Одно-кубитовые преобразования, основанные на последовательности операторов рождения и перемещения

В предыдущем разделе 2.3 была рассмотрена возможность построения преобразования Адамара для базисных сжатых когерентных состояний света с отличными друг от друга амплитудами перемещения, основанная на извлечении некоторого количества фотонов. Подход с фотон извлеченными состояниями является более практичным, так как требует минимальное количество ресурсов для реализации. Тем не менее, рассмотрим другой возможный способ генерации четной и не четной СКС (2.2.37) и СПСКС (2.3.41), основанный на использовании операторов перемещения (2.2.2) и оператора рождения фотонов .

Данный раздел основывается на материалах, опубликованных в работе [68]. Данный раздел можно рассматривать как частный случай более мощного метода анализа, который может быть использован для построения произвольного состояния света [122]. Также данная оптическая схема может быть приспособлена для построения одностороннего аналога преобразования Адамара, когда входные базисные состояния преобразуются в суперпозиции. Метод анализа также основывается на теореме о разложении, подробно рассмотренной в разделе 2.2. В рассматриваемом методе используется последовательное чередование операторов, когда выходное состояние генерируется только при условии, если успешно друг за другом наблюдаются некоторые события (клики) при измерении света в дополнительных модах установки. Данный метод является вероятностным.

Рассмотрим возможность реализации преобразования Адамара для базисных когерентных состояний с помощью оптической схемы, представленной на Рис. 2.17 (а, б). Когерентные состояния.

(2.4.1).

(2.4.2).

с амплитудами и выбираются в качестве базисных. В общем случае, выполняется условие для когерентных состояний. Стоит отметить, что такие же входные базисные состояния используются при выполнении одно-кубитных преобразований методами нелинейной оптики (2.3.1). Дополнительный нижний индекс используется для когерентных состояний (2.4.1, 2.4.2) как и в случае рассмотрения генерации СКС состояний методами нелинейной оптики (2.3.1). Как уже отмечалось, входные базисные состояния являются асимптотически ортогональными (2.3.2) в случае, когда абсолютная разница амплитуд стремится к бесконечности.

Перемещенные сжатые когерентные состояния (2.3.38, 2.3.39) используются в качестве выходных. Рассматривается реализация одностороннего аналога преобразования Адамара, математический вид которого представлен формулами (2.3.9, 2.3.10). Амплитуда перемещения и параметр сжатия выбираются идентичными для четной и не четной СПСКС, Тем не менее, можно рассмотреть более общий.

преобразований.

(2.4.3).

(2.4.4).

с выходными базисными состояниями.

(2.4.5).

(2.4.6).

где в общем случае .

Рисунок 2.17 (а, б) Схематическое изображение оптической схемы, которая используется (а) для генерации четной и не четной СПСКС посредством чередования операторов рождений и перемещения. Когерентные состояния с амплитудами используются как входные. Оптическая схема (б) приспособлена для выполнения прямого действия преобразования Адамара. Когерентные состояния и используются в качестве входных. Сначала оператор перемещения применяется. Выходные четная и не четная СКС сдвинутые на некоторое значение относительно друг друга генерируются на выходе.

В общем случае оптическая схема на Рис. 2.17(а) включает в себя одно-фотонных операторов рождения и операторов перемещения (2.2.2). Операторы рождения и перемещения чередуются друг за другом. В работе [122] было доказано, что произвольное суперпозиционное поле с ограниченным количеством членов может быть сгенерировано посредством чередующихся операторов перемещения и рождения. Естественно допустить, что данный метод применим к генерации усеченной четной (2.2.41) и не четной СКС (2.2.49) функции с соответствующими волновыми амплитудами (2.2.42−2.2.48) и (2.2.50−2.2.56).

Следуя работе [68], рассмотрим возможность сгенерировать состояния, которые аппроксимируют четную и не четную СПСКС с высокой точностью. Выше уже отмечалось, что оператор рождения может быть реализован с помощью параметрического конвертора в случае регистрации одного фотона в вспомогательной (не сигнальной) моде.

Рассмотрим действие одного оператора рождения на входные базисные состояния.

(2.4.7).

где.

(2.4.8).

при условии, что.

. (2.4.9).

Рассмотрим случай. Два оператора рождения с одним промежуточным оператором перемещения с амплитудой сдвига используются как показано на рисунке 2.17(а).

