классе вещественных потенциалов (0.2) множество? ограничено, замкнуто и имеет лебегову меру нуль. Далее, в работе [10] (теорема 2.4, с.51) было доказано, что для потенциалов Рольника (0.2) множество ?, на самом деле, конечно и если, А? ? {0}, то А2 — собственное значение оператора Шре-дингера конечной кратности. Кроме того, в работе [10] (см. теорему 2.5, с.53) для данного класса потенциалов установлено, что при каждом S > 0 для Л Е М имеет место неравенство sup / V (x)\(p (x, A, co)2dx < оо,.

Л|><5, А££ J.

R3 где uj G S2.

В настоящей диссертации мы изучаем в L2(R3) спектр и задачу рассеяния для оператора Шредингера з fc=i где рк = i~ld/dxkl а (х) = (ai (®), а2(а-), а3(ж)) и V (x) — соответственно магнитный и электрический потенциалы, причем.

А- = 1,3) и V{x) — вещественные функции, удовлетворяющие следующим условиям: г) |Ф (х)| G L{R3), а (х) е L (R3), где Ф (х) = a2(x) + V (-ж) + з idiv a (x), а2(х) = ^ к=i гг) для всех o > 0 функции fs (x) = [ |Ф («)||х- - у-Чу, х-у<5.

9s{x)= j а (у)\х-y~2dy x-y.

Нт вир х — у~2{Иу) + ЩуШу = о. х-у<5.

Заметим здесь, что условие на /¿-(ж) означает, что функция Ф (х) принадлежит классу Като (см. [17], с. 16)..

Результаты работы могут быть использованы в теории дифференциальных уравнений и квантовой механике..

Диссертация состоит из введения, двух глав (§ 1 — § 3 и § 4 — § 6 соответственно) и списка литературы. Нумерация теорем и лемм единая и сплошная в каждом параграфе. Диссертация изложена на 74 страницах.

Список литературы

насчитывает 37 наименований, из которых 5 на иностранных языках..

1. Вере Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. — М.: Мир, 1966..

2. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Из-во «Наукова думка». Киев, 1965..

3. Губайдуллин М. Б., Муртазин Х. Х. // ТМФ. 2002. Т.126. № 3. с.443−454.

4. Двайт Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. 181 С..

5. Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Спектральные операторы. М.: Мир, 1974..

6. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. Г «1.

7. Иоргенс К., Вайдман И. Спектральные свойства гамиль-тоновых операторов. М.: Мир, 1976..

8. Като Т. Теория возмущения линейных операторов. Из-во Мир. Москва, 1972..

9. Костюченко А. Г., Саргсян И. С. Распределение собственных значений. М.: Наука, 1979..

10. Муртазин Х. Х., Садовничий В. А. Спектральный анализ многочастичного оператора Шредингера. Изд-во МГУ, 1988,229 С..

11. Повзнер А. Я. О разложениях произвольных функций по собственным функциям оператора — А +с.- Матем. сб., 1957, Т.32, М, С. 109−156..

12. Повзнер А. Я. О разложениях по собственным функциям, являющихс51 решениями задачи рассеяния. ДАН СССР, 1955, Т.104, С. 360−363..

13. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.2. Гармонический анализ. Самосопряженность. М.: Мир, 1978..

14. Рид М, Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 3 Теория рассеяния. М., 1982. 443 с.15| Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982..

15. Фадеев Л. Д. О разложении произвольных функций по собственным функциям оператора Шредингера. Вестник ЛГУ, 1957, т. 7. С. 164−172..

16. Цикон X., Фрезе Р., Кирхи В., Саймон Б. Операторы Шредингера с приложениями в квантовой механике и глобальной геометрии. М., 1990, 406 с..

17. Эйдус Д. М. Принцип предельный амплитуды. УМН, 1969, т.24, С. 91−156..

18. Шноль И. Э. О поведении собственных функций уравнения Шредингера. Матем. сб. 1957. Т.42(84). №. С. 273−276..

19. Agmon S. Spectral properties of Schrodinger operators. -Ppoc. Int. Cong. Math., v.2, p. 679−684, Paris: Gauthier-Villars, 1971..

20. Agmon S. Spectral properties of Schrodinger operators and scattering theory. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa II, 1975, v. 2, p. 151−218..

21. Froese R., et al. L2 exponential lower bounds to solutions of the N-body Schrodinger equation. — Commun. Math. Phys., 265−286 (1982)..

22. Ikebe T. Eigenfunction expansions associated with .the Schrodinger operators and their applications to scattering theory.- Arch. Rat. Math. Anal., 1960, v.5, p.1−34..

23. Kuroda S. Scattering theory for differential operators, I, II.- J. Math. Soc. Jaran, 1973, v.25, p. 75−104- 222−234.Публикации автора.

24. Галимов A.H. Особенности резольвенты оператора Шредингера в трехмерном магнитном поле. // Международная Уфимская зимняя школа-конференция по математике и физике для студентов, аспирантов и молодых ученых: Тезисыдокладов. Уфа: РИО БашГУ, 2005, С. 15−16..

25. Муртазин Х. Х., Галимов А. Н. Спектр и рассеяние для •операторов Шредингера с неограниченными коэффициентами. // ДАН, 2006, т. 407, № 3, С. 313−315..

26. Галимов А. Н. Об отсутствие ненулевых вещественных особенностей решения задачи теории рассеяния. // Дополнительный сборник. Материалы ХЫУ международной научной конференции «Студент и научно-технический прогресс». Математика. Новосибирск, 2006. С. 10−11..

27. Галимов А. Н. О задаче рассеяния в магнитном поле. // VI региональная школа конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физики и химии. Тезисы докладов. Уфа, БашГУ, 2006, С. 16−17..

28. Галимов А. Н. Задача рассеяния для оператора Шредингера в магнитном поле. // VI региональная школа конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике, физики и химии. Сборник трудов. Том II. Математика. Уфа: РИЦ БашГУ, 2006, С. 15−20..

29. Галимов А. Н. Задача рассеяния для оператора Шре-дингера. // Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского. Том 34. Лобачевские чтения 2006. Казань, 2006, С. 45−47..

30. Галимов А. Н. О конечности точечного спектра возмущенного бигармонического оператора. Материалы ХЬУ международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Математика. Новосибирск, 2007. С. 34−35..

31. Галимов А. Н. О полноте волновых операторов для оператора Шредингера. Материалы докладов XIV Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов». Том. II. Москва, 2007, С. 86..

32. Галимов А. Н. Муртазин Х.Х. О полноте волновых операторов для оператора Шредингера. Вестник Башкирского университета. Научный журнал 2007, т. 12, № 2, С. 3−4..

33. Галимов А. Н. Об особенностях решения задачи рассеяния в магнитном поле. Уфимская международная математическая конференция поев, памяти А. Ф. Леонтьева. Сборник материалов. Т.1. ИМ с ВЦ УНЦ РАН. Уфа. 2007. С. 60−61..

34. Муртазин Х. Х., Галимов А. Н. Спектр и рассеяние для оператора Шредингера в магнитном поле. // Мат. заметки, 2008, т.83, № 3, С. 402−416..