Построение правил классификации

В случае порядковой классификации многокритериальных альтернатив процедуру агрегирования показателей можно представить в виде иерархической структуры, состоящей из последовательно выполняемых однотипных блоков классификации. Блоки содержательно выделяются ЛПР в зависимости от специфики решаемой задачи.

Каждый блок классификации i-го уровня иерархии включает некоторый набор признаков и один составной критерий. В качестве объектов классификации выступают наборы градаций оценок на шкалах признаков. Классами решений i-го уровня служат градации оценок на шкале составного критерия. В блоке классификации (i+1)-го уровня иерархии составные критерии i-го уровня считаются признаками, множество градаций оценок которых представляет собой новые объекты классификации в сокращенном признаковом пространстве, а классами решений будут теперь градации оценок на шкале составного критерия (i+1)-го уровня.

Процедура повторяется до тех пор, пока не останется единственный составной критерий верхнего уровня, шкала оценок которого образует искомые упорядоченные классы решений C1,…, Cq. Тем самым устанавливается соответствие между классами решений C1,…, Cq и совокупностью исходных показателей — множеством X1… Xm всех возможных комбинаций градаций оценок на шкалах критериев Xi={xi1,…, xigi}, i=1,…, m критериев K1,…, Km и находятся границы классов что позволяет легко построить классификацию реальных альтернатив A1,…, Ap, оцененных по многим критериям.

Рассмотрим построение правил классификации на модельном примере (рис. 1). Исходное множество альтернатив описывается восемью базовыми показателями K1,…, K8, имеющими шкалы Xi с двумя или тремя вербальными порядковыми оценками 0,1,2, где 0 обозначает лучшую оценку, 1 — среднюю (или худшую), 2 — худшую. Требуется разбить множество альтернатив на пять упорядоченных классов C1,…, C5, где C1… C5.

Например, rритерий K1 характеризует «Степень выполнения заявленных задач», которая может оцениваться, как 0 — задачи выполнены полностью, 1 — задачи выполнены частично, 2 — задачи не выполнены; критерий K3 оценивает «Достижение поставленной цели в установленные сроки» как 0 — реальное, 1 — нереальное. Критерием верхнего уровня является «Результативность», градации оценок по шкале которого (высокая, хорошая, средняя, низкая, неудовлетворительная) определяют 5 упорядоченных классов решений C1,…, C5.

Критерии K1,…, K8 имеют следующие шкалы: X1={0,1,2}; X2={0,1,2}; X3={0,1}; X4={0,1,2}; X5={0,1}; X6={0,1}; X7={0,1}; X8={0,1,2}. Таким образом, размерность исходного признакового пространства равна 1296. Непосредственная классификация исходного множества комбинаций оценок требует существенных трудозатрат ЛПР.

Допустим, что ЛПР решил агрегировать исходные признаки K1, K2, K3 в составной критерий AK1; признаки K5, K6, K7 — соответственно в составной критерий AK2 и признаки K4, K8 — в составной критерий AK3. Составные критерии AK1, AK2, AK3 имеют порядковые шкалы с тремя градациями: Y1={0,1,2}; Y2={0,1,2}; Y3={0,1,2}, где значения 0,1,2 являются вербальными оценками, определяемыми содержанием соответствующих составных критериев, и выступают как классы решений первого уровня.

Для формирования шкал составных критериев ЛПР воспользовался методом ОРКЛАСС. В результате опроса ЛПР для шкалы Y1 получены следующие градации оценок (классы решений с границами): y11=0 — класс 0 (верхняя граница: 000; нижняя граница: 100,010, 001); y12=1 — класс 1 (верхняя граница: 200,110,020,101,011; нижняя граница: 210,120,201,111, 021); y13=2 — класс 2 (верхняя граница: 220,211,121; нижняя граница: 221).

