Круговые диагрaммы. 
Круговые диагрaммы

Общие и методические замечания

При расчете сложных линейных электрических цепей возникает задача определения токов и напряжений в зависимости от изменения одного из параметров цепи. Использование аналитических методов расчета цепей (законы Кирхгофа, методы контурных токов, узловых потенциалов, эквивалентного генератора и других) представляет трудоемкую задачу, ввиду того, что расчет необходимо проводить многократно при различных значениях изменяющегося параметра.

Графический метод расчета заключается в том, что исследуемые комплексные выражения представляются на комплексной плоскости векторами, геометрические места концов которых изображаются различными кривыми; такие кривые называются годографами, они наглядно показывают изменения модулей и фаз электрических величин или их соотношении в зависимости от изменения того или иного параметра. Такие годографы могут иметь сложную форму. Переменными параметрами могут быть величина и фаза ЭДС или тока источника, частота, активное сопротивление r, индуктивность L, взаимная индуктивность М, емкость С, а также реактивная составляющая сопротивления или проводимости любого элемента.

Простейшие диаграммы представляют собой прямые линии или дуги окружностей, называются соответственно линейными и круговыми диаграммами и имеют наибольшее практическое применение при исследовании линейных электрических цепей.

круговой диагрaмма цепь электрический Круговые диаграммы для неразветвленной электрической цепи Сложную линейную электрическую цепь относительно изменяющегося сопротивления нагрузки, согласно методу активного двухполюсника (гл. 2, § 2.5) можно представить эквивалентным источником с напряжением на зажимах двух полюсника в режиме холостого хода и входным сопротивлением, (рис. 13.1).

Пусть с неизменным аргументом.

и модулем, изменяющимся от нуля до бесконечности, пусть. Построим годограф вектора тока при изменении .

Ток в цепи равен.

Или.

(13.1).

где ток короткого замыкания при =0. Уравнение (13.1) .представляет уравнение окружности на комплексной плоскости, а геометрическим местом конца вектора при изменении является дуга окружности.

Рис. 13.2.

Действительно, при любых значениях сумма двух изменяющихся векторов и.

pавна неизменному (рис. 13.2). Имеем треугольник, одна сторона которого вектор, другая-вектор, повернутый относительнона yroл, третья — =const. Таким образом, имеем треугольник с постоянным основанием постоянным углом при вершине. Геометрическим местом вершин такого треугольника является окружность, а геометрическое место концов вектора — дуга окружности OMN, для которой вектор — xорда. Если вектор, скользя по дуге окружности OMN, совпадает с вектором (рис. 13.2), то угол при вершине = const становится углом между касательной к окружности NQ в точке N и продолжением вектора. Центр окружности определим следующим образом. На комплексной плоскости откладываем вектор, под углом к продолжению проводим прямую NQ, которая является касательной к окружности.

Восстановив перпендикуляр к середине хорды ON и перпендикуляр к касательной NQ в точке N, найдём точку их пересечения О', которая является центром окружности. Радиус окружности.

Покажем, как найти вектор для любого значения изменяющегося параметра. По направлению вектора отложим из точки О отрезок ОС, равный в произвольном масштабе величине. Из точки С под углом — к вектору проведем прямую CN' до пересечения с продолжением ОМ. Треугольники OMN и OLC. подобны по двум углам, поэтому.

Таким образом, если отрезок ОС соответствует, то отрезок CL в том же масштабе соответствует изменяющейся величине. Линия СN/ называется линией переменного пара-метра (ЛПП), на которой откладываются отрезки, соответствующие различным значениям .

В результате, построение диаграммы сводится к следующему:

• 1. Проводим вектор соответствующий хорде окружности.
• 2. Определяем центр окружности и радиусом с проводим ее.
• 3. Из точки О по направлению вектора в произвольном масштабе откладываем отрезок

ОС, соответствующий .

• 4. Под углом — к вектору из точки С проводим ЛПП CN', на которой в масштабе величины откладываем отрезок CL, соответствующий .
• 5. Соединяем прямой точки О и L, точка пересечения этой прямой с окружностью определяет положение вектора на окружности при заданном.

Точка N соответствует =0, точка О — =, так как ЛПП параллельна касательной в точке О. Дуга OMN соответствует положительным значениям. Следует отметить, что дуга окружности, по которой перемещается точка М, расположена относительно хорды ON со стороны ЛПП.