(2.4.10).

где нормировочная функция имеет вид.

. (2.4.11).

Волновые амплитуды могут быть представлены как.

(2.4.12).

(2.4.13).

и —- некоторая общая фаза.

Таким образом, состояния (2.4.7) и (2.4.10) —- это или перемещенное на величину состояние.

(2.4.14).

в случае применения одного оператора рождения или сдвинутое на величину состояние.

(2.4.15).

в случае чередования двух операторов рождения и одного оператора перемещения. Данный подход применим к генерации состояний света с большим числом присоединенных фотонов. Для того чтобы рассмотреть такие фотон добавленные состояния, достаточно продолжить цепочку преобразований на рисунке 2.17(а). В частности, прямоугольник с многоточием внутри на Рис. 2.17(а) обозначает такое чередование операторов рождения и перемещения, чтобы сгенерировать состояния с добавленными фотонами.

В работе [122] математически доказывается возможность генерации волновой суперпозиции из Фоковских состояний, ,, …, с произвольными коэффициентами. Естественно предположить, что данный метод применим к генерации четной (2.2.41) и не четной (2.2.49) усеченной СКС. Подбирая амплитуды оператора перемещения, можно построить соответствующую усеченную четную и не четную СКС (2.2.57−2.2.63). Последний оператор перемещения устанавливает окончательное значение параметра перемещения, чтобы окончательно получить представление усеченных СКС. Тогда, соответствующие точности между сгенерированными усеченными и реальными СКС могут быть получены из рисунков 2.5 и 2.6. Тем не менее в работе [68] рассматривались СПСКС состояния в качестве конечных, что также возможно. Расчет точностей выполняется на основе теоремы о представление, детали которого в данном разделе опускаются. В качестве примера соответствующие значения используемых параметров и значения точностей сведены в таблицу 1. Данный расчет осуществлен для состояний (2.4.15).

Таблица 1 Значения точностей и значения параметров, которые их обеспечивают. Рассматривается случай двух операторов рождения с одним промежуточным оператором перемещения.

Одностороннее преобразование Адамара может быть реализовано в той же манере, как это обсуждалось в разделе 2.3. Но возможен другой подход, как это показано на рисунке 2.17(б). Обсудим такой подход на качественном уровне на основе работы [68]. Как уже отмечалось, оператор перемещения на сигнальной моде может быть реализован с помощью пучкового делителя с коэффициентом пропускания. Произвольное состояние в сигнальной моде смешивается с когерентным состоянием. Сдвиг исходного состояния на фазовой плоскости на величину происходит в результате этого смещения. Два базисных когерентных состояния используются на рисунке 2.17(б). Оператор перемещения применяется к входным базисным состояниям, чтобы сдвинуть их на величину. Система чередующихся операторов рождения и перемещения используется, чтобы сгенерировать состояния, аппроксимирующие четную и не четную СПСКС. В конце оптической схемы используется операторы перемещения и сжатия с соответствующими значениями амплитуды перемещения и сжатия (на рисунке 2.1.7(б) данное действие заменено на пунктирный прямоугольник). Некоторые численно полученные значения точности и значения параметров, которые обеспечивают данные значений точности, представлены в работе [68].

В свете недавно полученных результатов, представленных в разделе 2.2, можно было избежать такого громоздкого метода как в [68]. Действительно, в качестве входных базисных состояний можно выбрать тензорные произведения [65] когерентных состояний. Когерентные состояния являются входными, состояния являются дополнительными и используются для выполнения операции перемещения. Выбирается некоторое значение представления одинаковое для четной и не четной СКС. Соответствующая четная и не четная усеченная СКС из первых членов реализуется при наблюдении соответствующего исхода (кликов) в дополнительных модах. Последний оператор перемещения, реализуемый с помощью когерентного состояния, нужен, чтобы скорректировать окончательную амплитуду перемещения, которая становится равной. Величины, ,… используются для построения волновых амплитуд усеченной СКС, состоящей из члена. Последний параметр нужен для корректирования окончательной амплитуды перемещения. Окончательная реализация данного алгоритма заслуживает отдельного исследования. Стоит отметить, что допустима и другая интерпретация данного алгоритма на основе чередующихся операторов уничтожения и перемещения. Так в работе [114] был развит метод подобный тому, который рассматривался в [122] с заменой операторов рождения на операторы уничтожения.