Для шкал Y2 и Y3 составных критериев AK2 и AK3 получены такие градации оценок:

y21=0 — класс 0 (верхняя граница: 000; нижняя граница: 001); y22=1 — класс 1 (верхняя граница: 100,010; нижняя граница: 101,011); y23=2 — класс 2 (верхняя граница: 110; нижняя граница: 111);

y31=0 — класс 0 (верхняя граница: 00; нижняя граница: 00); y32=1 — класс 1 (верхняя граница: 10,01; нижняя граница: 20,11,02); y33=2 — класс 2 (верхняя граница: 21,12; нижняя граница: 22).

Рассмотрим теперь наборы всех оценок по составным критериям как объекты классификации следующего второго уровня, где классами решений C1,…, C5 являются градации оценок шкалы Z={z1,z2,z3,z4,z5} составного критерия верхнего уровня иерархии. Аналогичным образом, агрегируя показатели AK1, AK2, AK3, получим для шкалы Z такие оценки:

z1 — класс C1 (верхняя граница: 000; нижняя граница: 000); z2 — класс C2 (верхняя граница: 100,010,001; нижняя граница: 110,101); z3 — класс C3 (верхняя граница: 200,020,011,002; нижняя граница: 211,121,202,112,022); z4 — класс C4 (верхняя граница: 220,212,122; нижняя граница: 221,212,122); z5 — класс C5 (верхняя граница: 222; нижняя граница: 222).

Таким образом, реальные альтернативы, имеющие оценки по исходным критериям, непосредственно относятся при классификации к сформированным классам решений. Отметим что для построения конечных классов решений C1,…, C5 потребовалось получить от ЛПР ответы на следующие числа вопросов: при формировании шкал Y1, Y2, Y3 составных критериев AK1, AK2, AK3 — соответственно на 16, 6 и 7 вопросов, при формировании шкалы Z агрегированного критерия — на 22 вопроса. Это существенно меньше, чем при использовании других методов многокритериальной порядковой классификации.

Используем теперь для конструирования порядковой шкалы составного критерия метод отсекающих гиперплоскостей. С геометрической точки зрения данная процедура состоит в «нарезке» многомерного параллелепипеда (прямоугольника) на группы наборов исходных признаков в зависимости от числа признаков, образующих составной критерий.

Возможные градации оценок для шкалы критерия AK1 представлены на рис. 2. К классу 0 (оценка y11=0) относится следующая комбинация оценок: (000),(001),(010),(100), к классу 2 (оценка y13=2) — комбинация оценок (121),(211),(221),(220), а к классу 1 (оценка y12=1) — все остальные комбинации оценок (011),(021),(101),(111),(201),(110),(200),(020),(210),(120).

Рис. 2. Схема формирования шкалы оценок для составного критерия AK1

Возможные градации оценок для шкалы критерия AK2 представлены на рис. 3. Класс 0 (y21=0) образует комбинация всех лучших оценок (000), класс 2 (y23=2) — комбинация всех худших оценок (111) и класс 1 (y22=1) -все остальные комбинации оценок (001),(011),(101),(100),(010),(110).

Рис. 3. Схема формирования шкалы оценок для составного критерия AK2

Возможные градации оценок для шкалы критерия AK3 представлены на рис. 4. Класс 0 (y31=0) составляют все лучшие оценки (00); класс 1 (y32=1) — комбинации оценок (01),(10),(02),(11),(20); класс 2 (y33=2) -комбинации оценок (12),(21),(22).

Рис. 4. Схема формирования шкалы оценок для составного критерия AK3

Аналогичным образом, агрегируя показатели AK1, AK2, AK3, имеем (см. рис. 5): класс C1 (z1) состоит из всех лучших оценок (000); класс C2 (z2) — из комбинаций оценок (100),(010),(001),(002),(101),(011),(200),(110),(020); класс C3 (z3) — из комбинаций оценок (102),(012),(201),(111),(021),(210), (120); класс C4 (z4) — из комбинаций оценок (202),(112),(022),(211),(121), (220),(212),(122),(221); класс C5 (z5) — из всех худших оценок (222).