Рис. 13.3.

Пример 13.1. В цепи рис. 13.3. Индуктивность изменяется от нуля до бесконечности. Построить геометрическое место концов вектора при изменении. Определить, при каком сопротивлении ток максимален.

Решение.

Рассматриваемая электрическая цепь относительно сопротивления нагрузки может быть заменена эквивалентной с параметрами и (рис. 13.1). Напряжение определим как напряжение на нагрузке при :

Conpотивление входное сопротивление относительно нагрузки.

Ток короткого замыкания (при).

Таким образом, уравнение (13.1) для рассматриваемой задачи примет вид.

Круговая диаграмма тока приведена на рис. 13.4 (см. также рис. 7.18).

Рис. 13.4.

• 1. Выбираем масштаб тока m1 = 0,2 А/см и проводим вектор, откладываем напряжение .
• 2. Определяем центр окружности; под углом 1350 к вектору из точки N проводим прямую NQ, восставим перендикуляр к середине хорды ON и перпендикуляр к NQ в точке N, точка их пересечения есть центр окружности. Радиус окружности

=0,707 А.

• 3. В направлении из точки О откладываем отрезок, соответствующий модулю сопротивления Ом в произвольном масштабе; пусть mR=10 Ом/см.
• 4. Из точки С под углом -1350 к проводим ЛПП, на которой в масштабе mR = 10 Ом/см откладываем отрезки, соответствующие изменяющемуся сопротивлению нагрузки (при =30 Ом, точка L).
• 5. Точка пересечения прямой OL с окружностью определяет искомый ток, из диаграммы

имеем .

Максимальное значение тока наблюдается npи совпадении и (режим резонанса напряжения), поэтому из диаграммы имеем.

Рис. 13.5.

Пример 13.2. В схеме фазоуказателя (рис. 13.5) трехфазный источник симметричный, соединенный звездой UФ=220 В, нагрузки в фазах r = 150 Oм = const, L изменяется от нуля до бесконечности. Построить годограф напряжения смещения нейтрали и определить напряжения на фазах нагрузки.

Решение.

Напряжение относительно изменяющегося сопротивления равно.

(13.2).

где — реактивная и активная проводимости, причем g = const, bLизменяющаяся.

величина, -линейные напряжения. Уравнение (13.2) соответствует уравнению (13.1), поэтому годографописывает круговую диаграмму (рис. 13.6).

Рис. 13.6.

Вектор, имеет начало в точке А, конец в D, причем точка D, лежит на середине линейного напряжения. Отрезок AD является хордой.

Из точки A в направлении AD в масштабе m, откладываем проводимость .(AN).Из точки N под углом -(-90°) = 90° по отношению к вектору про водим линию переменного параметра, на которой в том же масштабе mg откладываем реактивную проводимость. Центром окружности является середина хорды DA, которая является диаметром. Из диаграммы следует что точка A соответствует режиму, точка D-. Напряжения и на нагрузках в фазах В и С различны, причем ВО' меньше СО', следовательно, если вместо резисторов r включить одинаковые лампы накаливания, то яркость их будет различной, причем в фазе С ярче, чем в фазе В. Поэтому можно сделать вывод что та лампа, которая горит ярче, включена в фазу С.

Задачи для самостоятельного решения (к главе 13).

В электрической цепи (рис. 13.3) индуктивное сопротивление нагрузки заменено активным conpотивлением rн. Построить годограф вектора тока при изменении rн от нуля до бесконечности. По диаграмме найти при rн = 50 0 м.

Ответ: .

В схеме рис. 13.5 катушка индуктивности заменена конденсатором, величина емкости которого изменяется от нуля до бесконечности. Построить годограф изменения потенциала и найти напряжения на фазах приемника.

Ответ: .

Нейман Л.Р., Демирчян К. С. Теоретические основы электротехники.Т.1.Л. Энергоатомиздат, 1981.534с.,.

Основы теории цепей. Г. В. Зевеке, П. А. Ионкин, А. В. Нетушил, С. В. Страхов.

М.: Энергия, 1975. 752 с.

Теоретические основы электротехники/Под ред. П. Л. Ионкина. М.; Высшая школа, 1976.

Т. 1. 383 с.

Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. М.: Высшая школа, 1978. 231 с.