Основные положения метода начальных параметров

Рассматривается линейная постановка задачи механики деформируемого твердого тела. Деформации считаются малыми, физические соотношения принимаются в форме закона Гука при растяжении и кручении. Система дифференциальных уравнений, описывающих деформированное состояние стержня при сделанных предположениях, имеет следующий вид:

(1).

где — перемещения точек стержня соответственно в направлениях касательной, нормали и бинормали; - углы поворота вокруг соответствующих осей; - продольная сила; - перерезывающие силы; - моменты, действующие в соответственно в нормальной, касательной и соприкасающейся плоскостях. — кривизна кривой, совпадающей с осью стержня; - крутка этой кривой; - соответственно модуль Юнга, модуль сдвига, коэффициент Пуассона, плотность.

Запишем систему (1) в матричном виде:

(2).

где — матрица модели, — матрица инерции;

— (3).

вектор состояния стержня;

— (4).

вектор внешних распределенных нагрузок (- распределенные моменты, — распределенные усилия).

Рассмотрим задачу статики. Учитывая, что в данном случае, пренебрежем инерционными слагаемыми в системе (1) и получим условия равновесия системы в виде неоднородной системы дифференциальных уравнений:

. (5).

Систему (5) можно решать операционными методами, используя интегральное преобразование Лапласа. Применим интегральное преобразование Лапласа к левой и правой части, приняв параметром преобразования переменную, и найдем выражение для изображения вектора состояния :

Введем следующее обозначение: — изображение матрицы фундаментальных решений. Запишем решение уравнения (5) в виде суммы общего решения соответствующей однородной системы и некоторого частного решения соответствующей неоднородной системы, используя теорему о свертке:

. (7).

Таким образом, задавая в общем случае 6 начальных компонент вектора состояния стержня при — начальных параметров, возможно получить оставшиеся неизвестные параметры состояния из граничного условия на другом конце стержня.